2026高考高三二轮专题复习数学专题强化练_专题二　微创新　解三角形与其他知识的综合问题 （含解析）

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1.(17分)(2024·哈尔滨模拟)我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示即为：S=14a2c2-a2+c2-b222.①
(其中△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为△ABC的面积)
(1)证明公式①；(8分)
(2)已知△ABC三条边BC，AC，AB的高分别为ha=153，hb=2，hc=10，求S.(9分)
2.(17分)(2024·十堰模拟)点A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上(点M与P，Q两点均不重合)，我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记(P，Q；M)=APsin∠PAMAQsin∠MAQ；若点M在线段PQ外，记(P，Q；M)=-APsin∠PAMAQsin∠MAQ.
(1)若M在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB的延长线上，且AB=2BM=2，由A1对AB施以视角运算，求(A，B；M)的值；(7分)
(2)若M1，M2，M3，…，Mn-1是△ABC的边BC的n(n≥2)等分点，由A对BC施以视角运算，证明：(B，C；Mk)×(B，C；Mn-k)=1(k=1，2，3，…，n-1).(10分)
3.(17分)(2024·绍兴模拟)克罗狄斯·托勒密所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意平面凸四边形(所有内角都小于180°的四边形)中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号.已知圆O是凸四边形ABCD的外接圆，其中CD=3AD.
(1)若圆O的半径为r，且∠CBD=2∠ABD，
①求∠ABD的大小；(3分)
②求AC·BD的取值范围(用r表示)；(5分)
(2)若AD=1，BC=2，∠ADC∈2π3，5π6，求线段BD长度的最大值.(9分)
答案精析
1.(1)证明 在△ABC中，AB=c，
AC=b，BC=a，
过点A作AD⊥BC，设AD=h，BD=x，CD=y，
由x+y=a,h2=c2-x2,h2=b2-y2,
得x=a2+c2-b22a，y=a2+b2-c22a，
h=4a2c2-(a2+c2-b2)22a，
∴S=12ah
=12a·4a2c2-(a2+c2-b2)22a
=14a2c2-a2+c2-b222.
(2)解 由aha=bhb=chc，
知a∶b∶c=1ha∶1hb∶1hc
=155∶22∶1010，
设a=155k，b=22k，c=1010k，
k>0，
则S=14a2c2-a2+c2-b222
=12610k22-1525k2+110k2-12k222
=520k2，
又S=12×155k×153=12k，
∴520k2=12k，∴k=25，
∴S=12k=5.
2.(1)解 如图，因为AB=2BM=2，
所以AM=3，
A1B=22，
A1M=13.
由正方体的定义可知AA1⊥AB，则∠A1AB=90°，
故sin∠AA1B=22，
cs∠AA1B=22，
sin∠AA1M=31313，
cs∠AA1M=21313.
因为∠BA1M=∠AA1M-∠AA1B，
所以sin∠BA1M=sin∠AA1Mcs∠AA1B-cs∠AA1Msin∠AA1B=2626，
则(A，B；M)=-A1Asin∠AA1MA1Bsin∠MA1B
=-2×3131322×2626=-3.
(2)证明 如图，
因为M1，M2，M3，…，Mn-1是BC的n等分点，所以BMk=CMn-k
=knBC，BMn-k=CMk=n-knBC.
在△ABMk中，由正弦定理可得BMksin∠BAMk=ABsin∠AMkB，
则ABsin∠BAMk=BMksin∠AMkB.
在△ACMk中，同理可得
ACsin∠CAMk=CMksin∠AMkC.
因为∠AMkB+∠AMkC=π，
所以sin∠AMkB=sin∠AMkC，
则(B，C；Mk)=ABsin∠BAMkACsin∠CAMk=BMksin∠AMkBCMksin∠AMkC=BMkCMk=kn-k.
同理可得
(B，C；Mn-k)=BMn-kCMn-k=n-kk.
故(B，C；Mk)×(B，C；Mn-k)=kn-k×n-kk=1(k=1，2，3，…，n-1).
3.解 (1)①因为CDsin∠CBD=2r， ADsin∠ABD=2r，
所以CDAD=sin∠CBDsin∠ABD=sin2∠ABDsin∠ABD
=2cs∠ABD，
又因为CD=3AD，所以cs∠ABD=32，所以∠ABD=π6.
②因为∠ABD=π6，
所以∠DAC=∠CBD
=2∠ABD=π3，
所以∠ABC=π2，所以AC是圆O的直径，由①可得CD=3r，AD=r，
设∠BAC=α，则AB=2rcs α，
所以AC·BD=AC·(AD-AB)
=AC·AD-AC·AB
=2r·r·csπ3-2r·2rcs α·cs α
=r2(1-4cs2α)，
又α∈0，π2，所以cs2α∈(0，1)，
故AC·BD的取值范围是 (-3r2，r2).
(2)设∠ADC=θ，
因为AD=1，CD=3AD=3，
由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcs∠ADC=1+3-2×1×3cs θ=4-23cs θ，
在△ABC中，AC=4-23csθ，BC=2，∠ABC=π-θ，
由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcs∠ABC，
代入整理得
AB2+4cs θ·AB+23cs θ=0，
解得AB=-2cs θ+4cs2θ-23csθ.
由托勒密定理可知BD·AC=CD·AB+BC·AD，代入得BD=
2-23csθ+12cs2θ-63csθ4-23csθ.
设4-23csθ=t，
因为θ∈2π3，5π6，
所以t∈[4+3，7]，
则BD=t2-2+t4-5t2+4t
=t-2t+t2+4t2-5
其中t∈4+3，7，
设m=t-2t，则BD=m+m2-1
其中m∈(5+23)4+313，577，
因为y=m+m2-1在区间(5+23)4+313，577上单调递增，
所以当m=577，即θ=5π6时，BD取得最大值57+3147.