2025—2026学年九年级中考数学二轮专题复习十五：二次函数中菱形存在性问题综合训练

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(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点E，交直线于点D，连接．
①如图1，若动点P在直线上方运动时，过点P作于点F，试求三角形的周长的最大值．
②如图2，当点P在抛物线上运动时，将沿直线翻折，点D的对应点为点Q，若以C、D、P、Q为顶点的四边形能成为菱形，求点P的坐标．
2．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值；
(3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内的是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线经过点，点，与轴交于点，过点作直线轴，与抛物线交于点，作直线，连接．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)是抛物线上的点，求满足的点的坐标；
(3)点在轴上，且位于点的上方，点在直线上，点为直线上方抛物线上一点，是否存在点使四边形为菱形，如果存在，请直接写出点的坐标．如果不存在，请说明理由．
4．已知直线与x轴交于A ，与y轴交于点B，抛物线与x轴交于A ，C两点，与y轴交于点B
(1)求这个抛物线的解析式
(2)若P是直线上方抛物线上一点，存在点P使得，求点P的坐标
(3)在对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小，若存在，请直接写出Q点坐标，若不存在，请说明理由
(4)点M在x轴上，在坐标平面内是否存在点N，使以A ，B ，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
5．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P在抛物线对称轴上，Q是坐标平面内一点，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，抛物线与轴交于两点．
(1)求出抛物线的表达式；
(2)点是抛物线上一点，点是平面上一点，是否存在点，使得四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，且，E是线段上的一个动点，过点E作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点D、F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点E的横坐标为m．当m为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少；
(3)若点P是直线上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以点P、Q、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点P是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值；
(3)在（2）的条件下，若点N是直线上的动点，在平面内的是否存在点Q，使得以为边、以P、B、N、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有Q点的坐标:若不存在，请说明理由．
9．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，且，是线段上的一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点E的横坐标为m，当m为何值时，线段有最大值？并写出最大值为多少；
(3)若P是直线上的一动点，在坐标平面内是否存在Q，使以P，Q，B，C为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出符合条件的菱形的个数并请直接写出其中2个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方．

