2026年湖北省孝感市楚天协作体高考数学模拟试卷

这是一份2026年湖北省孝感市楚天协作体高考数学模拟试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若集合A={x∈N|0≤x≤5}，B={x|2x−1∈A}，则A∩B=( )
A. {0,1,2}B. {1,3,5}C. {1,2,3}D. {2,4,5}
2.已知i为虚数单位，则i2026−i的虚部为( )
A. −1B. 1C. iD. −i
3.已知sinβ+csβ=−15,β∈(0,π)，则sinβ−csβ=( )
A. 15B. 75C. −75D. ±75
4.若平面向量a,b,c两两的夹角相等，且|a|=|b|=1,|c|=2，则|a+b−c|=( )
A. 3B. 4C. 3或0D. 4或1
5.若函数f(x)=(a−22x+1)csx,a∈R是奇函数，则a的值为( )
A. 2B. −2C. −1D. 1
6.已知圆C：x2+y2−2x−4y−20=0与直线l：(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0相交于A，B两点，当∠ACB最小时，m的值为( )
A. −34B. 34C. 13D. −13
7.已知四面体ABCD满足∠ABC=90°，∠BCD=120°，△ABC，△BCD均为等腰三角形，若AC=2 2,AD=4，则该四面体外接球的表面积为( )
A. 24πB. 20πC. 28π3D. 26π3
8.若 x3ex1+1=2 x3lnx2=1，则下列不等关系一定不成立的是( )
A. x3b>0，则ac−a>bc−b
10.下列说法中正确的有( )
A. 一组数据48，49，53，54，55，55，55，57的下四分位数为51
B. 在成对样本数据分析中相关系数r=0，表示两个变量之间没有线性相关关系
C. 经验回归方程为y =0.839x+28.957,x=6时的观测值为34，则残差为0.009
D. 将总体划分为两层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为x1−,x2−和s12,s22，若x1−=x2−，则总体方差s2=12(s12+s22)
11.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),O为坐标原点，F1、F2分别是双曲线的左右焦点，P是双曲线位于第一象限上的点，I、G分别是△PF1F2的内心、重心，则下列说法正确的是( )
A. I的横坐标为aB. 直线PI与双曲线相切
C. |OI|的最大值是cD. 若IG//x轴，则∠PF2F1∈(π3,π)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设曲线y=e2x+b在点(0,eb)处的切线与直线ex+2y+6=0垂直，则b= ．
13.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2且倾斜角为π3的直线交椭圆于A，B两点，满足2AF2=F2B，则椭圆C的离心率e= ．
14.已知(2x+1)(22x+1)(23x+1)…(2nx+1)=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n≥2,n∈N*)，则a0= ；a2= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，a=2且2csC+2 3sinC−b−c=0．
(1)求A；
(2)已知D是边BC的中点，求AD的最大值．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中点．
(1)求证：AM⊥平面PCD；
(2)试问在线段PB上是否存在一点N，使得平面AMN与底面ABCD所成夹角的余弦值为 64，若存在求出|PN||PB|的值，若不存在，请说明理由．
17.(本小题15分)
2026年被业界公认为“具身智能元年”.得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉−语言−动作大模型的成熟.人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活.新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动.活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格.已知小明、小华，小方3位同学通过第一轮的概率均为34，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为23、23、12，假设他们之间通过与否相互独立．
(1)求这3人中至多有2人通过第一轮的概率；
(2)从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率；
