浙江省部分重点高中2025-2026学年高一下学期3月联考试题 数学（含解析）

这是一份浙江省部分重点高中2025-2026学年高一下学期3月联考试题 数学（含解析），共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高一数学试题卷
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：因为集合，，
所以.
2. 已知命题，命题，则“命题”是“命题”的（ ）条件.
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充要D. 既不充分也不必要
答案：B
解析：由，可得，故命题是命题的必要条件；
由不一定得到，故命题不是命题的充分条件，
所以“命题”是“命题”的必要不充分条件.
3. 不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：等价于，解得
所以不等式的解集是
4. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：等式两侧同时乘以可得，
则，即.
因为，且，
所以.
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：，故，
因为，而当时，，不合要求，
当，，满足要求，故，
故，
.
6. 已知，其中，.比较下列几个数大小：，，正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：，根据可得：
，所以，
同理，，所以，
又，
令，则，
故，所以，
综上所述：.
7. 凸四边形中，，，，点是边的中点，则的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：以为坐标原点，、所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，
依题意，则，
因，，则点在以为弦，圆周角为的圆上，
由正弦定理，可得其半径为，易知弦的斜率为，中点为，
则的中垂线方程为，即，可设该圆的圆心为，
由，解得，不妨取，(另一个圆心同理可求)
则可设圆的参数方程为，即可取，
于是，
则
，其中，
当时，即时，取得最大值；
当时，即时，取得最小值.
故的取值范围是.
8. 已知，，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：，故，，
令，
∵，∴，
又为正数，，
又，故，且，
若，即时，
由于，，
故，
由于，由对勾函数单调性可知，当时，的最大值为，
此时，
若，即时，，
则，
由于，由对勾函数单调性可知，当时，的最大值为，
此时，
综上，的最大值是，当时或取等.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某学校对高二学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有政史地、物化生、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则下列说法正确的是（ ）
A. 该校高二学生总数为800
B. 该校高二学生中选考物化地组合的人数为70
C. 用分层随机抽样的方法从该校高二学生抽取80人，则生史地组合抽取16人
D. 该校高二学生随机抽取一学生，该学生选考物理的概率与选考地理的概率相等
答案：ACD
解析：对于A，因政史地有200人，占比25%，故该校高二学生总数为，故A正确；
对于B，因选考物化地和物化政组合的人数相等，故物化地组合的人数为，故B错误；
对于C，由题意，分层随机抽样的抽样比为，则生史地组合应抽取的人数为，故C正确；
对于D，因选考物化生、物化地、物化政组合的学生占比分别为，则学生选考物理的概率为；
而选考政史地、物化地、生史地组合学生占比分别为，则学生选考地理的概率为，故D正确.
10. 如图，在长方体中，，点为线段上一动点（含端点），则下列说法正确的是（ ）
A. 直线平面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 若为线段中点，则与垂直
D. 平面截长方体的外接球所得截面面积是
答案：ACD
解析：A选项：连接，，
由已知为长方体，则，，即，
又，且，平面，，平面，
平面平面，
又平面，
平面，A选项正确；
B选项：
由，且平面，平面，
平面，
点在上，
，
又，
，B选项错误；
C选项：
当为中点时，，
，即，
，即，
则，
由长方体可知平面，且平面，
所以，
又，，平面，
平面，
平面，，C选项正确；
D选项：由长方体性质可知长方体的外接球球心为其体对角线中点，
则，
设点到平面的距离为，
则点到平面的距离为，
在三棱锥中，，，
即，
又，即，
解得，
则平面被长方体外接球所截小圆半径，
其面积为，D选项正确.
11. 已知函数不是常函数，且满足：对任意实数、都有.下列说法正确的是（ ）
A.
B. 是偶函数
C. 存在函数使得
D. 具有周期性
答案：AB
解析：令得，不恒为0，，A正确；
令得，，是偶函数，B正确；
令得，即，
代入得到，
化简得到，不等式无解，故C错误；
D错误，反例：，

.
所以满足
假设函数周期为，（） ，则对任意实数 满足，，
将 代入得到，
所以，即，
解得，与矛盾，故不具有周期性，选项D矛盾.
故选：AB.
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知幂函数的图像经过点，则______.
答案：
解析：设，代入点，
可得，
解得，所以，
所以.
13. 边长为2的等边三角形绕着旋转一周，所得到的几何体体积为______.
