2024-2025学年辽宁省大连市西岗区九年级（上）期中数学试卷

这是一份2024-2025学年辽宁省大连市西岗区九年级（上）期中数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）一元二次方程x2﹣2x＝0的解是（ ）
A．x＝2B．x1＝2，x2＝0C．x＝0D．x1＝2，x2＝1
2．（3分）若△ABC∽△A′B'C′，相似比为1：2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为（ ）
A．2：1B．1：2C．4：1D．1：4
3．（3分）抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，1）
4．（3分）如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，ADBD=34，则AEEC的值为（ ）
A．34B．43C．37D．47
5．（3分）方程x2−2x+1=0根的情况是（ ）
A．无实根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
6．（3分）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度是（ ）
A．30mB．45mC．54mD．150m
7．（3分）把抛物线y=12x2先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的函数表达式为（ ）
A．y=12（x+6）2+3B．y=12（x+6）2﹣3
C．y=12（x﹣6）2+3D．y=12（x﹣6）2﹣3
8．（3分）如图，△ABC中，点D是AB上一点，补充下列条件后，仍不能判定△ADC∽△ACB的是（ ）
A．∠ADC＝∠ACBB．∠ACD＝∠ABCC．ADAC=ACABD．CDBC=ACAB
9．（3分）一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元，设两次降价的百分率都为x，则x满足等式（ ）
A．16（1+2x）＝25B．25（1﹣2x）＝16
C．25（1﹣x）2＝16D．16（1+x）2＝25
10．（3分）如图，抛物线y1=x2−4x+3与直线y2＝ax﹣b交于点A（1，0）和点B（4，3），则当y1＞y2时，x的取值范围为（ ）
A．﹣1＜x＜3B．x＜﹣1或x＞3C．1＜x＜4D．x＜1或x＞4
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）二次函数y＝x2﹣2x+3图象与y轴的交点坐标是 ．
12．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2+x﹣4＝0的两个根，则x1+x2的值是 ．
13．（3分）已知：一元二次方程2x2﹣4x+k＝0的一个根是2，则k＝ ．
14．（3分）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC为 米．
15．（3分）已知：二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2+3在m﹣1≤x≤m+2的范围内有最小值，则这个最小值是 ．
三、解答题（本题共8小题，共75分）
16．（10分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣4＝0；
（2）2x2﹣4x+1＝0．（用配方法）
17．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝2∠B．
（1）利用尺规作图，过点A作一条直线AD，使其交BC于点D，且使△ABC∽△DAC （不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若CD＝4，BD＝5，求AC的长．
18．（8分）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），若苗圃园的面积为72平方米．求这个苗圃园垂直于墙的一边长为多少米？
19．（8分）如图，△ADE与△ABC有公共顶点A，∠BAD＝∠CAE＝∠DCB．求证：△ADE∽△ABC．
20．（8分）某果农销售每箱成本为40元的红富士苹果，市场调查发现，若每箱以60元的价格销售，平均每天销售20箱，若每箱苹果售价每降低5元，平均每天多销售10箱．
（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；
（2）每箱苹果的销售价为多少元时，该果农每天获得利润最大，最大利润是多少元？
21．（8分）如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面边缘点E的坐标为（﹣1，﹣10），运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为(34，916)，正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式，并求出入水处点B的坐标．
（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为4米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由．
（3）在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且EM＝7，EN＝9，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y＝（x﹣h）2+k，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），则k的取值范围是 ．
22．（12分）已知：在△ABC的下方作∠CBE＝∠ABC，D为射线BE上一动点．
（1）如图（1），若D运动到∠CDB＝∠ACB，求证：BC2＝AB•BD；
（2）如图（2），若D运动到∠CDB+∠ACB＝180°．
①若设AB＝a，BC＝b．求ACCD的值；
②若设BC＝8，AB＝2AC＝2n，求BD的长．
23．（13分）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）D为抛物线在第一象限内一点，当S△BDC的最大值时，求D点坐标．
（3）在②问基础上，作DE⊥x轴于E，点M（m，0）是一动点，N为线段DE上一点，若∠MNC＝90°，求m值的变化范围．
2024-2025学年辽宁省大连市西岗区九年级（上）期中数学试卷
选择题、填空题答案速查
选择题、填空题解法提示
10．解：两个函数的交点的横坐标为：x＝1或4，
故当y1＞y2时，即抛物线在直线的上方，
