吉林省通化市梅河口市第五中学2026届高三下学期开学考试 数学试卷（含解析）

这是一份吉林省通化市梅河口市第五中学2026届高三下学期开学考试 数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知全集，集合或，，则Venn图中阴影部分表示的集合为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
解析：集合或，故，
由Venn图可知影部分表示的集合为.
故选：A
2. 若，，复数所对应的点在实轴上，则实数等于（ ）
A. B. 2C. D. 1
【答案】C
解析：，，
，
又所对应的点在实轴上，
，．
故选：C
3. 在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为，那么这组数据的第75百分位数为（ ）
A. 38B. 39C. 40D. 41
【答案】B
解析：8场比赛得分从小到大排列为：25，29，30，32，37，38，40，42，
因为，所以第75百分位数为.
故选：B.
4. 已知向量，的夹角为150°，且，，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
解析：因为，
所以.
故选：D
5. 抛掷一枚质地均匀的硬币，一直到出现正面向上时或抛满100次时结束，设抛掷的次数为，则随机变量的数学期望（ ）
A. 大于2B. 小于2C. 等于2D. 与2的大小无法确定
【答案】B
解析：由题意，在第次结束抛掷的概率为，第100次结束的概率为，
所以，
则，
故
，
所以.
故选：B
6. 已知为正项数列的前项和．若，且，则（ ）
A. 7B. 15C. 8D. 16
【答案】B
解析：因为，
所以，即．
因为，所以，所以，
所以数列是公比为2的等比数列，
所以，则，
所以，解得，
所以，则．
故选：B．
7. 为等边三角形所在平面内的一点，向量，且，.设向量与的夹角为，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：设等边三角形的边长为1，
以为原点，所在直线为轴，以过点且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，
所以，
所以，
则，
所以，
则.
又因为，
函数在上单调递增，
所以在上单调递减，
所以在上单调递增，
所以，
所以.
故选：C.
8. 已知函数，有5个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：因为当时，，
所以，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，所以，
当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
作出函数的图象，如图所示：
由此可得，
当时，令，解得或，
所以，
又因为，
所以，
所以；
由题意可得，，是方程，即的三个根，
所以，
即，
所以，
即，
所以．
故选：．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9. 若数列为等差数列，公差为d，其前n项和为，，，，则（ ）
A. B.
C. D. 使的最小正整数n的值为22
【答案】ACD
解析：对于A，由，得，A正确；
对于B，由，得，则，B错误；
对于C，由，得，则，，C正确；
对于D，由，得，由，
得，解得，由，得数列单调递增，则，
因此使的最小正整数n的值为22，D正确.
故选：ACD
10. 已知函数对都有，且函数的图像关于点对称，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 在区间上单调递减
C. 是上的偶函数
D. 函数有6个零点
【答案】AD
解析：对都有，则，
所以函数是周期函数，周期为4，
函数的图像向左平移1个单位得函数的图象，
又函数的图像关于点对称，
因此函数的图象关于点对称，即函数是上的奇函数，
当时，，即函数在上递增，在上单调递增，
而，因此在上递增，
由得，则的图象关于直线对称，
则函数在上递减，
对于A，，故A正确；
对于B，因函数在上递增，函数的周期为4，
则在上递增，故B错误；
对于C，因，即有，
则函数不是R上的偶函数，故C错误；
对于D，函数的零点，即函数与图象交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数与的大致图象，如图，
因函数的最大值为1，而当时，，
因此函数与图象的交点在内，
观察图象知，函数与图象在内只有6个交点，
所以函数有6个零点，故D正确.
故选：AD.
11. 在长方形ABCD中，，，点E，F分别为边BC和CD上两个动点（含端点），且，设，，则（ ）
A. ，B. 为定值
C. 的最小值50D. 的最大值为
【答案】AC
详解】对于A，由题意知当E和B重合时，，此时取最小值，取到最大值1；
当F和D重合时，，此时取最小值，取到最大值1，A正确；
对于B，当E和B重合时，，；
当分别位于的中点时，满足，
此时，，由此可知不定值，B错误；
对于C，
，
由，得，即,
即，即，
设，，
则
，（为辅助角，），
当时，取到最小值50，即的最小值50，C正确，
对于D，当时，，
则
，故D错误，
故选：AC
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分）
12. 已知公比不为1的等比数列中，且成等差数列，则___________（结果用幂表示）
【答案】
解析：已知成等差数列，则根据等差数列性质可得.
