湖北孝感市楚天协作体2025-2026学年高三下学期开学考试数学试卷（Word版附解析）

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是符合题目要求的.
1. 若集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知 为虚数单位，则 的虚部为（ ）
A. B. 1 C. D.
3. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 若平面向量 两两的夹角相等，且 ，则 （ ）
A 3 B. 4 C. 3 或 0 D. 4 或 1
5. 若函数 是奇函数，则 的值为（ ）
A 2 B. C. D. 1
6. 已知圆 与直线 相交于 两点，当
最小时， 的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知四面体 满足 均为等腰三角形，若
，则该四面体外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 若 ，则下列不等关系一定不成立的是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分.
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9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若 ，则
B 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
10. 下列说法中正确的有（ ）
A. 一组数据 48，49，53，54，55，55，55，57 的下四分位数为 51
B. 在成对样本数据分析中相关系数 ，表示两个变量之间没有线性相关关系
C. 经验回归方程为 时的观测值为 34，则残差为 0.009
D. 将总体划分为两层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为 和 ，若
，则总体方差
11. 已知双曲线 为坐标原点， 分别是双曲线的左右焦点， 是双曲线位
于第一象限上的点， 分别是 的内心、重心，则下列说法正确的是（ ）
A. 的横坐标为
B. 直线 与双曲线相切
C. 的最大值是
D. 若 轴，则
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 _____．
13. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ，过右焦点 且倾斜角为 的直线交椭
圆于 两点，满足 ，则椭圆 的离心率 _____．
14. 已知 ，则 _____
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； _____．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 分别为 的内角 所对的边， 且 ．
（1）求 ；
（2）已知 是边 的中点，求 的最大值．
16. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 正方形，侧面 是正三角形，侧面
底面 是 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）试问在线段 上是否存在一点 ，使得平面 与底面 所成夹角的余弦值为 ，若存在
求出 的值，若不存在，请说明理由．
17. 2026 年被业界公认为“具身智能元年”．得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟．
人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中
学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动．活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第
二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华，小方 3 位同学通过第一轮的概率
均为 ，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为 ,假设他们之间通过与否相互独立．
（1）求这 3 人中至多有 2 人通过第一轮的概率；
（2）从 3 人中随机选出一人，求他通过第二轮 概率；
（3）设这 3 人中通过第二轮的人数为 ，求 的分布列及期望．
18. 已知函数 为无理数且
（1）求 在区间 的最值；
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（2）若 对 恒成立，求 的取值范围；
（3）对于 ，证明： ．
19. 已知点 是抛物线 的焦点， 是抛物线 上的一点且有 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）已知点 ，连接 、 并延长交抛物线 于另外一点 ．
（i）若抛物线 上有且仅有 3 个点 使得 的面积均为定值 ，
求 的值；
（ii）已知点 、 是抛物线 上异于 、 的两点，且 是 的角平分线．请问直线 是否过定
点 ，若过定点，求出 点的坐标，若不过定点，请说明理由．