福建省厦门第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷含解析（word版）

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满分：150分考试时间：120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，考生只须将答题卡交回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，集合，则（）
A B. C. D.
2. 函数的零点所在的一个区间是（）
A. B. C. D.
3. 已知，则值为（）
A. B. C. 3D.
4. 函数值域为（）
A. B. C. D.
5. 某数学兴趣小组为研究指数函数的“爆炸性增长”进行了折纸活动．一张纸每对折一次，纸张变成两层，纸张厚度会翻一倍．现假定对一张足够大的纸张（其厚度为0.0766毫米）进行无限次的对折．借助计算工具进行运算，发现将一张纸对折38次，纸张的厚度将达到2.1万公里，超过了地球的直径．已知地球到月亮的距离约为38万公里，问理论上至少对折多少次，纸张的厚度会超过地球到月亮的距离？（）
A. 41B. 43C. 45D. 47
6. 已知函数．设甲：，乙：是偶函数，则（）
A. 甲是乙的充分不必要条件
B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
7. 已知定义在上函数满足，且对任意的且均有，若，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
8. 设，则（）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 计算下列各式的值，其结果为1的有（）
A. B.
C. D.
10. 已知函数的部分图象如图所示，则（）
A.
B. 的最小正周期为
C. 将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于点对称
D. 在上单调递减
11. 已知函数的定义域为，且，则下列说法正确的有（）
A.
B. 是奇函数
C. 以6为周期
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知幂函数过点，则______．
13. 已知直线过函数图象的定点，则最小值为______．
14. 已知函数，若函数的一个零点为．其图象的一条对称轴为直线，且在上单调，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
16. 已知二次函数满足，函数满足，且不等式的解集为．
（1）求的解析式；
（2）若关于x的不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围．
17. 在观察物体时，从物体上、下沿引出光线在人眼处所成的夹角叫视角．研究表明，视角在范围内视觉效果最佳．某大广场竖立的大屏幕，屏幕CD高为米，屏幕底部距离地面高度DE为米．站在大屏幕正前方，距离屏幕所在平面米处的某人，眼睛位置距离地面高度AB为米，观察屏幕的视角为情景示意图如图所示．

（1）为探究视觉效果，令为，并求的表达式；
（2）根据（1）的选择，探究是否有达到最佳视角效果的可能．
18. 已知函数．（其中为自然对数的底数）
（1）判断的奇偶性，并用定义法证明．
（2）求函数的值域；
（3）设函数，证明：有且只有一个零点，且．
19. 某校数学兴趣小组，在学习三角函数的过程中发现一个规律：
据此规律提出猜想：，并证明如下：.同理可得，，由于这三个角三等分了圆周，类似于电风扇的三个叶片之间的关系，因此该兴趣小组的同学称这个恒等式为“电风扇恒等式”．同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“电风扇”，这样的“电风扇恒等式”的结论能否得到推广呢？
根据以上信息，回答下列问题：
（1）解关于的方程：，其中；
（2）猜想的值，并证明你的猜想：
（3）证明：，其中.