因为，设等比数列的公比为（），则，.
将，，代入可得：
，
解得或（公比不为，舍去）.
由等比数列通项公式，则.
故答案为：.
13. 将甲、乙等8人安排在4天值班，若每天安排两人，则甲、乙两人安排在同一天的概率为________．（结果用分数表示）
【答案】
解析：将甲、乙等8人安排在4天值班，若每天安排两人，共有种方案，
乙两人安排在同一天，共有，
所以甲、乙两人安排在同一天的概率为.
故答案为：
14. 若实数，，满足，，试确定，，的大小关系是_____________.
【答案】
解析：由，得，
，时，，时，，
，所以．
所以．
故答案为：．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知锐角的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角A；
（2）若，求的周长的取值范围.
【答案】（1）
（2）
解析：
（1）
由已知得，，
则根据正弦定理得，
，
为锐角三角形，．
（2）
由正弦定理得，即，
则，
，
因为，解得，得，
所以，得．
16. 已知数列的前n项和为，数列为等差数列，且满足．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1），；
（2）.
解析：
（1）
解：令，
令，又，所以，即．所以，
，① ．②
两式相减得，，
即是公比为2的等比数列，且，
所以．
（2）
解：由可得
，．
累加可得，
，
而
，
∴.
17. 已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，.求证：为定值.
【答案】（1）
（2）证明见解析
解析：
（1）
由题意可得椭圆焦点在x轴上，且，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）
由题意可知直线斜率存在，
当直线斜率为0时，显然，所以；
当直线斜率不为0时，设直线方程为，
联立方程，消去x可得，
则，
设，则，
所以，
因为，
所以.
综上，为定值0.
18. 某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）.
（1）若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求；
（2）已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）.
（i）请用表示；
（ii）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，若增加2个元件，则单位时间内的利润是否提高.
【答案】（1）分布列见解析，，
（2）（i）；（ii）若，增加2个元件后利润提高；
若时，增加2个元件后利润没有提高.
解析：
（1）
因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为，
因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以，
所以，
，
，
，
所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为
控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为，
（2）
（i）升级改造后单位时间内产量的分布列为
所以升级改造后单位时间内产量的期望为，
所以
设备升级后单位时间内的利润为，即.
（ii）若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有4个元件正常工作，其概率为；
第二类：原系统中恰好有3个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，
其概率为；
第三类：原系统中恰好有2个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，
其概率为.
所以 ，
则，
所以当时，，即增加2个元件设备正常工作的概率变大；
当时，，即增加2个元件设备正常工作的概率没有变大.
又因为，
所以当时，增加2个元件后利润提高；当时，增加2个元件后利润没有提高.
19. 已知函数，当时，恒成立.
（1）求实数a的取值范围；
（2）若函数，当实数取最小值时，求使得关于x的不等式恒成立的最大整数；
（3）已知，证明：.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
解析：
（1）
由题设在时恒成立，
等价于在上恒成立，
令，，则，
令，且，
当，即时，，即，
此时在上单调递增，则，满足题意；
当，即时，，对称轴，
所以存在，使，在时，，即，
所以在上单调递减，此时，不满足题意；
综上，的取值范围为.
（2）
由（1）知，所以，则，
令，易知在上单调递增，
由，知，存在使，即，
所以时，，，所以在上单调递减，
时，，，所以在上单调递增，
则在处取得极小值，，
又，即，
故，
由函数在上单调递增，
故在上单调递减，
所以，
又恒成立，即，故，
所以整数t的最大值为.
（3）
当时，右边，左边，左边右边，原不等式成立，
下面考虑时的情况，
由（1）知当时，，即在上恒成立，
即，
令，且，
则，
所以，
则，故，
所以，
综上，当时，成立.0
1
2
3
产量
0
设备运行概率
产品类型
高端产品
一般产品
产量（单位：件）
利润（单位：元）
2
1