观察函数图象知，此时x的取值范围为：x＜1或x＞4，
故选：D．
15．解：∵二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2+3的对称轴是直线x＝m，
又∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∵二次函数在m﹣1≤x≤m+2的范围内有最小值，
∴x＝m+2时，y的值最小，最小值＝﹣（m+2）2+2m（m+2）﹣m2+3＝﹣m2﹣4m﹣4+2m2+4m﹣m2+3＝﹣1．
故答案为：﹣1．
解答题参考答案
16．解：（1）x2﹣2x﹣4＝0；
x2﹣2x＝4，
x2﹣2x+1＝5，即（x﹣1）2＝5，
∴x﹣1=±5，
∴x1＝1+5，x2＝1−5；
（2）2x2﹣4x+1＝0，
x2﹣2x=−12，
x2﹣2x+1=12，即（x﹣1）2=12，
∴x﹣1=±22
∴x1＝1+22，x2＝1−22．
17．解，（1）如图所示为所求作，
（2）∵△ABC∽△DAC，
∴ACDC=BCAC，
∵BD＝5，CD＝4，
∴BC＝CD+BD＝4+5＝9，
∴AC4=9AC，
∴AC2＝36，
∴AC＝±6，
∵AC为边长，AC＞0，
∴AC＝6．
18．解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（30﹣2x）米，
依题意得：（30﹣2x）x＝72，
整理得：x2﹣15x+36＝0，
解得：x1＝3，x2＝12，
∵30﹣2x≤18，
∴x≥6，
∴x＝12．
答：这个苗圃园垂直于墙的一边长为12米．
19．证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠BAE＝∠BAE+∠CAE，
即∠DAE＝∠CAB，
∵∠AED＝∠CAE+∠ACE，∠ACB＝∠DCB+∠ACE，
∠CAE＝∠DCB，
∴∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC．
20．解：（1）y=20+10(60−x)5=140−2x，
∴平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为y＝140﹣2x（40＜x≤60）；
（2）设该果农每天获得的利润为w元，根据题意得，
w＝（x﹣40）•y＝（x﹣40）（140﹣2x）＝﹣2x2+220x﹣5600＝﹣2（x﹣55）2+450，
∵﹣2＜0，
∴w有最大值，
当x＝55时，w有最大值为450元．
答：每箱苹果售价为55元时，该果农每天获得利润最大，最大利润为450元．
21．解：（1）设空中运动的抛物线解析式为y＝a（x−34）2+916，
∵抛物线经过原点，
∴916a+916=0，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+32x；
当y＝﹣10时，﹣x2+32x＝﹣10，
解x＝4或x=−52，
∴B（4，﹣10）；
（2）∵E（﹣1，﹣10），运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为4米，
∴运动员调整入水姿势的点的横坐标为3，
当x＝3时，y＝﹣9+32×3=−92，
∴调整点的坐标为（3，−92），
∵运动员此时距离水面10−92=112（m），
∵112＞5，
∴运动员此次跳水不会失误；
（3）∵EM＝7，EN＝9，E（﹣1，﹣10），
∴M（6，﹣10），N（8，﹣10），
∵入水点B（4，﹣10），
∴﹣10＝（4﹣h）2+k，
当抛物线经过点M时，﹣10＝（6﹣h）2+k，
解得k＝﹣11，h＝5，
当抛物线经过点N时，﹣10＝（8﹣h）2+k，
解得k＝﹣14，h＝6，
∵出水点D在MN之间（包括M，N两点），
∴﹣14≤k≤﹣11．
22．（1）证明：∵∠CBE＝∠ABC，∠CDB＝∠ACB，
∴△CBD∽△ABC，
∴BCAB=BDBC，
∴BC2＝AB•BD；
（2）解：①以C为圆心、以CD为半径画弧交BE于F，连接CF，
∵CD＝CF，
∴∠CDF＝∠CFD，
∵∠CDB+∠ACB＝180°，∠CBD+∠CDF＝180°，
∴∠ACB＝∠CDF，
∴∠ACB＝∠CFD，
由（1）知，ACCF=ABBC，
∴ACCD=ABBC=ab；
②以C为圆心，以CD为半径画弧交BE于F，连接CF，过C作CH⊥BF于H，过A作AG⊥BC于G，
∵AB＝2AC＝2n，
∴AC＝n，
由（2）知，ACCF=ABBC=BCBF，
∵BC＝8，
∴nCF=2n8=8BF，
∴CF＝4，BF=32n，
∵CH⊥BF，AG⊥BC，
∴∠AGC＝∠AGB＝∠CHF＝90°，
在Rt△AGC和Rt△AGB中，
设CG＝x，则BG＝8﹣x，
∵AG2＝AC2﹣CG2，AG2＝AB2﹣BG2，
∴AC2﹣CG2＝AB2﹣BG2，
∴n2﹣x2＝4n2﹣（8﹣x）2，
∴x=316n2+4，
∵∠ACB＝∠CFB，
∴cs∠ACB＝cs∠CFB，
∴−316n2+4n=HF4，
∴HF=−34n+16n，
∵CD＝CF，CH⊥BF，
∴DF＝2HD=−32+32n，
∴BD＝BF﹣DF=32n．
23．解：（1）由题意得：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3；
（2）过点D作DH∥y轴交BC于点H，
由抛物线的表达式知，点C（0，3），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点D（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），
则DH＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，
则S△BDC=12×DH×OB=12×（﹣x2+3x）×3=−32x2+92x，
∵−32＜0，故S△BDC有最大值，
此时x=32，
则点D（32，154）；
（3）由（2）知，点D（32，154），故设点N（32，n），
当点M在点B的左侧时，如下图，过点C作CH⊥DE交ED于点H，
∵∠MNC＝90°，
则∠CNH+∠MNE＝90°，∠MNE+∠NME＝90°，
∴∠CNH＝∠NME，
∴tan∠CNH＝tan∠NME，则CHNH=ENME，即3323−n=n32−m，
整理得：32m＝（n−32）2≥0，
故m≥0；
当点M在点B的右侧且点N、D重合时，如下图，
过点D作x轴的平行线交y轴于点G，交过点M和y轴的平行线于点H，
同理可得：tan∠CDG＝tan∠DMH，
即CGDG=DHMH，即154−332=m−32154，
解得：m=278；
综上，0≤m≤278．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
C
A
A
C
C
D
C
D
11.（0，3） 12.﹣1 13. 0 14.7 15. ﹣1