四川省德阳市重点高中2025-2026学年高一下学期4月月考试题 数学（含解析）

这是一份四川省德阳市重点高中2025-2026学年高一下学期4月月考试题 数学（含解析），共25页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，设函数 则， 的值为，已知函数 的图象如图所示，则，已知函数 ，下列选项正确的是等内容，欢迎下载使用。
满分：150 分；考试时间：120 分钟；
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1．命题“ ”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
2．与 角终边相同的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
3．设函数 则 （ ）
A． B． C． D．
4．“点 在第三象限”是“角 为第四象限角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5． 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 的图象如图所示，则 （ ）
A． B． C． D．0
7．已知正数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，若关于 x 的方程 有四个不同的根，它
们从小到大依次记为 ， ， ， ，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．函数 有 6 个零点
二、多选题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.
9．已知函数 ．则能够使得 变成函数 的变换为（ ）
A．先横坐标变为原来的 ，再向左平移
B．先横坐标变为原来的 2 倍，再向左平移
C．先向左平移 ，再横坐标变为原来的
D．先向右平移 ，再横坐标变为原来的
10．下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数 的定义域为 ，且 ，
，则（ ）
A． B． 是偶函数
C．函数 是奇函数 D．4 是 的周期
第 II 卷（非选择题）
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．化简： =______
13．已知 ，则 ___________．
14．已知函数 ，点 ， 分别为函数 图
象上的最高点和最低点，若线段 的长度的最小值为 ，且 ，则 的值为
______.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.
15．（本小题共计 13 分）
（1）计算： ；
（2）化简： ．
16．（本小题共计 15 分）如图所示，在平行四边形 中， ， 分别为边 和 的
中点， 为 与 的交点．
(1)若 ，则四边形 是什么特殊的平行四边形？说明理由．
(2)化简 ，并在图中作出表示该化简结果的向量．
17．（本小题共计 15 分）已知函数 .
(1)求 的最小正周期，对称中心坐标和 的单调递减区间；
(2)当 时，求函数 的最小值及取得最小值时 x 的值.
18．（本小题共计 17 分）某种药物被服用后，在人体内大致要经过释放和代谢两个主要过程，
已知在药物释放过程中，血液中的药物浓度 与时间 成正比，药物释放完毕后，
与 的函数关系式为 且 是常数），如图所示：
(1)根据图象写出 关于 的函数表达式；
(2)据测算，药物浓度不低于 时才有效，求该药物的有效时长.
19．（本小题共计 17 分）我们将满足下列条件的函数 称为“ 伴随函数”：存在一个正
常数 ，对于任意的 都有 且 .
(1)是否存在正常数 ，使得 是“ 伴随函数”？若存在请求出一个 的值；若不是
请说明理由；
(2)已知 是“ 伴随函数”，且当 时， .
（i）求当 时， 的解析式；
（ii）若 为方程 在 上的根，求
的值.
《德阳五中高 2025 级 2026 年春期第一次自主性检测》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B C B B A C ACD AB
题号 11
答案 ABD
1．C
【详解】由于全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“ ”的否定为“ ”.
2．A
【详解】与 角终边相同的角的集合是 .故 A 正确；
表示终边在直线 上的角的集合，故 B 错误；
表示终边与 的终边重合的角的集合，故 C 错误；
表示终边在直线 上的角的集合，故 D 错误.
3．B
【详解】因为函数 ，
.
4．C
【详解】由点 在第三象限，可知 ，所以角 为第四象限角，
即“点 在第三象限”是“角 为第四象限角”的充分条件，
再由角 为第四象限角，可知 ，即点 在第三象限，
所以“点 在第三象限”是“角 为第四象限角”的充要条件，
故选：C
5．B
【详解】
故选：B．
6．B
【详解】由图象知，函数的最小正周期 ，
即 ， ，由五点对应法则代入 知，
，即 ，因为 ，解得 ，
所以 ，则 .
故选：B
7．A
.
【详解】因为 为正数，所以 ，
，
当且仅当 ，即 时取等号,
由 和 解得 ，此时 取得最小值 .
