江苏省苏北七市2026届高三下学期二模考前模拟试卷数学试卷含解析（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合 ，则 中元素的个数为
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】D
【解析】 ,共 2 个元素.
2. 设复数 在复平面内对应的点关于实轴对称, ,则 等于
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 与 关于实轴对称, , .
3.已知平面向量 ,若 ,则
A. B. 2 C. D. 5
【答案】C
【解析】 ,则 .
4.设随机变量 ,若 ,则 的最大值为
A. B. C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】方法一: ,
.
方法二: ,
5.已知抛物线方程为 ，则它的焦点坐标为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 焦点 焦点 .
6.函数 部分图象大致如图所示,则 解析式可能是
A. B.
c. D.
【答案】C
【解析】 为奇函数,排除 定义域为 ,排除 A. ,排除 D.
7.已知三棱锥 所有点都在同一个球面上，若正 的边长为 平面 ,且 ,则球的表面积为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 底面 外接圆半径 ,
设外接圆圆心 ,设外接球球心 ,半径
.
8.在 型池中进行滑板运动,运动中运动员离开平衡位置的位移 和时间 的函数关系可用 近似刻画 (如图所示),若该运动员在滑动过程中连续三次到达同一位置的时刻分别为 ,且 ，则在一个周期内运动员离开平衡位置的位移大于 的总时间为
A. B. 1sC. D.
【答案】D
【解析】由题意知 ,而 为 的一条对称轴 (且取最大值),
设 与 三个相邻点分别为 ,
令 位移大于 的总时间为: .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.设正项等比数列 的前 项和为 的前 项积为 . 若 , 则下列说法正确的有
A. B. 数列 为等差数列
C. D.
【答案】BD
【解析】 , , , 错.
是公差为 1 的等差数列, B 对.
错.
时, 时, 时, 对.
10.某同学在研究函数 时,两边取 为底的对数转化为先研究函数 ，则下列说法正确的有
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】 在 单调递减, 单调递增, 对.
对.
,即 对.
11.甲、乙、丙三人进行羽毛球单打冠军争夺赛，甲对乙、丙的胜率分别为 ，乙对丙的胜率为 ,每场比赛的结果相互独立. 甲先出场,用掷硬币的方式确定与乙或丙比赛. 每场比赛的胜者与该场的轮空者进行下一场比赛, 率
先赢得两轮比赛的人获得冠军，比赛结束. 设比赛结束时的比赛场数为 . 则下列说法正确的有
A. 若 ,则
B. 若 ,则甲不可能是冠军
C. 若 ,丙获得冠军的概率与 无关
D. 若 ,则该比赛方案对甲有利
【答案】BCD
【解析】对于 ,若甲与乙先比赛,
,若甲与丙先比赛
无论如何 错.
对于 ,先看甲对乙的情形,
情形一:甲胜乙，丙胜甲，丙胜乙，丙是冠军
情形二:乙胜甲，丙胜乙，丙胜甲，丙是冠军，另一种乙是冠军， 甲不可能是冠军, B 正确.
对于 ,若甲与乙先比赛,丙获得冠军的概率为:
若甲与丙先比赛，乙是冠军，丙获得冠军概率为 0 ，两种情形均与 无关，C 正确. 对于 ,若甲与乙先比赛,甲夺冠概率为:
乙夺冠概率为: ,丙夺冠的概率为:
若甲与丙先比赛，甲夺冠概率为:
丙夺冠的概率为: ，乙夺冠的概率为
无论如何均对甲有利, D 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知集合 ，试写出从集合 到集合 的一个偶函数 ________.
【答案】 (答案不唯一)
【解析】 时, ,且
,故 是从 到 的一个偶函数 .
13.已知点 为椭圆 上一点, 分别为 的左、右焦点,且 ，则三角形 的内切圆 的面积为_______.
【答案】
【解析】由 得 ,
故 .
设 ,由
得 ,即 ,
而 ,所以 ,
又 ,故 .
设 ,则 ,
代入得 .
又 在椭圆上， . 联立得 .
由第二式得 ,
代入第一式得 .
由 得 ,故 .
于是 .
故 为边长为 2 的正三角形, , 内切圆半径 ,所以内切圆面积 .