(1)求该二次函数的解析式；
(2)求点A的坐标；
(3)连接，当点P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值；
(4)连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，其中，，．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点为直线下方抛物线上一点，，当线段的长度最大时，求点的坐标；
(3)将沿直线平移，平移后的三角形为（其中点与点不重合），点是坐标平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
12．如图1，抛物线与x轴相交于点B、C（点B在点C左侧），与y轴相交于点．已知点B坐标为，点C坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为点H，过点P作轴交于点Q，求周长的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，将抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，M为新抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，使得以为边，点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出满足条件的点N坐标．
13．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．
(1)求A、B，C三点的坐标；
(2)求直线的函数表达式．
(3)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；
14．如图，的两直角边分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，为坐标原点，两点的坐标分别为，抛物线经过点，且顶点在直线上．
(1)求抛物线对应的函数关系式；
(2)若把沿轴向右平移得到，点的对应点分别是，当四边形是菱形时，试判断点和点是否在该抛物线上，并说明理由；
15．在平面直角坐标系中，为原点，直线与轴交于点，与直线交于点，点关于原点的对称点为点．
(1)求过点三点的抛物线的解析式；
(2)为抛物线上一点，它关于原点的对称点为．当四边形为菱形时，求点的坐标．
参考答案
1．【详解】（1）解：当时，，
解得：，
∴，
∵抛物线与x轴交于点和点B，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为：；
（2）令，则，
、，，
①设，的周长为，
则，，
轴，
，
，
，
，
，
由题意可知，，，
，
的周长为，
，
，
当时，，
即的周长的最大值为；
②将沿直线翻折后，以、、、为顶点的四边形能成为菱形，
，且，
点落在轴上，
如图2，过点作轴于点，
设，则、，
，，
在中，，
，
或，
解方程①得：或（不符合题意，舍去），
解方程②得：或（不符合题意，舍去）．
当时，，
当时，．
故以、、、为顶点的四边形能成为菱形的点的坐标为或．
2．【详解】（1）解：将点和点代入得：
，解得，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：过点作轴，如图所示：
由得点，
设直线的解析式为：，
将代入可得：
解得：，
∴直线的解析式为：，
设点，则
∴当，即点时，有最大值，且最大值为；
（3）解：设，
为对角线时，
，
解得：（舍去的情况），
∴；
为对角线时，
，
解得：或
∴、；
为对角线时，
，
解得：（舍去的情况），
∴；
综上所述：符合条件的所有点的坐标为、、 、
3．【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过点，点，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图，
①当点位于直线下方时，过点作，垂足为，设满足条件的点在抛物线上，则，，
∵，，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得（不合，舍去），，
∴；
②当点位于直线上方时，过点作直线，垂足为，设，则，，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
解得（不合，舍去），，
∴，
∴点E的坐标为或；
（3）解：存在．
如图，在第一象限内取点，过点作轴，交于，过点作，交轴于，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
过点作轴，垂足为，
∵，，
∴，
∴，设点，
∴，，
设直线的解析式为，
∵，，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
解得（不合，舍去）或，
∴点坐标为．
4．【详解】（1）解：直线与x轴交于A ，与y轴交于点B，
令，，令，，
，
将代入抛物线，则，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：存在，
抛物线与x轴交于A ，C两点，
令，则，
解得：，
根据题意得，
，
，
如图，过点P作x轴的垂线，交直线于点H，
设，则，
，
，
，
，即，
解得：或，
点P的坐标为或；
（3）解：存在，
作点O关于抛物线对称的对称点E，连接，
抛物线的对称轴为，
，，
为定值，
当三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长最小，
设直线的解析式，则，
解得：，
直线的解析式，
令，则，
；
（4）解：存在，
如图，当以为对角线时，
四边形为菱形，
，
点在x轴上，
点M在点A的左侧，
设，
，
，
，
，
，即，
解得：，
；
如图，当以为边时，
当点M在点A左侧时，
四边形为菱形，，
，，
；
如图，当点在点A右侧时，
同理得：；
综上，点N的坐标为或或
5．【详解】（1）解：当时，，
，
当时，，
，
∵对称轴为直线
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，
∴设抛物线的解析式为，
把点C坐标代入得：，
，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：存在点P和点Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形，理由如下：设点，
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形，
，即，
，
，
，
，
．
6．【详解】（1）解：将代入得，
解得：
∴抛物线解析式为：
（2）解：由，当时，
∴，
∴，
∵，则
∴是等腰三角形
如图所示，过点作于点，则，
设直线的解析式为，则，解得：，
∴直线的解析式为
∵四边形四边形是菱形，
∴，则点在直线上，
联立
解得：或
∴点的坐标为或
7．【详解】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，
∴，
∵，
∴，则，
把，代入二次函数解析式得，
，
解得，，
∴二次函数解析式为；
（2）解：由（1）可知，二次函数解析式为，且，，
∴设直线所在直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵点的横坐标为，直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点，
∴点的横坐标为，
∴，，
∴，
∴当时，有最大值，且最大值为；
（3）解：∵二次函数的图像与轴交于两点，且，
∴令时，，则，，
∴，且
∵直线的解析式为，点P是直线上的一个动点，
∴设
∴，，
∴当时
∴
∴
∴，
∴当时，
∴
∴如图所示，当四边形是菱形时
∴
∴
∴
∴；
当时，
∴
∴如图所示，当四边形是菱形时
∴
∴
∴
∴；
∴时
∴
∴
∴
∴
∴
∴如图所示，四边形是菱形
∴
∴
∴
∴；
当时，
∴
∴
∴或（舍去）
∴当时，
∴
∴如图所示，四边形是菱形
∴
∴
∴
∴；
综上所述，存在点使得以点为顶点的四边形是菱形，且Q的坐标为或或或．
8．【详解】（1）解：交轴于点和点，
，
，
；
（2）解：当时，，
，
过点作轴交于点，
设直线的解析式为，
代入，，
得：，
解得，
直线的解析式为：，
设点，
，
，
，
，且，
当，即点时，的面积取得最大值，最大值为4；
（3）解：，，设，，
①以、为对角线时，，
，
或（舍，
；
②以、为对角线时，，
，
或，
或；
综上所述：或或．
9．【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，
∴，
∵，
∴，则，
把，代入二次函数解析式得，
，解得，，
∴二次函数解析式为；
（2）解：由（1）可知，二次函数解析式为，且，，
∴设直线所在直线的解析式为，
∴，解得，，
∴直线的解析式为，
∵点的横坐标为，直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点，
∴点的横坐标为，
∴，，
∴，
∴当时，有最大值，且最大值为；
（3）解：∵二次函数的图象与轴交于两点，且，
∴令时，，则，，
∴，且
在中，，，
∴，
第一种情况：如图所述，点在直线下方，