故选：A
8．C
【详解】因为 ，
当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ， ；
当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
作出函数 的图象如下：
对于 A：关于 x 的方程 有四个不同的根，
即函数 与 的图象有 4 个交点，由图象可得 ，故 A 错误；
对于 B：由图象知 ，所以 ，且 ，
所以 ，
又由 ，
所以 ，故 B 错误；
对于 C：知 ，即 ，解得 ，故 C 正确；
对于 D：对于函数 ，令 ，则 ，
即 ，因为 ， ， ，
可得 ，
当 时，由图可得，有 个根，
当 时，由图可得，有 个根，
当 时，由图可得，有 个根，
当 时，由图可得，有 个根，
综合得函数 有 个零点，故 D 错误.
9．ACD
【详解】先将 的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，得到 的
图象；再将 的图象向左平移 个单位即可得到函数 的图象，故选项 A 正确，
选项 B 错误；
先将 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象；再将
的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 即可得到函数 的图象，
故选项 C 正确；
先将 的图象向右平移 个单位，得到函数
的图象；再将 的图象上各点的
纵坐标不变，横坐标变为原来的 即可得到函数 的图象，故选项 D 正确.
故选：ACD
10．AB
【详解】对于 A， ，故 A 正确；
对于 B， ，故 B 正确；
对于 C， ，故 C 错误；
对于 D， ，故 D 错误．
故选：AB．
11．ABD
【详解】对于 A：令 ， ，整理得 ，由 可知
不恒为 ，故 ，故 A 正确；
对于 B：以 代 ，得 ，
又因为 ，故有 ， 整理得
，由 可知 不恒为 ， 故 ，又因为 的
定义域是 ，故 是偶函数，故 B 正确；
对于 C：若函数 是奇函数，则有 ，令 ，得 ，
即 ，与 矛盾，故函数 不是奇函数，故 C 错误；
对于 D：令 ，因为 ，故可得 ，
即 ，将 替换为 ，则 ，
所以 ，故 4 是 的周期.
故选：ABD.
12．
【详解】 .
故答案为：
13． /
【详解】由题意知， .
故答案为： .
14．
【详解】令 ，则原函数可化为 ，
∴ ， 的最小正周期为 ，
作出 在 上的函数图象，如图 1，
∴ 在 上的函数图象如图 2，
由 得， ， 的最小正周期为 ，故 在 的图象如图 3，
如图，当点 为一个周期内的最高点和最低点时， 的长度最小，此时
，
∵ ，
∴ ，即 ，解得 .
故答案为： .
15．（1）2；（2）
【详解】（1） ；
（2） .
16．(1)菱形，理由见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）由条件知 ，
即 ，又四边形 是平行四边形，故四边形 是菱形．
（2）由平行四边形及三角形中位线的性质可知 ．
所以 ．
作出向量 如图所示．
17．(1) ，对称中心为 ，单调递减区间
(2)最小值为 ，
【详解】（1）
，
所以，函数 的最小正周期为 .
由 ，解得 ，
所以函数 的对称中心为 ；
由 ，解得 .
所以函数 的单调递减区间为 .
（2）当 时， ，
当 ，即 时，函数 取得最小值，最小值为 ．
18．(1)
(2)
【详解】（1）因为当 时，血液中的药物浓度 与时间 成正比，且过点
，所以 ，
当 时， 与 的函数关系式为 且 是常数），
且过点 和 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以
（2）当 时，令 ，得 ；
当 时，令 ，得 ．
因此当 时，药物有效，有效时长为 ．
19．(1)存在一个 的值为 .
(2)（i） （ii）答案见解析
【详解】（1）存在正常数 ，使得 是“ 伴随函数”.
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以存在一个 的值为 .
（2）（i）由 ，得 ，
所以 是周期为 的函数.
由 ，得 ，所以 为 的一条对称轴，
当 时， .
当 时， ，
所以由对称性可知 .
所以当 时， .
易知 在 上的图象如图所示，
长度为 ，恰好包含 2 个完整周期 ， 根据
周期性结合图象，
当 ，或 ，或 时，方程在区间内有 4 个根，两两关于 、
对称， ；
当 时，方程在区间内有 7 个根， ；
当 时，方程在区间内有 6 个根， ；
当 或 时，方程在区间内有 8 个根，
.