初中数学本单元综合与测试课时训练

这是一份初中数学本单元综合与测试课时训练，共8页。试卷主要包含了 选择题， 填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。
（时间：90分钟 满分：120分）
一、 选择题（每小题3分，共24分）
1. （2025重庆期中）下列式子中，属于二次根式的是( )
A. eq \r(2) B. eq \r(a) C. eq \r(－7) D. 8
2. （2025镇江润州二模）若式子1＋ eq \r(x－1)在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x≠1 B. x≥1 C. x≥－1 D. x≤1
3. （2025泰州姜堰月考）下列各式中，属于最简二次根式的是( )
A. eq \r(\f(1,2)) B. eq \r(0.2) C. eq \f(1,\r(2)) D. eq \r(2)
4. （2025苏州昆山月考）计算－ eq \r(\f(1,2))× eq \r(12)的结果为( )
A. －6 B. － eq \r(6) C. eq \r(6) D. 6
5. （2025徐州）下列计算中，错误的是( )
A. eq \r(2)＋ eq \r(3)＝ eq \r(5) B. eq \r(2)× eq \r(3)＝ eq \r(6)
C. eq \r(8)÷ eq \r(2)＝2 D. （－ eq \r(3)）2＝3
6. 若|a－ eq \r(3)|＋ eq \r(9a2－12ab＋4b2)＝0，则ab的值为( )
A. eq \r(3) B. eq \f(9,2) C. 4 eq \r(3) D. 9
7. （2025宿迁月考）已知ab＜0，且（ eq \r(a)）2＝5， eq \r(b2)＝3，则a＋b结果是( )
A. 8 B. 2 C. －2 D. －8
8. （2025苏州工业园区模拟）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长，求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝ eq \r(p(p－a)(p－b)(p－c))求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦－秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足a＝3，b＋c＝5，则此三角形面积的最大值为( )
A. eq \f(3,2) B. 3 C. eq \r(7) D. eq \r(11)
二、 填空题（每小题3分，共30分）
9. （2025吉林）计算： eq \r(3)＋ eq \r(12)＝ ．
10. （2025镇江丹徒期末）若 eq \r(3)与最简二次根式 eq \r(2m＋1)是同类二次根式，则m＝ ．
11. （2025南京二十九中月考）计算 eq \r(32a)· eq \r(2a)(a≥0)的结果为 ．
12. （2025天津）计算（ eq \r(61)＋1）（ eq \r(61)－1）的结果为 ．
13. （2025宿迁宿城期末）已知矩形的宽是3 eq \r(2)，面积是18 eq \r(6)，则矩形的长为 ．
14. （2025南京二模）计算 eq \r(12)÷ eq \r(6)＋ eq \r(18)的结果是 ．
15. （2025常州钟楼月考）如图，在长方形ABCD内，两个小正方形的面积分别为1，3，则图中阴影部分的面积为 ．
16. 已知实数a，b满足 eq \r(a－3)＋|b－1|＝0，则 eq \f(b,\r(a))的值为 ．
17. 若（ eq \r(a)＋ eq \r(b)＋1）（ eq \r(a)＋ eq \r(b)－1）＝63，则 eq \r(a)＋ eq \r(b)＝ ．
18. （2025淮安月考）已知当a取某一范围内的实数时，代数式 eq \r((2－a)2)＋ eq \r((a－3)2)的值是一个常数（确定值），则这个常数的值为 ．
三、 解答题（共66分）
19. （12分）计算：
(1) eq \r(27)－ eq \f(\r(18),3)－ eq \r(12)； (2) eq \r(32)÷（－ eq \r(6)）× eq \f(\r(24),6)；
(3) （ eq \r(2)＋1）×（2－ eq \r(2)）； (4) eq \r(1.5)× eq \r(\f(8,3))＋（ eq \r(2)－2）2.
20. （6分）计算：
(1) （2025苏州吴江月考）（ eq \r(2)＋ eq \r(3)－ eq \r(6)）（ eq \r(2)－ eq \r(3)＋ eq \r(6)）；
(2) （2025南通海安月考）（3－2 eq \r(2)） （ eq \r(2)＋1）2＋（1－ eq \r(2)）（ eq \r(2)＋1）.
21. （6分）（2025重庆期中）求下列各式的值，其中a＝3＋ eq \r(5)，b＝3－ eq \r(5).
(1) a2b＋ab2; (2) a2－4ab＋b2.
