福建省厦门第一中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试卷（含答案）

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高三年数学试卷
满分：150分 考试时间：120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知M=x∈Z0＜x＜2，N=xx2−x≤0，则M∩N=( ).
A．{0,1}B．{1}C．{-1,1}D．∅
2．已知（2-2i）z=i，则=( ).
A．14+14iB．−14−14i C．14−14iD．−14+14i
3．已知数列{1an}是首项为5，公差为2的等差数列，则a11=( ).
A．125B．122C．117D．119
4．已知 , , , 则( ).
A. b>a>c B. c>b>a C. a>c>b D. a>b>c
5．将5名大学生分配到3个乡镇当官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有（ ）种.
A．240B．60C．150D．180
6．已知点P 是焦点为 F 的抛物线C : 4x2= y 上的一个点 ，过点P 作直线l : 的垂线 ，垂足为点 A，直线l 与y 轴的交点为B ，若PB 是∠FPA 的平分线 ，则△BFP 的面积为( ).
A．164B．264C．1128D．2128
7．已知为单位向量，且，向量满足 ，则
的最小值为( ).
A. 13 -1 B. 3 -1 C.14 - 213 D. 4 - 23
8．端午是一大中华传统节日.小玮同学包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球O）.如图：已知粽子三棱锥 P -ABC 中，PA = PB = AB = AC = BC， H 、I 、J 分别为所在棱中点， D、 E 分别为所在棱靠近P 端的三等分点 ，小玮同学切开后发现 ，沿平面CDE 或平面 HIJ 切开后，截面中均恰好看不见肉馅. 则肉馅与整个粽子体积的比为（ ）.
A．23π9B．3π18
C．23π27D．3π54
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法中正确的是
A．一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于60
B．若样本数据的标准差为8，则数据，，，的标准差为16
C．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
D．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小
10 ．已知抛物线C : y2 = 4x的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A，B 两点，过点A 作C
的切线，交准线于点P ，交x 轴于点Q ，下列说法正确的有（ ）.
A. QF = AF B.直线QB 与C 也相切
C. PA 丄 PB D.若∠PAF = π6 则 AF = 4
11． (多选)已知是偶函数，是奇函数，且，则 ( )
A．是周期函数 B．的图象关于点中心对称
C． D．是偶函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知一组数据，，2，3，，大致呈线性分布，其回归直线方程为，则的最小值为 = ▲ ．
13．已知函数的最大值是3，的图象与轴的交点坐标为，其相邻两个对称中心的距离为2，则

14．数学家斐波那契有段时间痴迷于研究有趣的数列问题，意外发现了一个特殊的数列{an} :1，1，2，3，5，8，……, 从第3项起 ，每一项都等于它前面两项之和，即a1 = a2 =1，an+2 = an+1 + an，后人把这样的数列称为“斐波那契数列”，若am= 2 (a3 + a6 + a9 +…+ a2022 )+1 ，则m= ▲ ．
四、解答题：共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
在△中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，如图，，是上的动点，且始终等于，记．当为何值时，△的面积取到最小值，并求出最小值．
16.（15分）
已知数列的各项均为正数，其前项和记为，，，其中为常数且．
（1）若数列为等差数列，求；
（2）若，求数列通项公式及．
17.（15分）
如图，在直角梯形中，，，，点是的中点，将△沿对折至△，使得，点是的中点．
（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值．
18.（17分）
著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础．已知椭圆的离心率为，且右顶点与上顶点的距离．
（1）求椭圆的面积；
（2）若直线交椭圆于，两点，
求△的面积的最大值为坐标原点）；
若以，为直径的圆过点，，为垂足．是否存在定点，使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
19.（17分）
定义在上的函数，若对任意不同的两点，，，都存在，，使得函数在处的切线与直线平行，则称函数在上处处相依，其中称为直线的相依切线，，为函数在的相依区间．已知．
（1）当时，函数在上处处相依，证明：导函数在上有零点；
（2）若函数在上处处相依，且对任意实数、，，都有恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，，，为函数在的相依区间，证明：．福建省厦门第一中学海沧校区2024—2025学年度第一学期12月月考
高三年数学参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知M=x∈Z0＜x＜2，N=xx2−x≤0，则M∩N=
A．{0,1}B．{1}C．{-1,1}D．∅
2．已知（2-2i）z=i，则z=
A．14+14iB．−14−14i C．14−14iD．−14+14i
3．已知数列{1an}是首项为5，公差为2的等差数列，则a11=
A．125B．122C．117D．119
4．a= π0. 2 , b=0. 2π , c=lg π 0. 2, 则
A. b>a>c B. c>b>a C. a>c>b D. a>b>c

5．将5名大学生分配到3个乡镇当官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有（ ）种
A．240B．60C．150D．180
6．已知点P 是焦点为 F 的抛物线C : 4x2= y 上的一个点 ，过点P 作直线l : 的垂线 ，垂足为点 A，直线l 与y 轴的交点为B ，若PB 是∠FPA 的平分线 ，则△BFP 的面积为( ).