(3)设这3人中通过第二轮的人数为ξ，求ξ的分布列及期望．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=(x+1)lnx，e为无理数且e=2.71828⋯⋯
(1)求f(x)在区间[1e,e]的最值；
(2)若f(x)≥a(x−1)对∀x∈[1,+∞)恒成立，求a的取值范围；
(3)对于∀n∈N+，证明：i=n2n−122i+10)的焦点，P是抛物线C上的一点且有FP=(0,2)．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知点T(3,0)，连接P、T并延长交抛物线C于另外一点Q．
(i)若抛物线C上有且仅有3个点M1、M2、M3使得△M1PQ、△M2PQ、△M3PQ的面积均为定值S，求S的值；
(ii)已知点A、B是抛物线C上异于P、Q的两点，且PQ是∠APB的角平分线.请问直线AB是否过定点G，若过定点，求出G点的坐标，若不过定点，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为A={x∈N|0≤x≤5}={0,1,2,3,4,5}，
所以B={x|2x−1∈A}={12,1,32,2,52,3}，
所以由交集的定义可知，A∩B={1,2,3}．
故选：C．
根据集合及交集的定义求解即可．
本题主要考查交集的运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：i2026−i=i4×506+2−i=−1−i，
则i2026−i的虚部为−1．
故选：A．
利用i2=−1求解．
本题考查虚数单位i的运算性质，考查复数的基本概念，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：将已知等式两边平方，可得(sinβ+csβ)2=125，
可得sin2β+cs2β+2sinβcsβ=125，
可得2sinβcsβ=−1+125=−24250，csβ0，
又由于(sinβ−csβ)2=1−2sinβcsβ，
所以(sinβ−csβ)2=1+2425=4925，
所以sinβ−csβ=75．
故选：B．
应用sin2β+cs2β=1，实现sinβ+csβ与sinβ−csβ的转化求值即可．
本题考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：因为平面向量a,b,c两两的夹角相等，且|a|=|b|=1,|c|=2，
所以a,b,c的夹角均为0°或夹角均为120°．
当a,b,c的夹角均为0°时，
|a+b−c|2=a2+b2+c2+2a⋅b−2a⋅c−2b⋅c
=1+1+4+2×1×1×cs0°−2×1×2×cs0°−2×1×2×cs0°
=6+2−4−4=0，
所以|a+b−c|=0；
当a,b,c的夹角均为120°时，
则|a+b−c|2=a2+b2+c2+2a⋅b−2a⋅c−2b⋅c
=1+1+4+2×1×1×cs120°−2×1×2×cs120°−2×1×2×cs120°
=6−1+2+2=9，
所以|a+b−c|=3．
综上，|a+b−c|=3或0．
故选：C．
分a,b,c的夹角均为0°和夹角均为120°，两类情况讨论，通过求模的平方即可求解．
本题考查平面向量的数量积与夹角，向量模的求解，属于中档题．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意，设g(x)=a−22x+1，
由于f(x)=(a−22x+1)csx,a∈R是奇函数，而函数y=csx为偶函数，
则函数g(x)=a−22x+1为奇函数，
则g(x)+g(−x)=(a−22x+1)+(a−22−x+1)=2a−22x+1−2⋅2x1+2x=2a−2(1+2x)2x+1=0，
即2a−2=0，必有a=1．
故选：D．
根据奇函数的定义f(−x)=−f(x)，结合函数表达式建立方程求解a的值．
本题考查函数奇偶性的性质和应用，注意函数奇偶性的定义，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0，得m(2x+y−7)+(x+y−4)=0，
令2x+y−7=0，则x+y−4=0．
由2x+y−7=0x+y−4=0，解得x=3y=1，
所以直线l过定点M(3,1)．
由x2+y2−2x−4y−20=0，得(x−1)2+(y−2)2=25．
所以圆心C的坐标为(1,2)，圆C的半径为5．
过圆心C作CH⊥l交直线l于点H，因为CA=CB，所以∠ACB=2∠ACH．
所以当∠ACB最小时，∠ACH也最小．
因为cs∠ACH=|CH||AC|，|AC|=5，且y=csx在(0,π2)上单调递减，
所以当∠ACH最小时，|CH|最大．
当CM⊥l，即H，M重合时，|CH|取得最大值．
此时，直线CM的斜率为kCM=1−23−1=−12，
所以直线l的斜率为kl=2=−2m+1m+1，解得m=−34．
故选：A．
由方程确定直线l过定点M(3,1)，圆C的圆心为(1,2)，半径为5.过圆心C作CH⊥l交直线l于点H，分析可知，当H，M重合时，CH取得最大值，此时∠ACH取得最大值，从而∠ACB取得最大值．由斜率公式及两垂直直线斜率乘积为−1可得m的值．
