湖北省黄冈市蕲春县第一高级中学2026届高三2月月考数学试题含答案

这是一份湖北省黄冈市蕲春县第一高级中学2026届高三2月月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合 A={x∣−1a ,若方程 fx=7 有 3 个实数解,则实数 a 的取值范围是_____. 若 ∀x∈[0,+∞) ，都有 fx≥f0 ，则实数 a 的取值范围是_____.
四、解答题
15. 记 △ABC 的三个内角分别为 A,B,C ，其对边分别为 a,b,c ，分别以 a,b,c 为边长的三个正三角形的面积依次为 S1,S2,S3 ,且 S1−S2+S3=32,sinB=32 .
(1)求 △ABC 的面积；
(2)若 sinAsinC=12 ，求 b .
16. 如图,已知椭圆 Γ:x2a2+y2b2=1a>b>0 ,记 F1、F2 分别是 Γ 的左、右焦点， B 是 Γ 的上顶点,连接 BF2 并延长交椭圆于点 A ,过 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C ,连接 F1C .

(1)若 OF1=1 ， OB=3 ， CF1=3 ，求 AF2 ；
( 2 )若点 C 的坐标为 3,2 ，且 2F2A+F2B=0 ，求直线 AB 的斜率.
17. 如图，在四棱锥 P−ABCD 中， PA⊥ 平面 ABCD ， AB//CD ，且 CD=2 ， AB=1 ， BC=22,PA=1,AB⊥BC,N 为 PD 的中点.

(1)求证: AN// 平面 PBC ；
(2)在线段 PD 上是否存在一点 M ，使得直线 CM 与平面 PBC 所成角的正弦值为 2626 ，若存在,求出 DMDP 的值; 若不存在,说明理由.
18. 已知函数 fx=ex−ax−1,gx=ln1+xx .
( 1 )若曲线 y=fx 在点 1,f1 处的切线与 x 轴平行，求实数 a 的值；
(2)若 gx>kx+1−1xk>0 在 0,+∞ 上恒成立,求整数 k 的取值集合;
(3) 求证: i=1nln1+ii+1>2n−3 .
19. 某人工智能研发公司为了开拓新产品市场,从最新研发的经典 A 型和卓越 A+ 型两款机器人中(卓越 A+ 型是 A 型的优化版)，随机各抽取 30 台进行越野驾驶性能对比测试，测试在同等环境中进行，评定结果分为优秀和良好两种.得到了如下数据:经典 A 型优秀为 7 台， 卓越 A+ 型优秀为 20 台.
(1)完成下面 2×2 列联表，并根据小概率值 α=0.001 的独立性检验，分析两款机器人的测试结果是否与越野驾驶性能优化有关.
(2)该公司为了进一步测试卓越 A+ 型机器人的汉语智能性能，组织机器人队与人类队(母语为汉语)进行诗词抢答赛，每局比赛只有胜和负两种情况(无平局)，每局人类战胜机器人的概率为 13 ,胜者记 2 分,负者记 1 分. 每个挑战者只能挑战一局,每局胜负不受其他因素的影响.
(i) 求三局比赛中,人类队累计得分 X 的分布列和数学期望;
(ii)若采用“比赛赛满 2n−1 局,胜方至少获得 n 局胜利”的赛制,人类队取胜的概率为 An ; 若采用“比赛赛满 2n+1 局,胜方至少获得 n+1 局胜利”的赛制,人类队取胜的概率为 An+1 ,比较 An 与 An+1 的大小,并说明其统计意义.
参考公式: χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d
1. C
由 B=x∣x2≥4={x∣x≥2 或 x≤−2} ,又 A={x∣−1kx+1 在 0,+∞ 上恒成立,
即 k0 ,
令 rx=x−1−lnx+1 ,则 r′x=1−1x+1=xx+1>0,x>0 ,
即 rx 在 0,+∞ 为增函数,
又 r2=1−ln3⟨0,r3=2−2ln2⟩0 .
即存在唯一的实数根 a ,满足 ra=0 ,且 a∈2,3 ,
当 x>a 时, rx>0,h′x>0 ,当 02−3nn+1+1>2−3nn+1=2−31n−1n+1 ,
所以 ln1+1×2+ln1+2×3+⋯+ln1+nn+1
>2−31−12+2−312−13+⋯+2−31n−1n+1
=2n−31−1n+1>2n−3,
故 i=1nln1+ii+1>2n−3 .
19.(1)依题意，列出 2×2 列联表如下:
零假设为 H0 : 测试结果与越野驾驶性能优化无关.根据表中数据可得:
χ2=60×20×23−10×7230×30×27×33=3380297≈11.380>10.828=x0.001,
根据小概率值 α=0.001 的独立性检验,我们推断 H0 不成立,
即认为测试结果与越野驾驶性能有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.001 .
(2)(i)X 的所有可能取值为 3，4，5，6，
PX=3=233=827, PX=4=C31232×13=49,
PX=5=C32×23×132=29, PX=6=133=127.
∴X 的分布列为
∴ 数学期望 EX=3×827+4×49+5×29+6×127=4 .
(ii) 设“赛满 2n+1 局人类队获胜”为事件 C ,要使事件 C 发生,有两种情况: 第一阶段赛满 2n−1 局人类队胜,记为事件 A1 ,和第一阶段赛满 2n−1 局人类队负,记为事件 A2 , ∴C=A1C+A2C,PC=PA1C+PA2C ,
①若第一阶段人类队胜，则人类队在前 2n−1 局至少胜 n 局，分为人类队至少胜 n+1 局和人类队恰好胜 n 局,
(a) 若人类队至少胜 n+1 局,无论后面两局结果如何,最终人类队获胜;
(b) 若人类队恰好胜 n 局,且后面两局中人类队均负的概率为 C2n−1npn1−pn−11−p2 , ∴PA1C=An−C2n−1npn1−pn−11−p2 (其中 p=13 ).
② 若第一阶段赛满 2n−1 局人类队负,即前 2n−1 局人类胜局数 ≤n−1 ，要使总赛满 2n+1 局后人类获胜,需满足: 前 2n−1 局胜 n−1 局,且后 2 局全胜,
前 2n−1 局胜 n−1 局的概率为 C2n−1n−1pn−11−pnp=13 ,后 2 局全胜的概率为 p2 ,
因此 PA2C=C2n−1n−1pn−11−pn⋅p2=C2n−1n−1pn+11−pn
所以 PC=PA1C+PA2C=An−C2n−1npn1−pn+1+C2n−1n−1pn+11−pn
=An−C2n−1npn1−pn1−p−p
代入 p=13 ，化简得 PC=An−C2n−1n⋅13n⋅23n⋅13 ，
所以 An+1=PC