2024-2025学年湖南省长沙一中教育集团九年级（上）期中数学试卷

这是一份2024-2025学年湖南省长沙一中教育集团九年级（上）期中数学试卷，共17页。试卷主要包含了单项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）长沙国庆期间的人流量统计显示，10月4日瞬时客流量达到158.4万人次，成为当天的峰值，这一数据反映了长沙在国庆假期中的旅游热度，尤其是红色旅游景区的人气高涨．将数据158.4万用科学记数法表示应为（ ）
A．158.4×104B．15.84×105C．1.584×106D．1.584×107
2．（3分）使x−2024有意义的x的取值范围是（ ）
A．x＞2024B．x＜﹣2024C．x≤2024D．x≥2024
3．（3分）如图是长沙市一中现代舞蹈社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是（ ）
A．平均数B．方差C．中位数D．众数
4．（3分）已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式m2﹣m+2024的值等于（ ）
A．2025B．0C．﹣2024D．2023
5．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则x1+x2的值是（ ）
A．1B．2C．﹣1D．﹣2
6．（3分）将抛物线y＝x2+4x﹣1向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，3）B．（﹣4，﹣2）C．（0，﹣2）D．（﹣2，﹣4）
7．（3分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝30°，AB＝4，CD的长为（ ）
A．2B．23C．4D．43
8．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＜0）过点A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（4，y3）四点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2D．y3＞y2＞y1
9．（3分）如图，已知长方形ABCD的边长AB＝10cm，BC＝8cm，点E在边AB上，AE＝4cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则能够使△BPE与△CQP全等的时间t为（ ）
A．1sB．1或4sC．1或2sD．2或4s
10．（3分）如图，若点M是等边△ABC的边BC上任意一点，将△AMC绕点A顺时针旋转得到△ANB，且点M在边BC上，连接MN，则下列结论：①AB⊥MN②∠BMN＝30°③MN＝AM ④BN∥AM，其中正确的个数有（ ）个．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若方程（m+1）x|m﹣1|+2x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m＝ ．
12．（3分）如图，菱形OABC的顶点A、B、C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为5，则AD的长为 ．
13．（3分）若关于x的方程ax2−x−14=0(a≠0)有两个不相等的实数根，则点P（a+1，﹣3﹣a）在第 象限．
14．（3分）直线y1＝ax与直线y2=12x+b在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，关于x的不等式ax＜12x+b的解集为 ．
15．（3分）如图，在以AA′为直径的半圆O中，作一个矩形OABC，再将矩形OABC绕点C顺时针旋转至矩形O′A′B′C，且O′在半圆上，则旋转角（小于360°）为 °．
16．（3分）感恩的心是一种生活态度，它能够提升我们的生活质量，让我们更加快乐和满足．如图是小双同学在学习二次函数时设计的“爱心”图案．“爱心”是在平面直角坐标系中，由二次函数y＝﹣x2+2x+5的图象与其关于直线y＝﹣x对称的图象所组成，若两图象相交于A，B，C，D四点，则四边形ABCD的面积为 ．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（6分）计算：(π−2024)0−(−12)−1+|1−3|+3−8．
18．（6分）先化简：(1−4x+3)÷x2−2x+12x+6，再从﹣3，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
19．（6分）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交CB于点D，连接AD．若AC＝8，BC＝15．
（1）求△ACD的周长；
（2）在AB下方取点K，以D为圆心DK为半径画弧，交AB于点E和点F，求证：AE＝BF．
