2024-2025学年河北省廊坊市安次区九年级（上）期末数学试卷

这是一份2024-2025学年河北省廊坊市安次区九年级（上）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列方程属于一元二次方程的是
A．B．C．D．
2．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是
A．B．C．D．
3．（3分）小明在物理实验课上用放大镜观察一个三角形器材，其中不会发生变化的量是
A．各内角的度数B．各边的长度C．三角形的周长D．三角形的面积
4．（3分）一元二次方程配方正确的是
A．B．C．D．
5．（3分）下列各点在反比例函数的图象上的是
A．B．C．D．
6．（3分）已知二次函数，下列说法正确的是
A．图象开口向上
B．函数的最大值为
C．图象的对称轴为直线
D．图象与轴的交点坐标为
7．（3分）如图所示为长20米、宽15米的矩形空地，现计划要在中间修建三条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为400平方米，若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为
A．B．
C．D．
8．（3分）如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于、两点，若的直径为4，则弦长为
A．4B．8C．2D．1
9．（3分）已知，是方程的两个实数根，则式子的值为
A．3B．C．D．2
10．（3分）如图，正六边形内接于，连接．则的度数是
A．B．C．D．
11．（3分）如图，在中，，若是边上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，连接，则下列结论一定正确的是
A．B．C．D．
12．（3分）如图，在一个不透明的纸箱中，装有4张标有数字的卡片，卡片除所标数字不同外无其他差别，现从中任取一张卡片，将其数字记为，则使一元二次方程有实数根的概率是
A．B．1C．D．
二、填空题（本大题有4个小题，每题3分，共12分，把答案写在答题卡的横线上．）
13．（3分）在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是 ．
14．（3分）如图某蔬菜基地建蔬菜大棚的剖面，半径，地面宽，则高度为 ．
15．（3分）如图，现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为 ．
16．（3分）二维码具有储存量大，保密性高，追踪性高，成本便宜等特性．如图是一张边长为的正方形二维码的示意图，在正方形区域内随机掷点，通过大量重复试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，由此可以估计该二维码黑色部分的总面积为 ．
三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答题应写出文字说明或演算步骤）
17．解方程：
（1）；
（2）．
18．在特定的温度下，某容器充满一定量的气体，该容器内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求与的函数表达式；
（2）若该容器内气体的压强不得超过，求该容器体积的取值范围．
19．某村种的水稻2022年平均每公顷产，2024年平均每公顷产，求水稻每公顷产量的年平均增长率．
20．2023年9月23日至10月8日第19届亚运会在杭州举行，期间吉祥物组合“江南忆”受到热宠，他们的名字分别为“琮琮”、“宸宸”、“莲莲”，是三个充满活力的机器人组合，名字来自于唐代诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州．”某购物店购进了一批吉祥物玩偶，可拆分销售．
（1）若随机从他们三个中选择一个，则恰巧选中的是“莲莲”的概率是 ；
（2）在购物店里，小冰和小吴都想从三个吉祥物中随机选择一个购买，求出两人恰好选择同一种吉祥物的概率．（用画树状图法或列表法求解）
21．已知二次函数的图象经过点和．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）求此二次函数的对称轴和顶点坐标．
（3）求此二次函数与轴和轴的交点坐标．
22．图1是某种发石车，这是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点6米时达到最大高度12米．将发石车置于山坡底部处，山坡上有一点，点与点的水平距离为9米，与地面的竖直距离为6米，是高度为5米的防御墙．若以点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．
（1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式．
（2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙．
（3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面的最大距离．
23．数学课上，老师给出这样一个题目：如图，已知△内接于，过点的直线与相切．求证：．
小明同学思考了片刻有了思路，做了这样的辅助线：过作的直径、连接．
（1） ．
（2）请按小明的做法完成下面的证明．
证明：过作的直径，连接．
（3）请利用上面题目中的结论，完成以下证明．
如图，为外一点，经过的直线交于点、．经过点的直线与相切于点．求证：．
24．综合与实践已知：，在和上截取，将线段边绕点逆时针旋转得到线段，点在射线上，连接，．
【特例感知】
（1）如图1，若旋转角，则与的数量关系是 ；
【类比迁移】