四边形是菱形，则，，
且直线的解析式为，
∴设直线所在直线的解析为，把点代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
设，过点作轴于点，
∴，，
∴，
整理得，，
∴，
∴当时，，即；
当时，，即；
第二种情况：如图所示，点在直线上方，

四边形是菱形，，，
且，，
∴直线的解析式为，
设，
∴，
整理得，，
解得，（与点重合，不符合题意，舍去），，即，
∴设所在直线的解析式为，
把点代入得，，
∴直线的解析式为，
根据题意，设，
∴，
整理得，，
∴，即，，
，不合题意，
∴；
第三种情况，为菱形的对角线时，如图所示：
作的垂直平分线，交于P，交于N，
在直线上截取，连接、得菱形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设直线为，
代入，，
得，
解得，
，
与联立，
得，
解得，
，
将点P向右平移个单位再向上平移个单位得到点C，
将点也做相同的平移得到点，即，
综上所述，存在点使得以点为顶点的四边形是菱形，共有4个，点的坐标为或或或．
10．【详解】（1）解：将、代入得：
，
解得：，
∴
（2）解：令，解得，
∴点A的坐标
（3）解：设直线的解析式为：，
将代入得：，
解得：；
∴直线的解析式为：，
过点作轴，如图所示：

设点，则
∴当，即点时，有最大值，且最大值为；
（4）解：设点，交轴于点，如图所示：

若四边形为菱形，则，
∴
即：，
解得：（舍）
∴点P的坐标为
11．【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，点，
设抛物线解析式为，
抛物线过，
，
，
此抛物线解析式为；
（2）过点作轴交于点，如下图所示，
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
设，，
则，
，，
当时，最大，此时最大，
；
（3）根据题意可设，
，，
，，，
①，即，
，，
，，
②，即，
，
，，
③，即，
（不合题意，舍去），
综上所述，满足条件的点坐标有、、或．
12．【详解】（1）解：将，，代入，
∴，
解得，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴周长，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴，
设，则，
∴ ，
∴周长，
∴当时，周长的最大值为，
此时；
（3）解：∵，
∴平移后的函数解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
设，，
令，则，
解得或，
∴，
当为菱形的对角线时，，
∴，
解得或，
∴或；
当为菱形的对角线时，，
，
解得或，
∴或；
当为菱形的对角线时，
，
解得，
∴；
综上所述：N点坐标为或或或或．
13．【详解】（1）解：当时，，
解得：，
∴，
当时，，
∴；
（2）解：∵，
设直线的表达式为：；
将代入得：，
解得：，
∴直线的函数表达式为；
（3）解：存在：
设直线的表达式为：；
将代入得：，
解得：，
故直线的表达式为：；
设点的坐标为，其中，
，
，
，
∴当时，以点为顶点的四边形为平行四边形，
分两种情况：
如图，当时，四边形为菱形，
，
，
解得：（舍去），
∴点的坐标为，
∵点B向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点C，
∴点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为；
如图，当时，四边形为菱形，
，
，
解得：(舍去)，
∴点的坐标为，
∵点C向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点B，
∴点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E，
∴点的坐标为；
综上，存在点，使得以点为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或．
14．【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在直线上，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
把代入中得，，
∴抛物线解析式为；
（2）解：C在抛物线上，D不在抛物线上，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
在中，当时，，
在中，当时，，
∴不在抛物线上，在抛物线上。
15．【详解】（1）解：已知直线与轴交于点，
∴令时，，
∴，
∵直线与直线交于点，
∴，
解得，，
∴，
∵点关于原点的对称点为点，
∴，
设过点三点的抛物线的解析式为，
∴，
解得，，
∴过点三点的抛物线的解析式为；
（2）解：当四边形为菱形，，则，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，即，
设，且，
∴点在第一、三象限，
∴，
解得，，，
∴，；
∵点关于原点的对称点为点，点关于原点的对称点为，即，
∴此时，四边形为菱形，
∴当四边形为菱形时，点的坐标或．