本题考查直线过定点，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确运用圆的性质是关键，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：因为四面体ABCD满足∠ABC=90°，∠BCD=120°，
△ABC，△BCD均为等腰三角形，AC=2 2,AD=4，
所以AB=BC=2，BD2=BC2+CD2−2⋅BC⋅CD⋅cs120°=4+4+4=12⟹BD=2 3，
所以BD2+AB2=12+4=16=AD2，所以AB⊥BD，又AB⊥BC，BC∩BD=B，
所以AB⊥平面BCD，
故建系如图：
则B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,0,2)(AB在z轴，BC在x轴)，D点：由△BCD几何关系，可以得∠CBD=30°，
过D点作x轴的垂线，依据勾股定理自然可得D(3, 3,0)；
设外接球心为O(x,y,z)，则OA=OB=OC=OD=R，
由OA=OB：x2+y2+(z−2)2=x2+y2+z2⟹z=1，
由OB=OC：x2+y2+z2=(x−2)2+y2+z2⟹x=1，
由OC=OD：(1−2)2+(y−0)2+(1−0)2=(1−3)2+(y− 3)2+(1−0)2，
化简得y2+2=y2−2 3y+8⟹y= 3；
因此，球心O(1, 3,1)，半径：R= 12+( 3)2+12= 5，
该四面体外接球的表面积为S=4πR2=4π×5=20π．
故选：B．
通过空间直角坐标系法求解，利用坐标定位各顶点，再根据外接球心到各顶点距离相等的性质列方程求解．
本题考查四面体外接球问题的求解，属中档题．
8.【答案】C
【解析】解：已知 x3ex1+1=2 x3lnx2=1，
当x3=0时，显然 x3ex1+1=2 x3lnx2=1不成立，
当x3>0时，由 x3ex1+1=2 x3lnx2=1⇒ex1+1=2lnx2=1 x3，
令f(x)=ex+1,g(x)=2lnx,h(x)=x−12，
设f(x1)=g(x2)=h(x3)=a，
在同一直角坐标系内画出三个函数的图象如下图所示：
由数形结合思想可知：只有选项C不可能．
故选：C．
对已知等式进行恒等变形，通过构造函数，利用数形结合思想进行判断即可．
本题考查了函数的性质，重点考查了函数的图象，属中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：当c=0时，命题不成立，所以A错误；
∵y=x3为R上的增函数，且a>b，∴a3>b3，所以B正确；
令a=2，b=−2，满足a>b，但1a>1b，故C错误；
ac−a−bc−b=c(a−b)(c−a)(c−b)，
若c>a>b>0，则a−b>0，c−a>0，c−b>0，则c(a−b)(c−a)(c−b)>0，
即ac−a>bc−b，所以D正确．
故选：BD．
根据不等式的性质，判断A，C；由y=x3的单调性判断B；利用作差法判断D．
本题主要考查不等式的性质，以及特殊值法，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：对于A，一组数据48，49，53，54，55，55，55，57，
∵8×14=2，
∴数据48，49，53，54，55，55，55，57的下四分位数为：49+532=51，故A正确；
对于B，相关系数r=0，表示变量没有线性相关关系，故B正确；
对于C，∵y6 =0.839×6+28.957=33.991，∴残差=y6−y6 =0.009，故C正确；
对于D，设两层数据分别为a1，a2，⋯am，b1，b2，⋯bn，m，n∈N*，
∵x1−=x2−，∴总体平均数为x−=mx1−+nx2−m+n=x1−=x2−，
则s12=1mi=1m(ai−x1−)2=1mi=1m(ai−x−)2，s22=1ni=1n(bi−x1−)2=1ni=1n(bi−x−)2，
∴总体方差为s2=1m+n[i=1m(ai−x−)2+i=1n(bi−x−)2]=1m+n(ms12+ns22)，
=mm+ns12+nm+ns22，
则s2−12(s12+s22)=(mm+n−12)s12+(nm+n−12)s22
=m−n2(m+n)s12−m−n2(m+n)s22=m−n2(m+n)(s12−s22)，
只有m=n，或s12=s22时，才有s2=12(s12+s22)，否则s2≠12(s12+s22)，故D错误．
故选：ABC．
由下四分位数的概念计算可判断A；根据相关系数的概念可判断B；根据残差的定义计算可判断C；设两层数据分别为a1，a2，⋯am，b1，b2，⋯bn，计算出总体方差可判断D．
本题考查下四分位数相关系数、残差、平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：如图所示，内切圆与△PF1F2三边的切点分别为A、B、C，
延长PI交F1F2于Q，连接F1I、F2I.
