第一章问题解决的策略：反思表格式 教案 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

这是一份第一章问题解决的策略：反思表格式 教案 2025-2026学年北师大版八年级数学下册，共10页。
北师大版（2026）八年级数学下册第一章《三角形的证明》 问题解决的策略：反思 学科 数学年级八课型新授课单元一课题问题解决的策略：反思课时1课标要求让学生“想得到”（合情推理与转化）、“证得清”（演绎推理与逻辑）、“说得明”（数学表达），通过一章节的学习，学生建立的不仅是三角形的公理化体系，更是面对复杂的问题时，化繁为简，由表及里。严谨求证的思维习惯。教材分析 在北师大版2024新教材中，“问题解决的策略”单元被赋予了更重的素养导向。本课时聚焦于“反思”，旨在打破学生“解完题即扔”的习惯。反思不是简单的检查答案，而是对解题过程的回顾、对策略优劣的评估、对数学模型的提炼以及对通法通解的归纳。学情 分析八年级学生已经具备了一定的数学基础（如一次函数、全等三角形、方程等），但在解决问题时往往急于求成，缺乏深度思考。他们能听懂老师讲的方法，但自己很难想出多种解法，也不善于总结规律。核心素养目标1、通过对典型问题的回顾，掌握反思的具体方法（如检查结果、寻求多解、推广变式等）。 2、经历“解题—回顾—评估—拓展”的过程，培养思维的批判性、灵活性和深刻性。 3、养成严谨细致的数学学习习惯，体验从不同角度审视问题的乐趣，提升数学元认知能力。教学重点掌握反思的三个维度——结论检验、策略优化、模型推广。教学难点如何引导学生跳出具体题目，提炼出通性通法，并进行有效的变式推广。教学 准备教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图一、引新 一个梯子靠在墙上，梯子顶端下滑1米，梯子底端滑动也是1米吗？ 思考问题如何解决。情景引入导入新课二、探究探究1： 一、理解问题： AO=8m,AC=1m,AB=CD=10m,AO⊥OB 求BD=? 拟定计划： 现实生活问题数学化，墙面、地面和梯子构成直角三角形，已知直角三角形的斜边和直角边，求另一条直角边。所以利用勾股定理先求出OB、OD, BD=OD-OB 实施计划： 四、回顾反思： 一个梯子靠在墙上，梯子顶端下滑1米，梯子底端滑动不是1米。 需要通过数学知识通过计算或证明才能得到正确答案。 探究2： 证明等腰三角形两腰上的中线相等 一、理解问题： 在△ABC中，AB=AC, BD、CE分别是AC、AB的中线，求证BD=CE 二：拟定计划 证明线段相等的常用方法：1、全等三角形对应边相等；2、角平分线上的点到两边的距离相等；3、线段的垂直平分线到两个端点的距离相等。 找出线段BD、CE所在的三角形；△ABD和△ACE、 △BCE和△CBD、 三、实施计划： 证法一 ∵AB=AC, BD、CE分别是AC、AB的中线。 ∴AE=AD 在△ABD和△ACE中 AD=AE,∠A=∠A,AB=AC ∴△ABD≌△ACE(SAS) ∴BD=CE 证法二 ∵AB=AC, BD、CE分别是AC、AB的中线。 ∴BE=CD，∠ABC=∠ACB 在△BCE和△CBD中 CD=BE,∠ABC=∠ACB,BC=BC ∴△BCE≌△CBD(SAS) ∴BD=CE 四、回顾反思： 1、除了等腰三角形两腰的中线相等外，你还能得到什么结论？比如，等腰三角形两腰上的高线、角平分线。小组交流，交流结果记录在学习单上。 2、等边三角形具有以上性质吗？小组交流，交流结果记录在学习单上。 探究二 等腰三角形两腰上的中线相等的逆命题是： 三角形两边中线相等的三角形是等腰三角形 一、理解问题： 在△ABC中，BD=CE, BD、CE分别是AC、AB的中线，求证AB=AC 二：拟定计划 利用三角形全等的对应边相等，或证明∠ABC=∠ACB,根据等角对等边证明AB=AC。 三、实施计划： 连接DE ,延长BC至F使CF=ED ∵E、D是AB、AC的中点， ∴ED∥BC ∴EDFC是平行四边形，DF∥EC,DF=EC=BD ∴∠DFC=∠ECB=∠DBC 在△BCE和△CBD中 BD=CE,∠ECB=∠DBC,BC=BC ∴△BCE≌△CBD(SAS) ∴∠EBC=∠DCB ∴AB=AC,△ABC是等腰三角形 四、回顾反思： 还有其他方法可以证明吗： 证明△BOE≌△COD，得到BE=CD,由于E、D 是AB、AC的中点，得到AB=AC 自己写出完整的证明过程。小组探究一个梯子靠在墙上，梯子顶端下滑1米，梯子底端滑动多少米？ 自学第42页内容。 3、小组合作完成三角形两边中线相等的三角形是等腰三角形的证明。