20．（8分）为了解长沙市九年级学生每周校外锻炼身体的时长t（单位：小时）的情况，在全市随机抽取部分九年级学生进行调查，按五个组别：A组（3≤t＜4），B组（4≤t＜5），C组（5≤t＜6），D组（6≤t＜7），E组（7≤t＜8）进行整理，绘制如图两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次抽样调查的总人数是 ，扇形统计图中m＝ ，A组所在扇形的圆心角的大小是 ；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）若长沙市共约有6万名九年级学生，请你估计全市每周校外锻炼身体时长不少于6小时的九年级学生人数．
21．（8分）如图，直线y=−12x+2与y轴、x轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A（﹣1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为该二次函数的图象在第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求P点的坐标；
（3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点Q，当B、C、P、Q为顶点所构成的四边形是平行四边形时，直接写出Q的坐标．
22．（9分）湖南长沙是一个充满文化底蕴的城市，拥有着丰富的旅游特色纪念品．随着国庆小长假旅游旺季的到来，我市某店铺购进了一批旅游纪念品，“文创T恤”和“纪念湘绣”，进货价和销售价如表：
（1）该店铺购进“文创T恤”和“纪念湘绣”共80件，且进货总价不高于4900元，若进货后能全部售出，则分别购进“文创T恤”和“纪念湘绣”多少件，才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少？
（2）该店铺为了在国庆假期中尽快售完“文创T恤”，打算调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售8件，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每个多少元时，能使“文创T恤”平均每天销售利润为256元？
23．（9分）如图，已知正方形ABCD，以顶点B为直角顶点的等腰Rt△BEF在正方形外部绕点B旋转．
（1）如图1，连接AE与CF，在旋转过程中小语同学发现AE＝CF，请你帮小语同学完成证明过程；
（2）如图2，若AB＝10，BE＝BF＝8，在旋转过程中，
①求点D与点E之间的最大距离；
②当∠BCE最大时，连接AF，求△ABF的面积．
24．（10分）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点A（x，y）是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差y﹣x称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点A（1，3）在函数y＝2x+1图象上，点A的“纵横值”为3﹣1＝2，函数y＝2x+1图象上所有点的“纵横值”可以表示为y﹣x＝2x+1﹣x＝x+1，当3≤x≤6时，x+1的最大值为6+1＝7，所以函数y＝2x+1（3≤x≤6）的“最优纵横值”为7．
根据定义，解答下列问题：
（1）①点B（﹣5，1）的“纵横值”为 ；
②函数y=3x+x(−3≤x≤−1)的“最优纵横值”为 ；
（2）若二次函数y＝﹣x2+bx+c图象的顶点在直线x=52上，且“最优纵横值”为3，求c的值；
（3）若二次函数y＝﹣（x﹣h）2+k图象的顶点在直线y＝x+9上，当﹣1≤x≤4时，二次函数的“最优纵横值”为7，求h的值．
25．（10分）已知⊙O是△ACD的外接圆，点D是AC的中点．
（1）如图1，连接OD交AC于点E，过点A作CO的垂线交CO延长线于点F．设∠DAC＝α，∠FAC＝β，请用含α的代数式表示β；
（2）如图2，过点C作BC⊥AC，交弦AD的延长线于点B．
①求证：AD＝BD；
②若⊙O的半径为4，AD＝5，求BC的值；
（3）如图3，若AC是半圆，点P是⊙O上的动点，且点D，P分别位于AC的两侧，作△APD关于AD的轴对称图形△AQD，连接CQ，试探究CQ2，DQ2，AQ2三者之间满足的数量关系，并证明所得到的结论．
2024-2025学年湖南省长沙一中教育集团九年级（上）期中数学试卷
选择题、填空题答案速查
选择题、填空题解法提示
10．解：设AB交MN于点D，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝∠ABC＝∠C＝60°，
∵将△AMC绕点A顺时针旋转得到△ANB，
∴△AMC≌△ANB，AN＝AM，∠BAN＝∠CAM，
∴∠ABN＝∠C＝60°，∠MAN＝∠BAN+∠BAM＝∠CAM+∠BAM＝∠CAB＝60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴MN＝AM，∠AMN＝60°，
故③正确；
若AB⊥MN，则∠ADM＝90°，
∴∠BAM＝30°，与点M是边BC上任意一点这一条件不符，
∴AB与MN不一定垂直，
故①错误；
若∠BMN＝30°，则∠AMB＝∠BMN+∠AMN＝90°，
∴AM⊥BC，与点M是边BC上任意一点这一条件不符，
∴∠BMN不一定等于30°，