A．164B．264C．1128D．2128
7．已知a，b 为单位向量，且a−2b=7，向量c 满足c2 - 4a . c + 3 = 0 ，则c−（b−a） 的最小值为( ).
A. 13 -1 B. 3 -1 C.14 - 213 D. 4 - 23
8．端午是一大中华传统节日.小玮同学包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球O）.如图：已知粽子三棱锥 P -ABC 中，PA = PB = AB = AC = BC， H 、I 、J 分别为所在棱中点， D、 E 分别为所在棱靠近P 端的三等分点 ，小玮同学切开后发现 ，沿平面CDE 或平面 HIJ 切开后，截面中均恰好看不见肉馅. 则肉馅与整个粽子体积的比为（ ）.
A．23π9 B．3π18 C．23π27D．3π54
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法中正确的是
A．一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于60
B．若样本数据的标准差为8，则数据，，，的标准差为16
C．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
D．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小
10．已知抛物线C : y2= 4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A，B 两点，过点A 作C
的切线，交准线于点P ，交x 轴于点Q ，下列说法正确的有（ ）.
A. QF = AF B.直线QB 与C 也相切
C. PA 丄 PB D.若∠PAF = π6 则 AF = 4
11.(多选)已知是偶函数，是奇函数，且，则 ( )
A．是周期函数 B．的图象关于点中心对称
C． D．是偶函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 已知一组数据，，2，3，，大致呈线性分布，其回归直线方程为，则的最小值为 = ▲ ．
13． 已知函数的最大值是3，的图象与轴的交点坐标为，其相邻两个对称中心的距离为2，则
14．数学家斐波那契有段时间痴迷于研究有趣的数列问题，意外发现了一个特殊的数列{an} :1，
1，2，3，5，8，……, 从第3项起 ，每一项都等于它前面两项之和，即a1 = a2 =1，an+2 = an+1
+ an，后人把这样的数列称为“斐波那契数列”. 若am= 2 (a3 + a6 + a9 +…+ a2022 ) +1 ，
则m= ▲ ．
四、解答题：共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
在△中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，如图，，是上的动点，且始终等于，记．当为何值时，△的面积取到最小值，并求出最小值．
16.（15分）
已知数列的各项均为正数，其前项和记为，，，其中为常数且．
（1）若数列为等差数列，求；
（2）若，求数列的通项公式及．
17.（15分）
如图，在直角梯形中，，，，点是的中点，将△沿对折至△，使得，点是的中点．
（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值．
18.（17分）
著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础．已知椭圆的离心率为，且右顶点与上顶点的距离．
（1）求椭圆的面积；
（2）若直线交椭圆于，两点，
求△的面积的最大值为坐标原点）；
若以，为直径的圆过点，，为垂足．是否存在定点，使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
19.（17分）
定义在上的函数，若对任意不同的两点，，，都存在，，使得函数在处的切线与直线平行，则称函数在上处处相依，其中称为直线的相依切线，，为函数在的相依区间．已知．
（1）当时，函数在上处处相依，证明：导函数在上有零点；
（2）若函数在上处处相依，且对任意实数、，，都有恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，，，为函数在的相依区间，证明：．
【答案】B【详解】由x∈Z，0＜x＜2的解集为{−1,1}，即M=−1,1，不等式x（x−1）≤0，解得0≤x≤1，即N={ 0≤x≤1}，故M∩N={1}，故选：B
【答案】B【详解】由（2-2i）z=i，可得z=i2−2i=i（2+2i）（2−2i）（2+2i）=−14+14i，所以z=−14−14i
故选：B
【答案】A 【解析】 由题得1an=5+（n-1）2=2n+3，即an=12n+3，则a11=125，故选 A.