对于A选项：由题意可知PA=PB、F1B=F1C、F2C=F2A，
因为F1C+F2C=2c，PF1−PF2=2a，可知F1C=a+c，
因为IC⊥F1F2，因此内心I的横坐标为a，因此A选项正确；
对于B选项：PI与∠F1PF2的外角平分线相互垂直，
由双曲线的光学性质可知直线PI是双曲线在P点处的切线，因此B选项正确；
对于C：设P(x0,y0)(x0>a,y0>0)，则有PF1=ex0+a，PF2=ex0−a，
其中e为双曲线的离心率，设内切圆的半径为r(r>0)，
则有S△PF1F2=12(PF1+PF2+F1F2)r=12F1F2⋅y0，化简可得r(1+x0a)=y0，
两边同时平方，代入y02=b2(x02a2−1)，
化简可得r2=b2⋅x0−ax0+ab>0)的左右焦点，
因为2AF2=F2B，所以可设过点F2的直线与椭圆在第一象限的交点为A，如图所示：
设|AF2|=x，则|BF2|=2x，|AF1|=2a−x，|BF1|=2a−2x，
由题意可得，∠F1F2A=2π3，
在△AF1F2，△BF1F2分别由余弦定理解得：
cs∠F1F2A=|F1F2|2+|AF2|2−|AF1|22|F1F2||AF2|，cs∠F1F2B=|F1F2|2+|BF2|2−|BF1|22|F1F2||BF2|，
即−12=4c2+x2−(2a−x)22⋅2c⋅x，12=4c2+4x2−(2a−2x)22⋅2c⋅2x，
解得x=2b22a+c=b22a−c，∴2a=3c，即e=ca=23．
故答案为：23．
设|AF2|=x，则|BF2|=2x，|AF1|=2a−x，|BF1|=2a−2x，在△AF1F2，△BF1F2分别由余弦定理解得x=2b22a+c=b22a−c，计算即可求解．
本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，平面向量的应用，离心率的求法，是中档题．
14.【答案】1
22n+23−2n+2+83

【解析】解：因为(2x+1)(22x+1)(23x+1)…(2nx+1)=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n≥2,n∈N*)，
令x=0得：
a0=1×1×1×…×1=1，
即a0=1．
令S=2+22+23+…+2n，
这是首项为2，公比为2的等比数列，
根据等比数列求和公式可得：S=2n+1−2，
a2是(2x+1)(22x+1)(23x+1)…(2nx+1)展开后x2项的系数，
它等于所有两两不同因式取x项、其余取1的乘积之和，
即a2=1≤i22n+1恒成立，
因此lnn+1n+lnn+2n+1+⋯+ln2n2n−1>22n+1+⋯+22(2n−2)+1+24n−1，
又因为ln2=lnn+1n+lnn+2n+1+lnn+3n+2+⋯+ln2n2n−1，
则i=n2n−122i+10，则f(x)在[1e,e]单调递增，
因此f(x)min=f(1e)=−e+1e,f(x)max=f(e)=e+1；
(2)构造函数g(x)=f(x)−a(x−1)=(x+1)lnx−a(x−1)(x∈[1,+∞))，
g′(x)=lnx+1x+1−a,g′(1)=2−a，
易知g(1)=0，若g′(1)=2−a2(x−1)x+1在(1,+∞)恒成立，
令x=n+1n>1，则有lnn+1n>2(n+1n−1)n+1n+1⇒lnn+1n>22n+1恒成立，
因此lnn+1n+lnn+2n+1+⋯+ln2n2n−1>22n+1+⋯+22(2n−2)+1+24n−1，
又因为ln2=lnn+1n+lnn+2n+1+lnn+3n+2+⋯+ln2n2n−1，
则i=n2n−122i+10)的焦点，因此F(p2,0)，
因为P是抛物线C上的一点且有FP=(0,2)，则P点的坐标为(p2,2)，
代入抛物线方程解得p=2或p=−2(舍去)，因此抛物线C的方程为y2=4x；
(2)(i)由题意可知直线PT的方程为y=−x+3，
直线PT与抛物线y2=4x联立可得y2+4y−12=0，
解得y1=2，y2=−6，
因此P(1,2)，Q(9,−6)，因此|PQ|=8 2．
如图所示，由图象可知，对任意面积S，抛物线位于直线PQ右上方的部分均存在2点使得△M2PQ、△M3PQ的面积均为定值S，
则抛物线在直线PQ的左下方部分存在唯一的一点M1满足条件，
此时M1到直线PQ的距离达到最大值，即在M1处的切线与直线PQ平行，
当y0)．
当PA的斜率不存在时，
由题意可知∠APT=π4，易知此时r=2，PB与x轴平行，不满足题意，
因此r≠2，PA、PB的斜率均存在．
设过P点的直线斜率为k，则过P点的直线可表示为kx−y−k+2=0，
则有|3k−0−k+2| k2+1=r,(4−r2)k2+8k+4−r2=0，则有kPAkPB=1，
设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则y12=4x1,y22=4x2，
两式相减可得kAB=y1−y2x1−x2=4y1+y2，
利用点斜式方程可得lAB：4x−(y1+y2)y+y1y2=0，
由kPAkPB=4y1+2×4y2+2=1，化简可得，−12+2(y1+y2)+y1y2=0，
结合lAB：4x−(y1+y2)y+y1y2=0，易知直线AB过定点G(−3,−2)．
(1)由题意可知F(p2,0)，则P点的坐标为(p2,2)，代入计算即可求解；
(2)(i)直线与抛物线联立方程可得P(1,2)，Q(9,−6)，结合图象可知M1(1,−2)，计算即可求解；
(ii)结合题意，当斜率不存在时，不符合题意，斜率存在时，设直线斜率为k，则过P点的直线可表示为kx−y−k+2=0，计算可得kPAkPB=1，设A(x1,y1)、B(x2,y2)，计算可得lAB：4x−(y1+y2)y+y1y2=0，进而计算可解．
本题考查直线与抛物线的综合与抛物线的焦点与准线，属于中档题．ξ
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3
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