江苏省苏北四市2026届高三上学期一模数学试卷含答案（word版+pdf版）

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1. B 2. B 3. A 4. D 5. A 6. C 7. D 8. C
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。
9. AC 10. ACD 11. BCD
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. −12
13. 5
14. 0,12∪3,+∞
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。
15. 解析:
(1)因为 fx=3sin2ωx−2sin2ωx=3sin2ωx+cs2ωx−1=2sin2ωx+π6−1 ， 所以 T=2π2ω=2π ,则 ω=12 . 4 分
(2)由(1)得 fx=2sinx+π6−1 ，则 fA=2sinA+π6−1=1 ，
所以 sinA+π6=1 ,由 A∈0,π ,得 A+π6=π2 ,所以 A=π3 . 6 分
因为 2a−3ccsB=3bcsC ,由正弦定理得 2sinA−3sinCcsB=3sinBcsC ,
所以 2sinAcsB=3sinBcsC+csBsinC=3sinB+C=3sinπ−A=3sinA .
因为 A∈0,π ,所以 sinA≠0 ,所以 csB=32 ,
由 B∈0,π 得 B=π6 . 9 分
所以 C=π−A−B=π2 ,所以 △ABC 为直角三角形,则 a=3b .
因为 △ABC 的面积为 32 ,所以 32=12ab=32b2 ,
所以 b=1 . 13 分
16. 解析:
(1)证明:因为 △ABD 是边长为 2 的等边三角形， E 为 BD 的中点，
所以 AE⊥BD . 1 分
在 △BCD 中,由余弦定理得 CD2=BC2+BD2−2BC⋅BD⋅cs∠DBC ,
所以 CD=2 .
因为 E 为 BD 中点,所以 CE=1 ,
因为 △ABD 是边长为 2 的等边三角形,所以 AE=3 .
则 AE2+CE2=AC2 ,所以 AE⊥CE . .3 分
又 AE⊥BD,BD∩CE=E,BD⊂ 平面 BCD,CE⊂ 平面 BCD ,
所以 AE⊥ 平面 BCD .
因为 BC⊂ 平面 BCD ,所以 AE⊥BC . 6 分
(2)解法一:

以 {EC,ED,EA} 为基底,建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A0,0,3,B0,−1,0,C1,0,0,D0,1,0 .
因为 F 在线段 CD 上,设 DF=aDC0≤a≤1 ,则 Fa,1−a,0 ,
则 BF=a,2−a,0,BA=0,1,3
设平面 ABF 的法向量为 n1=x1,y1,z1 ,
则 n1⋅BF=0,n1⋅BA=0, 即 ax1+2−ay1=0,y1+3z1=0,
所以 n1=3a−2a,3,−3 . .8 分
又平面 ABD 的法向量为 n2=1,0,0 ， .9 分
因为二面角 D−AB−F 的正切值为 235 ,
所以 cs=n1⋅n2n1n2=3a−2a1×3a−2a2+12=537 .
解得 a=34 或 -3 (舍去)，所以 BF=34,54,0 . 11 分
设平面 ABC 的法向量为 n=x,y,z ,则 n⋅BC=0,n⋅BA=0, 即 y+3z=0,x+y=0,
取 z=1 ,则 n=3,−3,1 . 13 分
所以点 F 到平面 ABC 的距离 d=n⋅BFn=327=2114 . 15 分
解法二:
在平面 BCD 内,过 F 做 FH⊥BD ,垂足为 H ,
在平面 ABD 内,过 H 做 HG⊥AB ,垂足为 G ,连接 GF ,
由( 1 )知 AE⊥ 平面 BCD ，由 AE⊂ 平面 ABD ，所以平面 ABD⊥ 平面 BCD . -8 分平面 ABD∩ 平面 BCD=BD,FH⊂ 平面 BCD ,所以 FH⊥ 平面 ABD .
因为 AB⊂ 平面 ABD ,所以 AB⊥HF .