（2）如图2，试探究在旋转的过程中与的数量关系是否发生改变？若不变，请求与的数量关系；若改变，请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，在四边形中，，，点在直线上，，，请直接写出△的面积．
2024-2025学年河北省廊坊市安次区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一、选择题（本题共12道小题，每题3分，共计36分．下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．）
1．（3分）下列方程属于一元二次方程的是
A．B．C．D．
【解答】解：、中，最高次数为3，此选项不符合题意；
、是二元一次方程，此选项不符合题意；
、不是整式方程，此选项不符合题意；
、是一元二次方程，此选项符合题意；
故选：．
2．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是
A．B．C．D．
【解答】解：由题意知，、选项中的图形是轴对称图形，选项中的图形既不是轴对称也不是中心对称图形，选项是中心对称图形，
故选：．
3．（3分）小明在物理实验课上用放大镜观察一个三角形器材，其中不会发生变化的量是
A．各内角的度数B．各边的长度C．三角形的周长D．三角形的面积
【解答】解：根据题意可得，用放大镜观察得到的三角形和原本的三角形相似，
各内角的度数不会改变，各边的长度，周长和面积均变大了，
故选：．
4．（3分）一元二次方程配方正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
5．（3分）下列各点在反比例函数的图象上的是
A．B．C．D．
【解答】解：、当时，，故点不在反比例函数的图象上，不符合题意；
、当时，，故点在反比例函数的图象上，符合题意；
、当时，，故点不在反比例函数的图象上，不符合题意；
、当时，，故点不在反比例函数的图象上，不符合题意；
故选：．
6．（3分）已知二次函数，下列说法正确的是
A．图象开口向上
B．函数的最大值为
C．图象的对称轴为直线
D．图象与轴的交点坐标为
【解答】解：由解析式可知抛物线开口向下，故不符合题意；
对称轴为直线，顶点坐标为，
抛物线最大值为，故符合题意，不符合题意，
当时，，
图象与轴的交点坐标为，故不符合题意．
故选：．
7．（3分）如图所示为长20米、宽15米的矩形空地，现计划要在中间修建三条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为400平方米，若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为
A．B．
C．D．
【解答】解：设小道的宽为米，则6个小矩形可合成长为米、宽为米的矩形，
根据题意知：．
故选：．
8．（3分）如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于、两点，若的直径为4，则弦长为
A．4B．8C．2D．1
【解答】解：连接，，
的直径为4，
，
，
，
△为等边三角形，
，
故选：．
9．（3分）已知，是方程的两个实数根，则式子的值为
A．3B．C．D．2
【解答】解：由题意可知：，，即，
，
故选：．
10．（3分）如图，正六边形内接于，连接．则的度数是
A．B．C．D．
【解答】解：在正六边形中，，，
，
故选：．
11．（3分）如图，在中，，若是边上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，连接，则下列结论一定正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：、，
，
由旋转的性质可知，，
，故本选项结论错误，不符合题意；
、当为等边三角形时，，除此之外，与不平行，故本选项结论错误，不符合题意；
、由旋转的性质可知，，，
，，
，
，本选项结论正确，符合题意；
、只有当点为的中点时，，才有，故本选项结论错误，不符合题意；
故选：．
12．（3分）如图，在一个不透明的纸箱中，装有4张标有数字的卡片，卡片除所标数字不同外无其他差别，现从中任取一张卡片，将其数字记为，则使一元二次方程有实数根的概率是
A．B．1C．D．
【解答】解：一元二次方程化为一般式为，
方程有实数根，
且△，
解得且，
任取一张卡片，将其数字记为，则使一元二次方程有实数根的概率．
故选：．
二、填空题（本大题有4个小题，每题3分，共12分，把答案写在答题卡的横线上．）
13．（3分）在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是 ．
【解答】解：点关于原点对称的点的坐标是．
故答案为：．
14．（3分）如图某蔬菜基地建蔬菜大棚的剖面，半径，地面宽，则高度为 ．
【解答】解：，
，，
在中，，
，
．
故答案是：．
15．（3分）如图，现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为 ．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为 ．
根据题意得，
解得，
即该圆锥底面圆的半径为．
故答案为：．
16．（3分）二维码具有储存量大，保密性高，追踪性高，成本便宜等特性．如图是一张边长为的正方形二维码的示意图，在正方形区域内随机掷点，通过大量重复试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，由此可以估计该二维码黑色部分的总面积为 17.5 ．
【解答】解：边长为的正方形的面积，
根据题意，据此可估计黑色部分的面积约为，
故答案为：17.5．
三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答题应写出文字说明或演算步骤）