设计一个梯子靠在墙上，梯子顶端下滑1米，梯子底端滑动多少米；证明等腰三角形两腰上的中线相等；三角形两边中线相等的三角形是等腰三角形的证明。使学生围绕“理解问题、拟定计划、实施计划、回顾思考”四个环节进行。重点使回顾思考环节，打破学生“解完题即扔”的习惯。反思不是简单的检查答案，而是对解题过程的回顾、对策略优劣的评估、对数学模型的提炼以及对通法通解的归纳三、尝试基础达标： 1．直角三角形的两直角边长分别是3cm，4cm，则斜边上的中线长为（　C　） A．5cm B．2.4cm C．2.5cm D．5cm或 cm 2．已知等腰三角形两边长是10 cm和5 cm，那么它的腰长是(　D　) A．25cm B．15cm C．10 cm或5 cm D．10 cm 3．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（  C ） A．一个锐角和斜边对应相等B．两条直角边对应相等 C．两个锐角对应相等 D．斜边和一条直角边对应相等 4．如图，在△ABC中，AB=AC，AD∥BC，∠BAC=130°，则∠DAC等于 25° ． 5．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，CD＝6cm，则AB的长为 12 cm． 第4题 第5题 6．如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A＝52°，则∠1＋∠2的度数为 64° ． 第6题 第7题 能力提升： 7.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°.∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是 108° ． 【解答提示】:连接BO，延长AO交BC与G 根据等腰三角形三线合一，可证△BOC是等腰三角形， 即BO=CO,等边对等角得到∠OBC=∠BCO 综合角平分线性质和垂直平分线性质，可求出∠OBC=36°，根据翻折性质∠OCE=∠COE=36°， 在△COE中其内角和180°，继而求出∠OEC=108° 拓展迁移 8.如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O． (1)求证：AB＝DC； (2)试判断△OEF的形状，并说明理由． 证明：（1）∵BE＝CF， ∴BE＋EF＝CF＋EF，      即BF＝CE．         又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C， ∴△ABF≌△DCE（AAS），         ∴AB=DC．                  （2）△OEF为等腰三角形        理由如下：∵△ABF≌△DCE， ∴∠AFB=∠DEC． ∴OE=OF． ∴△OEF为等腰三角形． 9．如图25，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A=40º. （1）求∠NMB的度数； （2）如果将（1）中∠A的度数改为70º，其余条件不变， 再求∠NMB的度数； （3）你发现有什么样的规律性，试证明之； （4）若将（1）中的∠A改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改？ （1）∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∴∠B＝（180°-∠A）=70°， ∴∠NMB=90°-∠B=90°-70°=20°. （2）∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∴∠B＝ （180°-∠A）=55°, ∴∠NMB=90°-∠B=90°-55°=35°. （3）规律：∠NMB的度数等于顶角∠A度数的一半， 证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∴∠B= （180°-∠A）， ∵∠BNM=90°， ∴∠NMB=90°-∠B=90 °- （180°-∠A）=∠A 即∠NMB的度数等于顶角∠A度数的一半. (4):将（1）中的∠A改为钝角，这个规律不需要修改，仍有等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边的延长线相交所成的锐角等于顶角的一半．学生完成课堂练习引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。四、提升问题解决的策略：反思 1、理解问题（已知条件是什么？