10 分
11 分
又 GH∩FH=H ,所以 AB⊥ 平面 GHF .
所以 ∠FGH 是二面角 D−AB−F 的平面角.
所以 tan∠FGH=FHGH=235 .
设 FH=23x,GH=5x ,则 BH=10x3,DH=2−10x3=FH=23x .
所以 x=38,FH=23x=34,DFDC=34 . 13 分
由 VF−ABC=VA−BCF 得点 F 到平面 ABC 的距离为 2114 . 15 分
17. 解析:
(1) PX0=0=C30C33C63=120 , 2 分
PX0=2=C32C31C63=920. 4 分
(2) PX1=1=PX1=1∣X0=0PX0=0+PX1=1∣X0=2PX0=2
=1×C33C63+23×C32C31C63=1×120+23×920=720 ,
即 PX1=1=720 . 8 分
(3)当 X0=1 时， X1=0,2,X2=1,3 ，且 PX1=0=13,PX1=2=23 ， 10 分
则 PX2=1=PX2=1∣X1=0PX1=0+PX2=1∣X1=2PX1=2
=13×1+23×23=79 . 12 分
PX2=3=PX2=3∣X1=0PX1=0+PX2=3∣X1=2PX1=2 =13×0+23×13=29 . 14 分
则随机变量 X2 的数学期望 EX2=1×79+3×29=139 . 15 分
18. 解析:
(1)抛物线 y2=2px 的准线方程为 x=−p2 ，又 MN=15 ，由垂径定理知: p24+1522=4 p>0 ,解得 p=1 . 所以抛物线 C 的方程为 y2=2x . 3 分
(2)设点 Onxn,0 ，则 ⊙On 的方程为 x−xn2+y2=rn2 .
由 x−xn2+y2=rn2y2=2x 得: x−xn2+2x−rn2=0 ,即 x2+2−2xnx+xn2−rn2=0 .
因为 ⊙On 与抛物线 C 有且仅有两个公共点,
所以 Δ=2−2xn2−4xn2−rn2=0 ,即 1−2xn+rn2=0 . 5 分
同理,当 n≥2 时,有 1−2xn−1+rn−12=0 .
将两等式相减可得: rn2−rn−12=2xn−xn−1 , 7 分
而 ⊙On 与 ⊙On−1 外切,则有 xn−xn−1=rn+rn−1 . 8 分
即有 rn2−rn−12=2rn+rn−1 ,又 rn>0 ,则 rn+rn−1>0
则 rn−rn−1=2 . 则数列 rn 为等差数列. 10 分
(3)因为 ⊙O0 与 ⊙O1 相切，所以 x1=2+r1
由 x−2−r12+y2=r12y2=2x 得 x2−2+2r1x+4+4r1=0
因为 ⊙O1 与抛物线相切,所以 Δ=0 ,解得 r1=3 . 12 分由数列 rn 为等差数列,公差为 2,则 rn=2n+1 .
则 xn=2+2r1+r2+⋯+rn−1+rn=2n2+2n+1 . 14 分
因为直线 l 斜率为 1,且与抛物线 C 于 A,B 两点,
由 y=x−xny2=2x 得: x2−2xn+2x+xn2=0 ,则 Δ>0,xA+xB=2xn+2,xAxB=xn2 ,
所以 AB=2xA−xB=22⋅2xn+1=226 ,
则 xn=181 . 16 分
由 xn=2n2+2n+1=181 ,则 n=9 或 n=−10 (舍去)
综上可得 n=9 . 17 分
19. 解析:
(1) f′x=2x−2x−a+x−22=x−23x−2a−2 ,
令 f′x=0 得 x=2 或 x=2a+23 .
① 当 2a+23>2 ，即 a>2 时，列表得
所以 x=2 是 fx 的极大值点，不符合题意.
② 当 2a+23=2 ，即 a=2 时， f′x≥0 恒成立，无极值点，不符合题意.
③ 当 2a+23