2025-2026学年下学期河南许昌高二数学3月阶段检测试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期河南许昌高二数学3月阶段检测试卷含答案，共9页。试卷主要包含了 已知抛物线 C， 下列求导正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的.
1. x−125 的展开式中 x2 的系数为
A. 52 B. −52 C. 54 D. −54
2. 已知直线 y=12x 是双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的一条渐近线,则 C 的离心率为
A. 62 B. 52 C. 32 D. 54
3. 已知 an 是等比数列,且 a6=6,a9=9 ,则 a3=
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
4. 已知函数 fx=x3+x ,则 limΔx→0f1−Δx−f12Δx=
A. 4 B. -4 C. 2 D. -2
5. 已知数列 an 的通项公式为 an=n−23n−19 ,前 n 项和为 Sn ,则当 Sn 取得最小值时, n=
A. 1 B. 2 C. 6 D. 7
6. 已知抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点为 F ，点 A1,4 在 C 上， P 是 C 上的动点， Q−4,y0 为直线 l:x=−4 上一定点, P 到 l 的距离为 d ,若 d+PQ 取得最小值时点 P 与 A 重合,则 γ0=
A. 163 B. 323 C. 12 D. 24
7. 若数列 an 满足 a1=2,a2=1 ,且 an+an+2anan+2=2an+1 ,则 i=1naiai+1=
A. 4n2+n B. 4n+4n C. 4nn+1 D. 2nn+1
8. 若当 x>0 时, ex−a+ax>0 恒成立,则实数 a 的取值范围是
A. (−∞,−1]∪[0,+∞) B. [−1,+∞)
C. −∞,−e2∪[−1,+∞) D. −e2,+∞
二、多项选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题 目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列求导正确的是
A. 若 fx=x ,则 f′x=12x
B. 若 fx=lg2x ,则 f′x=12lnx
C. 若 fx=sin2x ,则 f′x=cs2x
D. 若 fx=sinx+csxsinx ,则 f′x=−1sin2x
10. 已知 an 是公差为 d 的等差数列,其前 n 项和为 Sn ,则下列说法正确的是
A. 若 a3+a7=0 ,则 S5=S4 B. 若 d0 ,点 F1−a,0,F2a,0 ,我们把满足 PF1PF2=a2 的点 P 的轨迹称为双纽线，如图所示，设 Px,y ，则 y 的最大值为_____， x2+y2 的最大值为_____. (两空均用字母 a 表示，本题第一空2分，第二空3分)

四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
证明: (1) An+1n+1−Ann=n2 An−1n−1 ;
(2) Cn+1m=Cnm+Cnm−1 .
16. (15 分)
已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 S58=a2=5 .
(1)求 an 及 Sn ；
(2)若数列 a1,a3,ak1,ak2,ak3,⋯,akn,⋯ 是等比数列，求 kn .
17. (15 分)
如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为2，点 P 在棱 DD1 上.
(1)证明: BP⊥AC ；
(2)求 A1P2+BP2 的最小值及 A1P2+BP2 取最小值时平面 A1BP 与平面 B1CD1 夹角的余弦值.

18. (17 分)
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 经过点 M2,0,N1,32 .
(1)求 C 的方程.
(2)过点 P0,2 且斜率为 k 的直线与 C 交于 A,B 两点.
( i ) 若 k=1 ，求 △AMB 的面积；
(ii) 若直线 AB 外的点 Gm,0 满足 ∠GAB=∠GBA ，求实数 m 的取值范围.
19. (17 分)
已知函数 fnx=xn+1−2x+1n∈N∗ .
(1)若 f2x 在区间 a,a+1 上单调递减，求实数 a 的取值范围；
(2)讨论 fnx 在 0,+∞ 上的零点个数；
(3)若当 n≥2 时， fnx 在 0,+∞ 上的所有零点之积为 cn ，证明: cn+112 ,
x1+x2=−16k4k2+3,x1x2=44k2+3. (7 分)
(i) 当 k=1 时, AB=1+k2x1−x2=2x1+x22−4x1x2
=2×−1672−4×47=1227 , (9 分)
又点 M 到直线 AB 的距离 d=2k+2k2+1=42=22 , (10 分)
所以 △AMB 的面积 S=12d⋅AB=12×22×1227=247 . (11 分)
(ii) 由题意知 k≠0 .
因为 ∠GAB=∠GBA ,所以 GA=GB .
取 AB 的中点 Qx0,y0 ,连接 GQ ,
则 GQ⊥AB,x0=x1+x22=−8k4k2+3,y0=kx0+2=64k2+3 . (12 分)
因为 kGQ⋅k=−1 ,
所以 k=−1kGQ=−x0−my0=−−8k4k2+3−m64k2+3 , (14 分)
整理得 m=−2k4k2+3=−24k+3k ,
当 k>12 时, 4k+3k≥24k×3k=43 ,当且仅当 k=32 时取等号,所以 −36≤m