湖北楚天协作体2026届高三下学期二模数学试题含答案

这是一份湖北楚天协作体2026届高三下学期二模数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如果集合 A=x ax2−4x−1=0 只有一个元素，则实数 a 的值是( )
A. 0 或 4 B. 4 C. 0 或 -4 D. 0
2. 已知向量 a,b 不共线，若 AB=λ1a+b,AC=a+λ2b (其中 λ1,λ2∈R )，且 A,B,C 三点共线，则 λ1λ2 值是( )
A. -1 B. 1 C. -2 D. 2
3. 为了研究物理成绩 y 与数学成绩 x 之间的关系,随机抽取 100 名学生的成绩,用最小二乘法得到 y 关于 x 的线性回归方程为 y=0.8x+12.5 ,则样本点 80,66 的残差为 ( )
A. -10.5 B. 10.5 C. 9.5 D. -9.5
4. 已知三条不同的直线 l,m,n 和两个不同的平面 α,β ,下列四个命题中正确的是 ( )
A. 若 m⊥l,n⊥l ,则 m//n B. 若 l//α,l⊥β ,则 α⊥β
C. 若 l//α,l∥β ,则 α//β D. 若 l//m,m⊂α ,则 l//α
5. 已知 α、β 均为锐角, sinα=255,sinα−β=−1010 ,则 tanα+β= ( )
A. 7210 B. −513 C. −3210 D. −913
6. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O:x2+y2=16 ,点 M−2,0 . 点 P 在直线 2x+y+10=0 上运动,过点 P 作圆 O 的两条切线,切点分别为 A、B ,则点 M 到直线 AB 的距离的最大值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7. 已知数列 an 是各项均为正数的等差数列,且公差 d>0 ; 数列 bn 是各项均为正数的等比数列,且公比 q>1 ,若项数均为 2n−1 项 n≥2,n∈N∗ ,下列说法正确的个数是( )
①数据 a1 ， a2 ， a3 ， … ， a2n−1 的平均数是 an ；
②数据 b1 ， b2 ， b3 ， … ， b2n−1 的平均数是 bn ；
③若 a1=b1,a2n−1=b2n−1 ，则数据 a1,a2,a3,…,a2n−1 的中位数大于数据 b1,b2 ， b3,…,b2n−1 的中位数;
④若 a1=b1,a2n−1=b2n−1 ，则数据 a1,a2,a3,…,a2n−1 的平均数大于数据 b1,b2 ， b3,…,b2n−1 的平均数.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 关于 x 的方程 2lnax+b2=4x2+1 有实根，则 a2+b2 的取值范围为( )
A. [e,+∞) B. e2,+∞ C. [2e,+∞) D. 4e2,+∞
二、多选题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 已知复数 z=b−a+b+ai1+i ,其中 a∈R,b∈R,i 为虚数单位,则下列说法正确的是 ( )
A. 若 z=2−i ,则 a−b=−3 B. b=0 是 z 为纯虚数的充要条件
C. 若 z∈R ,则 a=1 D. 若 z=1 ,则 a+b 的最大值为 2
10. 春节假期过后,车主小张选择去该市新开的 A,B 两家共享自助洗车店洗车. 已知小张第一次去 A,B 两家洗车店洗车的概率分别为 35 和 25 ，如果小张第一次去 A 洗车店，那么第二次去 A 洗车店的概率为 12 ; 如果小张第一次去 B 洗车店,那么第二次去 A 洗车店的概率为 35 ，则下列结论正确的是( )
A. 小张第一次去 B 洗车店,第二次也去 B 洗车店的概率为 25
B. 小张第二次去 B 洗车店的概率比第二次去 A 洗车店的概率小
C. 若小张第二次去了 A 洗车店,则他第一次去 A 洗车店的概率为 59
D. 若小张第二次去了 B 洗车店,则他第一次去 A 洗车店的概率为 1523
11. 已知抛物线 C:y2=mx 的准线方程为 2x+1=0 . 过点 0,−1 且斜率为 k 的直线 l 与 C 交于 A,B 两个不同的点， O 为坐标原点. 过点 A 作 x 轴的垂线，交直线 OB 于点 D . 则下列说法正确的是( )
A. 曲线 C 的方程是 y2=2x
B. k 的取值范围为 −12,+∞
C. 若 k>m ,则 OA⋅OB 的取值范围为 −34,0
D. 线段 AD 的中点在一条定直线上
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 2025 年泡泡玛特旗下的 IP“LABUBU”突然爆火. 现有 5 个不同造型的“LABUBU”. 把这 5 个“LABUBU”装入 3 个不同的盒内，每盒至少装一个，共有_____种不同的装法.