【答案】D【详解】由 π0. 2 > π0 = 1, 0c. 故选 D.
【答案】C.由2:2:1分配有C52C32C11A22A33=90;由3:1:1分配有C53C21C11A22A33=60,共150种,故C正确.
【答案】C【详解】因为4x2 = y,即x= 14 y2, 因此F(0, ),|易知直线l是C的准线， 则PF = AP，如图，又 PB = PB，∠FPB =∠APB ， 所以△FPB ≌△APB ，得∠PFB = ∠PAB = 90，四边形ABFP为正方形，故△BFP 的面积为 = .
【答案】A【详解】设< a,b >=θ,由a−2b=7,平方可得a2-4a∙b+4b2=7,csθ=−12, θ为2π3
由c²-4a·c+3=0得(c-a)· (c-3a)=0,以a的起点为原点，a方向为x正方向建立平面直角坐标系，
则a=(1,0), b=（−12，32） ,设c=OC=(x, y),由 (c-a)·(c-3a)=0可得(x-2)²+y²=1, 即 点C在以M(2,0)
为圆心，1为半径的圆上，记OD=b-a=（−32，32）,c−（b−a）=DC,则DC≥DM-r=13
-1，故选A.
【答案】B【详解】如图所示，取AB 中点为F， PF ∩ DE = G ，为方便计算，不妨设 PF = CF = 1，由 PA = PB = AB = AC = BC，可知 PA = PB = AB = AC = BC = 233 ，又D 、E 分别为所在棱靠近 P 端的三等分点，则FG = PF = ，且AB丄PF，AB 丄 CF，PF ∩ CF=F ， PF ，CF C平面 PCF ，即 AB 丄平面PCF ，又 AB C平面 ABC ，则平面PCF丄平面ABC ，设肉馅球半径为 r ， CG = x 由于H 、I 、J 分别为所在棱中点，且沿平面 HIJ 切开后截面中均恰好不见肉馅，则P到CF的距离d = 4r sin∠PFC = = 4r ， S△GFC = .1. . 4r = ， 又S△GFC = （1 + + x）. ， 解得x = 1
【答案】ABD【详解】解：对于，由方差的公式可知，该组数据的平均数是3，这组样本数据的总和为，正确；对于，样本数据，，，的标准差为8，故数据，，，的标准差为，故正确；对于，数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23共10个数，从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，由于，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即，
所以第70百分位数是23.5，故错误；对于，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，设此时这9个数的平均数为，方差为，则，故正确．故选：．
【答案】ACD【详解】依题意，抛物线C : y²=4 x的焦点为F(1,0), 准线方程为x =-1,不妨设
点A在第一象限，且A(x, y),B(x ₂, y2)则有点A处的切线方程为： y1y=2(x + x1),于是Q(-x,0),
于是|QF|= x +1=|AF|, 选项A 正确；同理有点B 处的切线方程为： y2y=2(x + x2), 交 x轴
于(- x2,0), 显然直线QB不是抛物线C的切线，可以证明，直线PB才是抛物线C的切线，选项
B错误；设直线AB的方程为：x =ty+1(t≠0),由 y²-4ty -4=0, 所以
，PA⊥PB,选项C正确；由 A 可知，△FAQ为等腰三角
形，且于是 AQ=3 AF, 4 x12+ y12=3(1 + x1)，又y²=4 x, 解得x=3, 此时
AF=4, 选项D 正确，故选ACD.
