2025~2026学年浙江省湖州市长兴县南太湖联盟高二上册12月联考数学检测试卷（附解析）

这是一份2025~2026学年浙江省湖州市长兴县南太湖联盟高二上册12月联考数学检测试卷（附解析），共23页。试卷主要包含了条件，已知F为抛物线C，点P在圆C1等内容，欢迎下载使用。
A．1B．−33C．33D．−3
【答案】D
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；直线的截距式方程
【解析】【解答】解：因为直线l倾斜角为60°，所以直线l的斜率为tan60°=3，
则直线l的方程为y=3x−1，
令x=0，得y=−3，则直线l的纵截距为−3.
故答案为：D.
【分析】先利用直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，从而得到直线l的斜率，再利用点斜式方程求出直线l的方程，从而求出直线l的纵截距.
2．（2025高二上·长兴月考）“20m>4−m，解得20.4时，n的最大值为14
C．当n=13时，1|P1F2|⋅|P2F2|+1|P2F2|⋅|P3F2|+⋯+1|P12F2|⋅|P13F2|=34
D．1|P2F2|+9|Pn−1F2|的最小值为85
【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；等差数列的通项公式；椭圆的简单性质；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：对于A，由椭圆C:x225+y216=1，得a=5b=4，
所以c=a2−b2=3，
则焦点三角形△PiF1F2(i=2,⋯,n−1)的周长2a+2c=16，故A正确；
对于B，由选项A，可得P15,0,Pn−5,0,F23,0，则P1F2=2,PnF2=8，
由等差数列P1F2,P2F2,P3F2,⋯,PnF2的公差d>0，
得PnF2=P1F2+n−1d，整理可得d=6n−1，
由d>0.4，得6n−1>0.4，解得n302，且y1+y2=−16t2t2+1,y1y2=302t2+1，
则△AOB的面积为：
S△AOB=S△TOB−S△TOA
=12|OT|⋅|y1−y2|=2(y1+y2)2−4y1y2=2256t2(2t2+1)2−1202t2+1
=44t2−302t2+1=84t2−30(4t2−30)2+32=84t2−30+324t2−30≤824t2−30⋅324t2−30=22，
当且仅当4t2−30=324t2−30时，即当t=±622时取等号，
所以△AOB面积的最大值为22.
（ⅱ）证明：由（1）得C(−1,0),D(1,0)，
由（ⅰ）得8ty1y2=−15(y1+y2)，
则直线AC的方程为y=y1x1+1(x+1)，直线BD的方程为y=y2x2−1(x−1)，
所以x+1x−1=y2(x1+1)y1(x2−1)=y2(ty1+5)y1(ty2+3)=ty1y2+5y2ty1y2+3y1=8ty1y2+40y28ty1y2+24y1
=−15(y1+y2)+40y2−15(y1+y2)+24y1=−15y1+25y29y1−15y2=−53，
由x+1x−1=−53，解得x=14，
则直线BD与AC交点G的横坐标为14，
所以，点G在定直线x=14上.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合椭圆短轴长定义和椭圆的离心率公式以及椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出a，b，c的值，进而得出椭圆的标准方程.
（2）（ⅰ）由题意，显然直线AB不垂直于y轴，则设出直线AB的方程，将直线AB的方程与椭圆方程联立，再结合判别式法和韦达定理以及三角形的面积公式，利用基本不等式求最值的方法，从而求出△AOB面积的最大值.
（ⅱ）由（ⅰ）得C(−1,0),D(1,0)和8ty1y2=−15(y1+y2)，利用点斜式方程得出直线AC的方程和直线BD的方程，再利用已知条件得出直线BD与AC交点G的横坐标，从而证出点G在定直线x=14上.
（1）由椭圆Γ:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，得b=1，
由椭圆Γ的离心率为22，得a2−b2a=22，解得a=2，
所以所求椭圆的标准方程为y22+x2=1.
（2）（ⅰ）显然直线AB不垂直于y轴，设其方程为x=ty+4，设A(x1,y1),B(x2,y2)，
由x=ty+4y2+2x2=2消去x得(2t2+1)y2+16ty+30=0，
由Δ=256t2−120(2t2+1)>0，解得|t|>302，且y1+y2=−16t2t2+1,y1y2=302t2+1，
则△AOB的面积为S△AOB=S△TOB−S△TOA
=12|OT|⋅|y1−y2|=2(y1+y2)2−4y1y2=2256t2(2t2+1)2−1202t2+1
=44t2−302t2+1=84t2−30(4t2−30)2+32=84t2−30+324t2−30≤824t2−30⋅324t2−30=22，
当且仅当4t2−30=324t2−30，即t=±622时取等号，所以△AOB面积的最大值为22.
（ⅱ）由（1）得C(−1,0),D(1,0)，由（ⅰ）得8ty1y2=−15(y1+y2)，
直线AC的方程为y=y1x1+1(x+1)，直线BD的方程为y=y2x2−1(x−1)，
则x+1x−1=y2(x1+1)y1(x2−1)=y2(ty1+5)y1(ty2+3)=ty1y2+5y2ty1y2+3y1=8ty1y2+40y28ty1y2+24y1
=−15(y1+y2)+40y2−15(y1+y2)+24y1=−15y1+25y29y1−15y2=−53，由x+1x−1=−53，解得x=14，
因此直线BD与AC交点G的横坐标为14，
所以点G在定直线x=14上.