13. 在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c ，若 a2−b2=bc ， △ABC 为锐角三角形，则 ca 的取值范围是_____.
14. 在平面中, e1 和 e2 是互相垂直的单位向量,向量 m 满足 m+3e1+m−3e1=4 ,向量 n 满足 n+3e2=1 ，则 m⋅n 的最小值为_____.
四、解答题 (本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤)
15. 某工厂推出一款新产品，为了调查顾客对该新产品的满意程度，厂家分别对甲地的 300 名使用者和乙地的 200 名使用者进行问卷调查, 统计并得到如下列联表:
(1)根据小概率值 α=0.01 的独立性检验，分析使用者的满意度是否与区域有关；
(2)从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法随机抽取 9 名使用者，再从这 9 名使用者中随机抽取 4 人进一步调研,记 4 人中乙地人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望.
附录: K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d .
16. 如图: 正八面体 E−ABCD−F 可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体.

(1)证明:平面 EAD// 平面 FCB ；
(2)若 AB=2 ，点 P 为棱 EB 上的动点，则直线 AP 与平面 FAD 所成的角的正弦值的范围.
17. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若对任意 n∈N∗ ,向量 pn=4,−2n−1,qn=Sn,an ， 有 pn⋅qn=1 . 数列 bn 满足 bn=an+1,n为奇数3an,n为偶数 ,其前 n 项和为 Tn .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若 Tn−Sn>λn 对任意 n∈N∗ 恒成立，求实数 λ 的取值范围.
18. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的一条渐近线的倾斜角为 π3 ，点 T2,−3 在双曲线 C 上. 点 M 为双曲线 C 右支上除右顶点外的任意点.
(1)求双曲线 C 的标准方程；
(2)证明:点 M 到 C 的两条渐近线的距离之积为定值；
(3)已知 C 的左顶点 A 和右焦点 F ，直线 AM 与直线 l:x=12 相交于点 N . 试问是否存在常数 λ ,使得 ∠AFM=λ∠AFN ? 若存在,请求出 λ 的值; 若不存在,请说明理由.
19. 已知函数 fx=alnxxa≠0 .
(1)当 a=1 时，讨论 fx 的图象与直线 y=m 的交点个数；
( 2 )对任意的 x∈0,+∞ ， fx≤1−1x 恒成立，求 a 的值；
(3)证明: n+1>e12+13+14+…+1n+1,n∈N∗ .
1. C
集合 A=x ax2−4x−1=0 ,
表示关于 x 的方程 ax2−4x−1=0 的解集,
当 a=0 时,解得 x=−14 ,则 A=−14 ,符合题意;
当 a≠0 时, Δ=−42−4a×−1=0 ,解得 a=−4 ,
此时 A=−12 ,符合题意,
综上可得 a=0 或 a=−4 .
2. B
若 A,B,C 三点共线,
则存在实数 k 满足 AB=kAC ,即 λ1a+b=ka+λ2b ,
又因为向量 a,b 不共线,所以 λ1=k1=kλ2 ,
因此 λ1λ2=1 .
3. A
x=80 时的预测值 y=0.8×80+12.5=64+12.5=76.5 ,
x=80 时的真实为值 66 ,
样本点 80,66 的残差为 66−76.5=−10.5 .
4. B
对于 A ,若 m⊥l,n⊥l ,则 m,n 两直线可以平行,可以垂直,可以异面,因此 A 错误;
对于 B ,若 l//α,l⊥β ,则 α⊥β ,因此 B 正确;
对于 C ,当 α∩β=k 时,若 l//k ,可以满足 l//α,l//β ,但 α∥β 不成立,即 C 错误;
对于 D ,若 l//m,m⊂α ,也可能满足 l⊂α ,所以 D 错误.
5. D
因为 α,β 为锐角,所以 0