精品解析：湖北省楚天协作体2026届高三下学期3月阶段检测数学试卷含解析（word版）

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1. 如果集合只有一个元素，则实数的值是（）
A. 0或4B. 4C. 0或D. 0
2. 已知向量，不共线，若，（其中），且，，三点共线，则值是（）
A. B. 1C. D. 2
3. 为了研究物理成绩与数学成绩之间的关系，随机抽取名学生的成绩，用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则样本点的残差为（）
A. B. C. D.
4. 已知三条不同的直线，，和两个不同的平面，，下列四个命题中正确的是（）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
5. 已知、均为锐角，，，则（）
A. B. C. D.
6. 在平面直角坐标系中，已知圆，点．点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为（）
A. 2B. 3C. 4D. 5
7. 已知数列是各项均为正数的等差数列，且公差；数列是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项，下列说法正确的个数是（）
①数据，，，…，的平均数是；
②数据，，，…，的平均数是；
③若，，则数据，，，…，中位数大于数据，，，…，的中位数；
④若，，则数据，，，…，的平均数大于数据，，，…，的平均数．
A. 1B. 2C. 3D. 4
8. 关于的方程有实根，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知复数，其中，，为虚数单位，则下列说法正确的是（）
A. 若，则B. 是为纯虚数的充要条件
C. 若，则D. 若，则的最大值为
10. 春节假期过后，车主小张选择去该市新开的，两家共享自助洗车店洗车．已知小张第一次去，两家洗车店洗车的概率分别为和，如果小张第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为；如果小张第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为，则下列结论正确的是（）
A. 小张第一次去洗车店，第二次也去洗车店的概率为
B. 小张第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率小
C. 若小张第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为
D. 若小张第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为
11. 已知抛物线的准线方程为．过点且斜率为的直线与交于，两个不同的点，为坐标原点．过点作轴的垂线，交直线于点．则下列说法正确的是（）
A. 曲线的方程是
B. 的取值范围为
C. 若，则的取值范围为
D. 线段的中点在一条定直线上
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 2025年泡泡玛特旗下的IP“LABUBU”突然爆火．现有5个不同造型的“LABUBU”．把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有_______种不同的装法．
13. 在中，角，，的对边分别是，，，若，为锐角三角形，则的取值范围是_______．
14. 在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则的最小值为_______．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 某工厂推出一款新产品，为了调查顾客对该新产品的满意程度，厂家分别对甲地的300名使用者和乙地的200名使用者进行问卷调查，统计并得到如下列联表：
（1）根据小概率值的独立性检验，分析使用者的满意度是否与区域有关；
（2）从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法随机抽取9名使用者，再从这9名使用者中随机抽取4人进一步调研，记4人中乙地人数为，求的分布列和数学期望.
附录：.
16. 如图：正八面体可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体．
（1）证明：平面平面；
（2）若，点为棱上的动点，则直线与平面所成的角的正弦值的范围．
17. 已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）若对任意恒成立，求实数取值范围．
18. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．点为双曲线右支上除右顶点外的任意点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值；
（3）已知的左顶点和右焦点，直线与直线相交于点．试问是否存在常数，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
19. 已知函数．
（1）当时，讨论图象与直线的交点个数；
（2）对任意的，恒成立，求的值；
（3）证明：，．
甲地使用者
乙地使用者
合计
不满意
100
50
150
满意
200
150
350
合计
300
200
500
0.15
01
0.05
0.025
001
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828