17．解方程：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原方程分解因式得，
或，
，；
（2）△，
，
，．
18．在特定的温度下，某容器充满一定量的气体，该容器内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求与的函数表达式；
（2）若该容器内气体的压强不得超过，求该容器体积的取值范围．
【解答】解：（1）设，由题意知，
，即；
（2）当时，．
在第一象限，随的增大而减小，
当时，，
为了安全起见，气体的体积应不小于，
答：气体的体积应不小于．
19．某村种的水稻2022年平均每公顷产，2024年平均每公顷产，求水稻每公顷产量的年平均增长率．
【解答】解：设每公顷产量的年平均增长率为，则：
，
解得，（舍去），
答：水稻每公顷产量的年平均增长率为．
20．2023年9月23日至10月8日第19届亚运会在杭州举行，期间吉祥物组合“江南忆”受到热宠，他们的名字分别为“琮琮”、“宸宸”、“莲莲”，是三个充满活力的机器人组合，名字来自于唐代诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州．”某购物店购进了一批吉祥物玩偶，可拆分销售．
（1）若随机从他们三个中选择一个，则恰巧选中的是“莲莲”的概率是 ；
（2）在购物店里，小冰和小吴都想从三个吉祥物中随机选择一个购买，求出两人恰好选择同一种吉祥物的概率．（用画树状图法或列表法求解）
【解答】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中恰巧选中的是“莲莲”的结果有1种，
恰巧选中的是“莲莲”的概率是．
故答案为：．
（2）将“琮琮”、“宸宸”、“莲莲”分别记为，，，
列表如下：
共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种吉祥物的结果有3种，
两人恰好选择同一种吉祥物的概率为．
21．已知二次函数的图象经过点和．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）求此二次函数的对称轴和顶点坐标．
（3）求此二次函数与轴和轴的交点坐标．
【解答】解：（1）二次函数的图象经过点和，
，解得，
此二次函数的解析式为；
（2），
此二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为；
（3）当时，，
当时，由得，，
此二次函数与轴的交点坐标为和，与轴的交点坐标为．
22．图1是某种发石车，这是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点6米时达到最大高度12米．将发石车置于山坡底部处，山坡上有一点，点与点的水平距离为9米，与地面的竖直距离为6米，是高度为5米的防御墙．若以点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．
（1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式．
（2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙．
（3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面的最大距离．
【解答】解：（1）设，
将点代入，得，
解得，
．
（2）当时，，
，
石块不能飞越防御墙．
（3）的坐标为，
设直线为，
，
，
．
作直线轴，交抛物线于点，交直线于点，
设点，则点的坐标为，
，
当时，有最大值，最大值为，
在竖直方向上，最大距离是米．
23．数学课上，老师给出这样一个题目：如图，已知△内接于，过点的直线与相切．求证：．
小明同学思考了片刻有了思路，做了这样的辅助线：过作的直径、连接．
（1） ．
（2）请按小明的做法完成下面的证明．
证明：过作的直径，连接．
（3）请利用上面题目中的结论，完成以下证明．
如图，为外一点，经过的直线交于点、．经过点的直线与相切于点．求证：．
【解答】（1）解：已知△内接于，过点的直线与相切．过作的直径、连接．如图1，
，
，
故答案为：；
（2）证明：过作的直径，连接，如图1.2，
，，
，
，
过点的直线与相切，
，
，
；
（3）证明：如图2，连接、，
由（2）知，
又，
△△，
，即．
24．综合与实践已知：，在和上截取，将线段边绕点逆时针旋转得到线段，点在射线上，连接，．
【特例感知】
（1）如图1，若旋转角，则与的数量关系是 ；
【类比迁移】
（2）如图2，试探究在旋转的过程中与的数量关系是否发生改变？若不变，请求与的数量关系；若改变，请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，在四边形中，，，点在直线上，，，请直接写出△的面积．
【解答】解：（1）将线段边绕点逆时针旋转得到线段，，
，，
，，
四边形是正方形，
，，
点在射线上，，
此时、重合，
，
，
故答案为：；
（2）在旋转的过程中与的数量关系不发生改变；理由如下：
如图2，过作于，过作于，则，
将线段边绕点逆时针旋转得到线段，
，
，
，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）当在点右边时，如图3，过作于，过作于，则，
，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
同理，当在点左边时，如图4，
，
，
综上所述，△的面积为2或18．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
B
A
A
B
B
C
C
D
A
C
题号
12
答案
D