故②错误；
∵∠ABN＝∠CAB＝60°，
∴BN∥AC，
∴BN与AM不一定平行，
故④错误，
故选：A．
16．解：由题意，联列方程组y=−x2+2x+5y=−x，
∴x=3−292y=−3−292或x=3+292y=−3+292．
∴A（3−292，−3−292），C（3+292，−3+292）．
∴AC=(3−292−3+292)2+(−3−292+3+292)2=58．
分别连接AB、BC、CD、AD和BD．
设D（a，b），
∵点B、D关于直线y＝﹣x对称，
∴B（﹣b，﹣a），AC⊥BD．
将D（a，b），B（﹣b，﹣a）代入抛物线y＝﹣x2+2x+5，
∴−a2+2a+5=b①−b2−2b+5=−a②．
∴②﹣①得，a2﹣b2﹣2b﹣2a＝﹣a﹣b．
∴（a+b）（a﹣b﹣1）＝0．
∵a+b≠0，
∴a﹣b﹣1＝0．
∴b＝a﹣1．
将b＝a﹣1代入①得，﹣a2+2a+5＝a﹣1．
∴a＝3或a＝﹣2（舍去）．
∴D（3，2），B（﹣2，﹣3）．
∴BD=(3+2)2+(2+3)2=52．
∵AC⊥BD，
∴S＝AC•BD=12×58×52=529．
故答案为：529．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解：原式=1−(−2)+3−1+(−2)
=1+2+3−1−2
=1+2−1−2+3
=3．
18．解：(1−4x+3)÷x2−2x+12x+6
=x+3−4x+3•2(x+3)(x−1)2
=x−1x+3•2(x+3)(x−1)2
=2x−1，
∵x+3≠0，x﹣1≠0，
∴x≠﹣3，x≠1，
∴当x＝2时，原式=22−1=2．
19．（1）解：根据作图过程可知：MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴△ACD的周长为：AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝8+15＝23；
（2）证明：设MN与AB交于H，
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AH＝BH，
∵以D为圆心DK为半径画弧，交AB于点E和点F，
∴DE＝DF，
∴EH＝FH，
∴AH﹣EH＝BH﹣FH，
∴AE＝BF．
20．解：（1）这次抽样调查的总人数是100÷20%＝500（人），
m%=160500×100%＝32%，即m＝32，
所以A组所在扇形的圆心角的大小是360°×20%＝72°，
故答案为：500，72°；
（2）D组人数为500﹣（50+100+160+40）＝150（人），
补全图形如下：
（3）60000×150+40500=22800（名）．
答：估计该市每周校外锻炼身体时长不少于6小时的初中学生有22800名．
21．解：（1）在y=−12x+2中，令x＝0，得y＝2，
∴B（0，2），
令y＝0，得−12x+2＝0，
解得：x＝4，
∴C（4，0），
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（0，2），C（4，0），
∴a−b+c=0c=216a+4b+c=0，
解得：a=−12b=32c=2，
∴二次函数的解析式为y=−12x2+32x+2；
（2）如图，过点P作PE∥y轴交BC于点E，
设P（t，−12t2+32t+2），则E（t，−12t+2），
∴PE=−12t2+32t+2﹣（−12t+2）=−12t2+2t，
∴S△BCP=12PE•OC=12×（−12t2+2t）×4＝﹣（t﹣2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当t＝2时，S△BCP有最大值，最大值为4，此时，点P的坐标为（2，3）；
（3）设Q（m，n），又B（0，2），C（4，0），P（2，3），
当BC、PQ为对角线时，BC与PQ的中点重合，
则m+2=0+4n+3=2+0，
解得：m=2n=−1，
∴Q（2，﹣1）；
当BP、CQ为对角线时，BP与CQ的中点重合，则m+4=0+2n+0=2+3，
解得：m=−2n=5，
∴Q（﹣2，5）；
当BQ、CP为对角线时，BQ与CP的中点重合，则m+0=4+2n+2=0+3，
解得：m=6n=1，
∴Q（6，1）；
综上所述，Q的坐标为（2，﹣1）或（﹣2，5）或（6，1）．
22．解：（1）设购进x个“文创T恤”，则购进（80﹣x）个“纪念湘绣”，
由题意得：59x+66（80﹣x）≤4900，
解得：x≥5427，
∵x为正整数，
∴x的最小值为55，
设全部售出后获得的总利润为w元，
由题意得：w＝（79﹣59）x+（88﹣66）（80﹣x）＝﹣2x+1760，
∵﹣2＜0，
∴w随x的增大而增小，
∵x为正整数，
∴当x＝55时，w取得最大值，最大值＝﹣2×55+1760＝1650（元），
此时80﹣x＝80﹣55＝25，
答：购进55个“文创T恤”，25个“纪念湘绣”，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1650元；
（2）设每个降价m元，销售价定为每个（79﹣m）元，则每个的销售利润为（79﹣m﹣59）元，平均每天可售出（8+2m）个，
由题意得：（79﹣m﹣59）（8+2m）＝256，