14.已知有穷数列 各项均不相等,将 的项从小到大重新排序后相应的原来的项数构成新数列 ,称数列 为数列 的 “序数列”. 例如数列 满足 ,则其序数列 为1,3,2,若有穷数列 满足 ( 为正整数),且数列 的序数列单调递减,数列 的序数列单调递增，则 _____， ________.
【答案】
【解析】 的序数列单调递减, 单调递减, 的序数列单调递增, 单调递增,
,若 ,而
,这与 单调递增矛盾, ①
若 ,这与 单调递减矛盾
②,
.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.在 中,角 所对的边分别为 ,已知 .
(1)求 的值；
(2)若 的面积为 是线段 上的点，且 ，求 的长 .
【解析】(1)因为 ，所以 ，
即 ,因为 ,即 ,故 ,
代入 得:
因为 ,则
(2) ，可得 ，则 .
在 中, ,故 ,
则 ，所以 .
16.灵巧手是人形机器人的核心部件，某公司针对代号为 的灵巧手进行升级改造，研发出代号为 的灵巧手，从两款产品中随机抽取 100 件进行检验, 数据如下:
(1)填写如下列联表:
能否有95%的把握认为两款灵巧手产品的优级品率存在差异？
(2)为进一步了解市场需求，该公司对灵巧手性能指数 与人们的喜爱程度 进行统计调查,数据如下:
并计算得 . 请通过计算变量 的相关系数 ,回答是
否可以认为该性能指数与人们的喜爱程度相关性很强 (当 时,
与 相关性很强);
附 1: ,其中 .
附 2: 相关系数 .
【解析】(1)列联表如下:
有 95% 的把握认为两款灵巧手产品的优级品率存在差异.
(2)由表知 ,
,又
所以
由此可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强 .
17.三棱锥 中,已知 底面 ,面 面 .
(1)证明: 平面 ；
(2)已知点 为线段 上一点，且三棱锥 的体积为 ，求平面 与平面 所成角的正弦值.
【解析】
(1)证明:作 于 (如图 1)
面 面 ， 面 ，面 面 ， 面 面 ， ， 底面 ， 面
面 面 .
(2)方法一:(如图 2)作 于 ， 于 ， 于 ， 连接 面 面 由( 1 )同理可得 面 ,
三棱锥 的体积为
,
在 Rt 中, ,
,
面
由三垂线定理可知 即为所求二面角的平面角
在 Rt 中, ,
所以平面 与平面 所成角的正弦值 .
方法二: 以点 为坐标原点,
建立如图 (图 3) 所示的空间直角坐标系 由方法一知 ,所以 ,
设平面 的一个法向量 ,
则 ,取 .
同理可知平面 的一个治向量
,
所以二面角 的正弦值为 .
18.已知双曲线 的右焦点 ,且 到 的渐近线的距离为 1 .
(1)求 的方程:
(2)过 点的直线 与 的右支相交于 两点，与 的渐近线相交于 两点,且从上到下依次为 .
①试判定 与 的面积是否相等并说明理由；
②若 ,求直线 的方程.
【解析】(1)双曲线 的渐近线方程为 ,
由题可知 所以 故双曲线 的方程为
(2)① 设 . 设 ,
由 得 ,则
由 得 ,同理 .
,
所以 ,所以 :
②由①知 ，因为 ，所以 ，
则 ,即 ,所以 ,
所以 ,即 ,
则 ,解之得 ,所以 .
所以直线 的方程为 或 .
19.已知函数 .
(1)若 ，求 在 的最小值:
(2)若 在区间 上为增函数，求实数 的取值范围；
(3)当 时，若 ，证明: .
【解析】(1)
在 上单调递增, ,
在 上单调递增, .
(2) 在 上单调递增
对 恒成立,
而 显然成立,
只需 对 恒成立
,令
当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增.
(3)由(2)知 时， 单调递增
由 (1) 知 ,
而 ,下证:
即证: ,而
即证: ,即证: ,而
即证: ,而
证: ,即证: 显然成立
,证毕!优级品
合格品
不合格品
总计
灵巧手
15
19
6
40
灵巧手
35
23
2
60
总计
50
42
8
100
优级品
非优级品
灵巧手 G
灵巧手
5
6
7
8
9
0.55
0.50
0.60
0.65
0.70
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
优级品
非优级品
合计
灵巧手 G
15
25
40
灵巧手 K
35
25
60
合计
50
50
100