答案：
解析：根据题意可知：该几何体是有公共底面的两个一样的圆锥,等边三角形的高为
,底面半径为,所以所得到的几何体体积为.
故答案为
14. 已知函数，若对任意恒成立，则实数的最大值是______.
答案：
解析：由题意可得，则或，
令，则，
由，故恒成立，
则对任意恒成立，
等价于对任意恒成立，
由于要求实数的最大值，不妨设，
取，则
，
由，同理，
故，即，
又，，则，故，
故在上单调递增，
又，
由，则，故，
即有对任意恒成立，
即对任意恒成立，
则有，解得，故实数的最大值是.
四、解答题：本大题共5小题，共分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.符合题目要求.
15. 某校运动会期间开设了知识竞赛，比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛；若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
（1）若从甲、乙两人中选取1人参加比赛，选谁参赛赢得比赛的概率更大？
（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中恰好只有1人赢得比赛的概率.
答案：（1）甲； （2）
（1）解析：
甲赢得比赛的概率是，乙赢得比赛的概率是，
，∴甲赢得比赛的概率更大.
（2）解析：
甲赢乙输的概率是，甲输乙赢的概率是，
相加得两人中恰好只有1人赢得比赛的概率.
16. 如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.过点作于，作于，连.
（1）证明：；
（2）求平面与底面所成角的余弦值.
答案：（1）证明见解析
（2）
（1）解析：
已知底面，底面，所以，
又，平面，
故平面.
又平面，所以，
又平面，
所以平面，
又平面，则，
又，平面,
平面，
又平面，，
（2）解析：
如图，设点在底面的投影分别是，
由题意知分别上，
由（1）知平面，平面，则，
由于，故是的中点，则是的中点，
中，，，
，
，
故，
由于，，
则，故，
在中，，，
，
记平面与底面所成角为，.
17. 已知中，，，，点是边上的动点（不含端点），点关于直线的对称点是点，连接，.
（1）当时，求线段的长度.
（2）连接，点在运动过程中存在多少个位置，使得，并请说明理由.
答案：（1）；
（2）2，理由见解析
（1）解析：
在中，，
在中，，
（2）解析：
，设，
在中，由正弦定理得，，
在中，
，
令，令，或
化简得：，
因式分解得：，
是其中一根
对于：，
当时，变形得，
，，无解.
当时，由上面变形知道只有当时才可能有根，
变形得，
和在时都单调递增，
记，在时单调递增，
，，
在时仅有一根，且在区间内，
综上所述，点在运动过程中存在2个位置，使得
18. 已知，，其中.
（1）已知，直接写出该函数的最小正周期和对称中心：
（2）已知，求该函数的最大值；
（3）已知，.若函数的图像与直线恰有1个交点，求实数的取值范围.
答案：（1），，；
（2）；
（3）
（1）解析：
，最小正周期为，对称中心是；
（2）解析：
，
由于，
故当取到最大值时，是第一象限角，
不妨设，，设，则
，
当且仅当，即，则时取到等号；
（3）解析：
，设，
则
记
作出两个函数图像如下：
当时，方程②无解；此时无交点，
当时，，此时方程①有两个不相等的实数根，此时有两个交点，
当时，此时方程②有两个不相等的实数根，且，此时方程①有3个不相等的实数根，此时有3个交点，
当时，此时方程②有两个不相等的实数根，且，此时方程①有2个不相等的实数根，此时有2个交点，
当时，此时方程②有唯一解，且，此时方程①有1个实数根，此时有1个交点，
当时，方程②无解；此时无交点，
综上可得：实数的取值范围为.
19. 已知复数的三角形式是，其中是复数的模，是复数的辐角.当时，称为辐角的主值，记为.复数满足：若，，则.
（1）已知复数满足：，求；
（2）已知关于的方程的两个复数根分别是，判断函数，是否为周期函数，并说明理由；
（3）已知对任意，都有.设复数不全为实数，，，证明：.
答案：（1）或；
（2）是，理由见解析；
（3）证明见解析
（1）解析：
设，则，
又，所以，
所以，，
即，又，
所以或.
（2）解析：
因为的两个复数根分别是，
所以，
，
即，
由棣莫弗定理可知，，
，
所以，即24是的其中一个周期；
（3）解析：
由题意，，，
、、，可得：
，
则虚部，
所以，
假设结论不成立，则，
又，故，
所以，
，
所以，
故，即，
由三倍角公式得，
所以，
即，
又，所以，
即，
产生矛盾，所以假设不成立，所以.