22. （6分） (1) 已知△ABC的周长为（5 eq \r(5)＋2 eq \r(10)） cm，AB，BC的长分别为 eq \r(45) cm和 eq \r(40) cm.求AC的长；
(2) 已知△ABC的面积为（20 eq \r(6)＋4 eq \r(5)） cm2，AC＝2 eq \r(5) cm，求边AC上的高．
23. （8分）(1) （2025南通海安新丰中学月考）已知x＝ eq \r(2)＋1，求x＋1－ eq \f(x2,x－1)的值；
(2) （2025扬州仪征期中）已知x是 eq \r(2)的小数部分，y＝2＋x，求x2＋xy＋y2的值．
24. （8分）（2025盐城期中）高空抛物严重威胁着人们的头顶安全，即便是常见的小物件，一旦从高空落下，其威力也十分惊人，而且落地用时很短，行人常常来不及避让．据研究，从高度为h（单位：m）的高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h满足关系式t＝ eq \r(\f(2h,g))（不考虑风速的影响，g的值近似取10 m/s2），已知小杰家所住楼层的高度是20 m.
(1) 若一个物品从小杰家抛出，求该物品落地的时间；
(2) 小华说他家所住楼层的高度是小杰家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小杰家抛出，从他家抛出的物品落地所需要的时间是从小杰家抛出的物品落地所需时间的2倍，小华的说法正确吗？请说明理由．
25. （10分）先阅读下列材料然后作答.
26. （10分）（2025德州期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3＋2 eq \r(2)＝（1＋ eq \r(2)）2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a＋b eq \r(2)＝（m＋n eq \r(2)）2（其中a，b，m，n均为整数），则有a＋b eq \r(2)＝m2＋2n2＋2mn eq \r(2)，
所以a＝m2＋2n2，b＝2mn.这样小明就找到了一种把部分a＋b eq \r(2)的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1) 当a，b，m，n均为正整数时，若a＋ eq \r(3)b＝（m＋ eq \r(3)n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，则a＝ ，b＝ ；
(2) 7＋4 eq \r(3)的算术平方根为 ；
(3) 若a＋6 eq \r(3)＝（m＋n eq \r(3)）2，且a，m，n均为正整数，求a的值；
(4) 化简： eq \r(4－\r(10＋2\r(5)))＋ eq \r(4＋\r(10＋2\r(5))).
第11章达标检测卷
1. A 2. B 3. D 4. B 5. A 6. B 7. B
8. B 9. 3 eq \r(3) 10. 1 11. 8a 12. 60 13. 6 eq \r(3)
14. 4 eq \r(2) 15. eq \r(3)－1 16. eq \f(\r(3),3) 17. 8 18. 1
19. (1) eq \r(3)－ eq \r(2) (2) － eq \f(4\r(2),3) (3) eq \r(2) (4) 8－4 eq \r(2)
20. (1) 6 eq \r(2)－7 (2) 0
21. 解：因为a＝3＋ eq \r(5)，b＝3－ eq \r(5)，
所以a＋b＝6，a－b＝2 eq \r(5)，ab＝9－5＝4.
(1) 原式＝ab(a＋b)＝4×6＝24.
(2) 原式＝(a－b)2－2ab＝20－8＝12.
22. 解：(1) 因为△ABC的周长为(5 eq \r(5)＋2 eq \r(10))cm，
所以AB＋BC＋AC＝(5 eq \r(5)＋2 eq \r(10))cm，
所以AC＝5 eq \r(5)＋2 eq \r(10)－ eq \r(45)－ eq \r(40)＝5 eq \r(5)＋2 eq \r(10)－3 eq \r(5)－2 eq \r(10)＝2 eq \r(5)(cm).
(2) 因为△ABC的面积为(20 eq \r(6)＋4 eq \r(5))cm2，AC＝2 eq \r(5)cm，
所以边AC上的高为 eq \f(2×(20\r(6)＋4\r(5)),2\r(5))＝4 eq \r(30)＋4(cm).
23. 解：(1) 原式＝ eq \f((x＋1)(x－1)－x2,x－1)＝ eq \f(x2－1－x2,x－1)＝－ eq \f(1,x－1)，
当x＝ eq \r(2)＋1时，－ eq \f(1,x－1)＝－ eq \f(1,\r(2)＋1－1)＝－ eq \f(\r(2),2).
(2) 因为1＜ eq \r(2)＜2，所以x＝ eq \r(2)－1，
所以y＝2＋ eq \r(2)－1＝ eq \r(2)＋1，
所以x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝( eq \r(2)－1＋ eq \r(2)＋1)2－( eq \r(2)－1)( eq \r(2)＋1)＝8－(2－1)＝7.
24. 解：(1) 由题意，得g≈10 m/s2，h＝20 m.
所以t＝ eq \r(\f(2h,g))≈ eq \r(\f(2×20,10))＝ eq \r(4)＝2(s)，
所以物品从小杰家抛出，落地的时间为2s.
(2) 不正确，理由如下：
因为小华家住的高度是小杰家的2倍，
所以h小华＝2×20＝40(m).