整理得：m2﹣16m+48＝0，
解得：m1＝12，m2＝4（不符合题意，舍去），
∴79﹣m＝79﹣12＝67，
答：销售价定为每个767元时，能使“文创T恤”平均每天销售利润为256元．
23．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BE＝BF，∠EBF＝90°，
∴∠ABE＝∠CBF，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴AE＝CF；
（2）①如图，连接DE，DB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD=2AB＝102，
∵BE＝BF＝8，
∴点E在以点B为圆心，BE为半径的圆上运动，
∴当点E在线段DB的延长线上时，DE有最大值，
∴点D与点E之间的最大距离为102+8；
②如图，过点E作EH⊥BC于H，过点F作FN⊥直线AB于N，
∵点E在以点B为圆心，BE为半径的圆上运动，
∴当CE与⊙B相切时，∠BCE最大，
∴∠CEB＝90°，
∴CE=BC2−BE2=100−64=6，
∵sin∠CBE=HEBE=CEBC，
∴EH8=610，
∴HE=245，
∵EH⊥BC，FN⊥AB，
∴∠EHB＝90°＝∠FNB＝∠EBF，
∴∠HBE+∠EBN＝90°＝∠EBN+∠FBN，
∴∠HBE＝∠FBN，
又∵BE＝BF，
∴△BEH≌△BFN（AAS），
∴EH＝FN=245，
∴S△ABF=12×AB•FN=12×10×245=24．
24．解：（1）①点B（﹣5，1）的“纵横值”为1﹣（﹣5）＝6，
故答案为：6；
②∵y=3x+x，
∴y﹣x=3x，
∵﹣3≤x≤﹣1，
∴x＝﹣3时，y﹣x的最大值是﹣1，
∴函数y=3x+x（﹣3≤x≤﹣1），的“最优纵横值”为﹣1；
故答案为：﹣1；
（2）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点在直线x=52上，
∴−b2×(−1)=52，
∴b＝5，
∴y＝﹣x2+5x+c，
∴y﹣x＝﹣x2+5x+c﹣x＝﹣x2+4x+c＝﹣（x﹣2）2+4+c，
∵最优纵横值为3，
∴4+c＝3，
∴c＝﹣1；
（3）∵二次函数y＝﹣（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝x+9上，
∴k＝h+9，
∴y＝﹣（x﹣h）2+h+9，
∴y﹣x＝﹣（x﹣h）2+h+9﹣x＝﹣（x﹣h+12）2+374，
∵当﹣1⩽x⩽4时，二次函数的最优纵横值为7，
当h−12≥4，即h≥92时，则x＝4时，有最大值为7，
∴﹣（4﹣h+12）2+374=7，
解得h＝6或h＝3（舍去），
当h−12≤−1，即h≤−12时，则x＝﹣1时，有最大值为7，
∴﹣（﹣1﹣h+12）2+374=7，
解得h＝﹣2或h＝1（舍去）．
故h的值为﹣2或6．
25．（1）解：∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD，OD⊥AC，
∴∠DCA＝∠DAC＝α，
∴∠ODC＝90°﹣∠DCA＝90°﹣α，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝90°﹣α，
∴∠FCA＝∠OCD﹣∠DCA＝90°﹣2α，
∴β＝∠FAC＝180°﹣∠FCA﹣∠F＝2α，
∴β＝2a；
（2）①证明：由（1）可知，AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵BC⊥AC，
∴∠DCA+∠DCB＝90°，∠DAC+∠B＝90°，
∴∠DCB＝∠B，
∴BD＝CD，
∴AD＝BD；
②解：连接OD交AC于H，连接OA，
由（1）可知，OD⊥AC，H为AC的中点，
∵AD＝BD，
∴D为AB的中点，
∴DH=12BC，
设DH＝a，则OH＝4﹣a，BC＝2a，
由勾股定理得，AH2＝AD2﹣DH2，即AH2＝52﹣a2；AH2＝OA2﹣OH2，即AH2＝42﹣（4﹣a）2；
∴52﹣a2＝42﹣（4﹣a）2，
解得，a=258，
∴BC的值为254；
（3）解：CQ2＝AQ2+2DQ2，证明如下；
作∠QDG＝90°，使DG＝DQ，连接QG，AG，
∴△QDG是等腰直角三角形，∠DQG＝45°，
由勾股定理得，QG2＝DQ2+DG2＝2DQ2，
∵AC是半圆，
∴∠ADC＝90°，
由（1）可知，AD＝CD，
∴∠DCA＝45°，
∵AD=AD，
∴∠DPA＝∠DCA＝45°，
∴∠QDG+∠QDA＝∠QDA+∠ADC，即∠GDA＝∠QDC，
∵DG＝DQ，∠GDA＝∠QDC，DA＝DC，
∴△GDA≌△QDC（SAS），
∴AG＝CQ，
由轴对称的性质可知，∠AQD＝∠P＝45°，
∴∠AQG＝∠AQD+∠DQG＝90°，
由勾股定理得，AG2＝AQ2+QG2，即CQ2＝AQ2+2DQ2．纪念品
价格
文创T恤
纪念湘绣
进货价（元/个）
59
66
销售价（元/个）
79
88
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
C
A
A
B
B
A
C
A
11.3 12.5 13. 四 14. x＞﹣2 15. 120 16.529