初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）20.1 勾股定理及其应用第3课时教学设计

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）20.1 勾股定理及其应用第3课时教学设计，共9页。教案主要包含了证明“HL”定理，作出长为n的线段，在数轴上画出表示n的点等内容，欢迎下载使用。
第三课时《20.1 勾股定理及其应用（第3课时）》教学设计
课型
新授课☑ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析
本课时是勾股定理单元的重要延伸，承接了勾股定理的核心知识，将定理应用从“线段长度计算”拓展到“数轴上的无理数表示”，在初中数学中具有承上启下的关键作用．它既深化了学生对勾股定理的理解，又为后续学习平面直角坐标系中两点间距离公式、实数与数轴的一一对应关系等内容奠定了直观基础．通过作图与计算，学生能直观感受无理数在数轴上的存在，突破“数与形”的认知边界，强化数形结合思想．同时，本课时的作图方法为后续几何作图、立体图形中的距离计算提供了重要思路，是培养学生几何直观和数学建模能力的重要载体．
学习者分析
学生已掌握勾股定理的基本内容和简单应用，能进行直角三角形边长计算，具备一定的几何作图和运算能力，这为本课时的学习提供了知识基础．但学生对“无理数可以在数轴上表示”这一概念的理解仍较抽象，从“数”到“形”的转化存在思维障碍．同时，部分学生在作图时难以准确构造直角三角形，对作图步骤的逻辑理解不够清晰．不过，学生对动手作图、探究新知的兴趣较高，乐于通过实践操作理解抽象概念，这一特点可有效驱动课堂学习．
教学目标
1．能利用勾股定理在数轴上表示无理数．
2．能进行与勾股定理相关的几何作图与长度计算．
教学重点
能利用勾股定理在数轴上准确表示无理数，并完成相关几何计算．
教学难点
理解并掌握构造直角三角形的方法，实现从无理数到数轴上点的转化．
学习活动设计
教师活动
学生活动
环节一：学习目标
教师活动1：
师出示学习目标：
1．能利用勾股定理在数轴上表示无理数．
2．能进行与勾股定理相关的几何作图与长度计算．
学生活动1：
学生齐声读本课的学习目标
活动意图说明：
明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．
环节二：新知导入
教师活动2：
问题：说一说勾股定理的内容？
答案：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
导言：同学们，上节课我们用勾股定理解决了生活中的实际问题，今天这节课，我们继续应用用勾股定理，把“看不见、摸不着”的无理数，变成数轴上一个个实实在在的点，感受数与形的奇妙结合．
学生活动2：
学生积极回答
活动意图说明：
通过复习勾股定理的内容，为应用勾股定理作图和计算做好准备
环节三：新知讲解
教师活动3：
思考：在八年级上册中，我们曾经通过探究得出结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
提示：先画出图形，再写出已知、求证如下：
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′．
求证：△ABC≌△A′B′C′．
证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，
根据勾股定理，
BC＝AB2－AC2，B′C′＝A'B'2－A'C'2．
又AB＝A′B′，AC＝A′C′，
∴BC＝B′C′．
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．
归纳：根据勾股定理，已知直角三角形的斜边和一条直角边，就可以求出另一条直角边的长，在本题中即可证明另一条直角边也相等，就可以用“SSS”方法判定这两个三角形全等了．
探究：我们知道，任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示，你能在数轴上画出表示13的点吗？
分析：如果能画出长为13的线段，就能在数轴上画出表示13的点．我们知道，长为2的线段是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边．
由勾股定理可知，两条直角边的长分别为2，3的直角三角形，其斜边长为13．由此，可以依照如下方法在数轴上画出表示13的点．
解：如图所示，O为数轴原点，首先在数轴上找出表示3的点A，则OA=3.然后过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=2．最后以原点O为圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点C即为表示13的点．
讲解：类似地，利用勾股定理，可以画出长为2，3，5，…的线段．
按照相同的方法，还可以在数轴上画出表示1，2，3，4，5，…的点．
学生活动3：
在老师的引导下学生小组合作探究，班内交流后认真听老师的点评与讲解
活动意图说明：
通过利用勾股定理证明“HL”方法，一方面为前面因知识储备不足而没有证明的结论补充推理验证，另一方面启发学生在以后的逻辑推理中适当运用勾股定理．通过利用勾股定理作出长为√n（n是整数）的线段，进而在数轴上画出表示√n（n是整数）的点，发散学生的思维，加深学生对勾股定理应用的认知．
环节四：课堂小结
教师活动4：
问题：本节课你都学习到了哪些知识？
教师通过学生的回答，进行归纳
学生活动4：
学生积极回顾本节课学习到的知识
活动意图说明：
通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计
课题：20.1勾股定理及其应用（第3课时）
一、证明“HL”定理
二、作出长为n（n是整数）的线段
三、在数轴上画出表示n（n是整数）的点
教师板演区
学生展示区
课堂练习
【知识技能类练习】
必做题：
1．如图，网格中小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以点A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点E，连接AE，则CE的长为（ ）
A．1B．3C．3−5D．5
答案：C
2．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，分别以AB、BC、CD、AD为边向外作四个正方形，面积分别为S1、S2、S3、S4，若AC=6，S1+S3=30，S2−S4=4，则AD长为___．
答案：19
3．请在数轴上用尺规找到表示5的点，记作点A．（保留作图痕迹，不写作法）
解：如图，点A即为所求．
作法：如图，过表示数2的点M作数轴的垂线MN，取MN=1，以0为圆心，ON为半径与数轴相交于点A，则A点就是表示5的点．
选做题：
4．如图，数轴上的点A表示的数是−1，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC=2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A．2.8B．22C．22−1D．22+1
答案：C
【综合拓展类练习】
5．如图所示，已知BC=2，∠OCB=90°，以点O为圆心，OB长为半径画弧交数轴于点A．
(1)数轴上点A所表示的数为______；
(2)比较大小：点A所表示的数_____−3.5；（填“>”或“