【答案】AD【详解】选项A：在中取为，得，
所以，取为，得，因为函数是偶函数，所以，取为，得，所以，
所以函数是周期为2的周期函数，所以也是周期函数，所以A正确；
选项B：由得的图象关于点中心对称，所以B错误；
选项C：设，
则，两式相加，得
2022，
所以，即，所以C错误；选项D：对于，
两边同时对求导得，所以是偶函数，所以D正确
【答案】 【解析】，，又回归直线经过，
，当时，的最小值为．
【答案】4048【详解】函数的最大值是3，
故，得，则，由于函数的图象与轴的交点坐标为，故，，，即，函数图象其相邻两个对称中心的距离为2，故，所以；当，2，3，时，的值依次为1，0，，0，成周期变化；且周期为4，相邻4个之和为0，由于，
所以（1）（2）．．
故答案为：4048．
【答案】2024【解析】.由从第三项起，每个数字等于它前面两个数的和，a1 = a2 =1, 因 为
an+2 = an+1 + an (n∈N*),所以 2(a3+ a6+ a9+…+ a2022)+1=( a3+ a3+ a6+ a6+ a9+ a9+…+ a2022+ a2022)+1
= a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 +…+a2020+a2021+a2022+1=S2022+1,
由an+2 = an+1 + an (n∈N*) 得an= an+2 - an+1, 所以a1 = a3- a2, a2= a4 -a3, a3= a5- a4, … ,
an= an+2 - an+1 ，将这n个式子左右两边分别相加可得：
Sn= a1 + a2 +…+ an = an+2 - an+1- a2= an+2-1,即Sn+1= an+2,所以S2022 +1=a2024,故 m=2024.
解：（1）在△中，因为，由正弦定理可得：，1分
所以，即，
所以，即，3分
因为，所以，所以，4分
因为，所以；5分
（2）因为，由（1）知，所以，6分
在△中，由正弦定理可得，所以，7分
在△中，由正弦定理可得，所以，8分
所以，10分
因为，所以，
当时，取得最小值，此时，即，
所以当时，△的面积取到最小值，最小值为．13分
解： （1）当时，，即，解得，1分
当时，，即，解得，2分
因为数列为等差数列，所以，即，解得，4分
所以，，公差为2，所以数列的通项公式为；5分
（2）当时，，①
所以，②6分
所以②①得，，因为，所以，7分
当时，，即，解得，8分
∴数列的奇数项成等差数列，首项为，公差为3；
即9分
偶数项成等差数列，首项为，公差为3，
即10分
∴数列通项公式为12分
当为偶数时，．13分
当为奇数时，．14分
则15分
注：或结合求解
解：（1）证明：因为，，所以，1分
翻折后,,,又,,平面,所以平面，2分
又平面，所以，3分
因为是的中点，，所以，
又，，平面，所以平面，5分
因为平面，所以．6分
（2）解：由（1）知，平面，因为平面，所以，
因为，，所以，在△中，，由余弦定理得，，
因为，所以，所以，8分
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，作平面为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，,，0，,，2，,，2，,，9分
因为是的中点，所以，所以，，，
由（1）知，，因为，，面，
所以平面，即平面的一个法向量为，11分
设平面的法向量为，则，即，
取，则，，所以，13分
所以，14分
设二面角的平面角为，则，
所以二面角的正弦值为．15分
解:(1)∵椭圆离心率为,且右顶点与上顶点距离,所以，1分
解得，，，2分
所以椭圆的方程为，则椭圆的面积为．3分
（2）（ⅰ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，，
联立，得，
则，，5分
则，6分
又点到直线的距离为，7分
所以
，8分
当且仅当,即时等号成立,此时△的面积的最大值为1；9分
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，则，
即，
当且仅当，即时，等号成立，此时△的面积的最大值为1．10分
综上所述，△的面积的最大值为1．11分
（ⅱ）因为点在以，为直径的圆上，所以，12分
因为，，，，，所以，
则，
当直线的斜率存在时，由知，
，
所以，
整理得，，
即，即或，13分
当时，直线的方程为，过点，不符合题意；
当时，直线的方程为，恒过点．14分
当直线的斜率不存在时，，，，
由知，，则，
由，得，解得或（舍去），
所以直线的方程为，过点．15分
综上所述，直线恒过点．因为，为垂足，为定值，
所以点在以，为直径的圆上，取的中点，则，
所以存在定点，使得为定值．17分
注：可利用平移齐次化求定点
解：（1）证明：当时，，，1分
，（1），2分
即（1），又在上处处相依，函数在上有零点．3分
（2）解：，，，4分
∵函数在上处处相依，，，使得，
即，使得，5分
，，即，，6分
又，，即实数的取值范围为．7分
注：也可构造函数，求其在恒单调递减
（3）证明：当时，，则，8分
，为函数的在的相依区间，
，又（1），则，10分
，，即单调递减，，，即单调递增，11分
，则，
要证，即证，即证，12分
即证，，13分
令，
，14分
令，，15分
，，，，
，即在上单调递减，则（1），，即在上单调递减，
（1），即，即证得成立，
从而证明得到．17分
注：也可利用指数平均不等式求证