目标是什么？将条件标注到图形中） 2、拟定计划（需要运用什么知识点，题中已知条件和所求问题有什么联系，整理思路，准备解答） 3、实施计划（解答实施阶段，注意思维的严谨性，书写的规范性） 4、回顾反思（对解题过程的回顾、对策略优劣的评估、对数学模型的提炼以及对通法通解的归纳） 引导学生进行课堂总结引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。板书设计解决问题的策略：反思 1、理解问题 2、拟定计划 3、实施计划 4、回顾反思利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。作业设计 （课外练习）基础达标： 1．等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为 6和4或5和5 ． 2．在等腰三角形ABC中，∠A=100°，则∠B= 40° . 3．等腰三角形的一内角等于50°，则其它两个内角各为 50°和80°或65°和65°． 4. 如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝30°，当∠A＝ 30°或75°或120°时，△AOP为等腰三角形． 第4题 第5题 第6题 5．如图,已知点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是(　C　) A．48 B．60 C．76 D．80 6．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若AB=10厘米，AC=9厘米，BC=8厘米，则△EBC的周长等于（　B　） A．17厘米   B．18厘米    C．19厘米   D．13.5厘米 能力提升： 7. 如图，下列三角形中，若AB＝AC，则能被直线分成两个小等腰三角形的是(  D  ) A．①②③    B．①②④ C．②③④    D．①③④ 8. 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE＝ 米时，有DC＝AE＋BC. 解答提示：在直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半,得到AC=12米。设AE=x,CE=12-X,在Rt△CED中DE=2,利用勾股定理求出CD，再根据DC＝AE＋BC.列出方程求解。 拓展迁移： 9. 如图，已知A，B，C，D四个城镇(除B，C外)都有笔直的公路相接，公共汽车行驶于城镇之间，公共汽车票价与路程成正比，已知各城镇间公共汽车票价如下： A B 20元， A C 25元 A D 16元, B D 12元 C D 9元 为了B，C间的交通方便，打算在B，C之间建一条笔直公路，请按上述标准预算出B，C之间的公共汽车票价是 15 元． 10.如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM＝ON，OD＝OE，DN和EM相交于点C.求证：点C在∠AOB的平分线上． 证明：过点C作CG⊥OA于点G，CF⊥OB于点F，如图， 在△MOE和△NOD中，OM＝ON，∠MOE＝∠NOD，OE＝OD，∴△MOE≌△NOD(SAS)， ∴S△MOE＝S△NOD， ∴S△MOE－S四边形ODCE＝S△NOD－S四边形ODCE， ∴S△MDC＝S△NEC. ∵OM＝ON，OD＝OE，∴MD＝NE. ∴CG＝CF.又 ∵CG⊥OA，CF⊥OB， ∴点C在∠AOB的平分线上 11.已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与点C重合，它的两条直角边分别与OA，OB相交于点D，E. (1)如图①，若CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E.求证：CD＝CE； (2)当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图②这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明． 解：(1)根据ASA证明△DOC≌△EOC即可得出CD＝CE　 (2)成立．如图，过点C作CH⊥AO于点H，CG⊥OB于点G， ∵OM平分∠AOB，∴CG＝CH. ∵∠AOG＝90°，∴∠HCG＝90°， ∴∠HCD＋∠DCG＝90°,∠DCG＋∠GCE＝90°， ∴∠HCD＝∠GCE. 又∵∠CHD＝∠CGE＝90°， ∴△CHD≌△CGE(ASA)， ∴CD＝CE教学反思