代入公式，得t＝ eq \r(\f(2h小华,g))≈ eq \r(\f(2×40,10))＝ eq \r(2×22)＝2 eq \r(2)，
所以 eq \f(t小华,t小杰)＝ eq \f(2\r(2),2)＝ eq \r(2)，
即从小华家抛出的物品落地所需要的时间是从小杰家抛出的物品落地所需时间的 eq \r(2)倍．
故小华的说法不正确．
25. 解：(1) ①m＝13，n＝42，
因为7＋6＝13，7×6＝42，
所以( eq \r(7))2＋( eq \r(6))2＝13， eq \r(7)× eq \r(6)＝ eq \r(42)，
所以 eq \r(13－2\r(42))＝ eq \r((\r(7)－\r(6))2)＝ eq \r(7)－ eq \r(6).
②因为 eq \r(7＋\r(40))＝ eq \r(7＋2\r(10))，
所以m＝7，n＝10，
因为2＋5＝7，2×5＝10，
所以( eq \r(2))2＋( eq \r(5))2＝7， eq \r(2)× eq \r(5)＝ eq \r(10)，
所以 eq \r(7＋\r(40))＝ eq \r((\r(2)＋\r(5))2)＝ eq \r(2)＋ eq \r(5).
(2) BC＝ eq \r((4－\r(3))2－(\r(3))2)＝ eq \r(16－8\r(3))，
因为 eq \r(16－8\r(3))＝ eq \r(16－2\r(48))，
所以m＝16，n＝48，
因为4＋12＝16，4×12＝48，
所以( eq \r(4))2＋( eq \r(12))2＝16， eq \r(4)× eq \r(12)＝ eq \r(48)，
所以BC＝ eq \r(16－8\r(3))＝ eq \r((\r(12)－\r(4))2)＝ eq \r(12)－ eq \r(4)＝2 eq \r(3)－2.
26. 解：(1) m2＋3n2 2mn (2) 2＋ eq \r(3)
(3) 因为a＋6 eq \r(3)＝(m＋n eq \r(3))2＝m2＋3n2＋2mn eq \r(3)，
所以a＝m2＋3n2，2mn＝6，即mn＝3.
因为a，m，n均为正整数，
所以m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，
所以当m＝1，n＝3时，
a＝m2＋3n2＝1＋3×9＝28；
当m＝3，n＝1时，
a＝m2＋3n2＝9＋3×1＝12，
所以a的值为28或12.
(4) ( eq \r(4－\r(10＋2\r(5)))＋ eq \r(4＋\r(10＋2\r(5))))2
＝4－ eq \r(10＋2\r(5))＋2 eq \r(4－\r(10＋2\r(5)))× eq \r(4＋\r(10＋2\r(5)))＋4＋ eq \r(10＋2\r(5))
＝8＋2 eq \r((4－\r(10＋2\r(5)))×(4＋\r(10＋2\r(5))))
＝8＋2 eq \r(16－(10＋2\r(5)))
＝8＋2 eq \r(6－2\r(5))
＝8＋2 eq \r((\r(5)－1)2)
＝8＋2( eq \r(5)－1)
＝6＋2 eq \r(5)，
所以 eq \r(4－\r(10＋2\r(5)))＋ eq \r(4＋\r(10＋2\r(5)))＝ eq \r(6＋2\r(5))＝ eq \r((\r(5)＋1)2)＝ eq \r(5)＋1.
提出问题
eq \r(7＋4\r(3))该如何化简？
分析问题
形如 eq \r(m±2\r(n))的化简，只要我们找到两个数a，b，使a＋b＝m，ab＝n，这样（ eq \r(a)）2＋（ eq \r(b)）2＝m， eq \r(a)· eq \r(b)＝ eq \r(n)，那么便有 eq \r(m±2\r(n))＝ eq \r((\r(a)±\r(b))2)＝ eq \r(a)± eq \r(b)(a＞b).
解决问题
解：首先把 eq \r(7＋4\r(3))化为 eq \r(7＋2\r(12))，这里m＝7，n＝12，由于4＋3＝7，4×3＝12，即（ eq \r(4)）2＋（ eq \r(3)）2＝7， eq \r(4)× eq \r(3)＝ eq \r(12)，所以 eq \r(7＋4\r(3))＝ eq \r(7＋2\r(12))＝ eq \r((\r(4)＋\r(3))2)＝2＋ eq \r(3).
方法应用
(1) 利用上述解决问题的方法化简下列各式：
① eq \r(13－2\r(42))；
② eq \r(7＋\r(40))；
(2) 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4－ eq \r(3)，AC＝ eq \r(3)，求边BC的长．（结果化成最简）