浙江省杭州市临安区2026年中考一模数学试卷附答案

这是一份浙江省杭州市临安区2026年中考一模数学试卷附答案，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．2025的相反数是（ ）
A．B．C．D．2025
2．2025年1月17日上午，国家统计局发布数据，2024年全年出生人口约为9540000人，9540000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．如图为食堂“光盘行动”宣传标语展板，则下列选项中属于左视图的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．某学生的数学总评成绩由作业（10%），期中考试（30%）和期末考试（60%）组成.该生作业得90分，期中考试得80分，期末考试得80分，则他的总评成绩是（ ）
A．80分B．81分C．82分D．83分
6．如图，在平面直角坐标系中，正与正是以原点为位似中心的位似图形，且面积比为，点，，均在轴上，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．《算法统宗》是我国明朝数学家程大位的数学著作，书中有一道“僧分馒头”的问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文为：100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，问大和尚与小和尚分别有多少人.设大和尚x人，小和尚y人，下列方程组列式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，菱形和菱形中，，，，点在边上，点在边上，，连接和，，分别是，的中点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
9．已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，当时，总有，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在矩形中，对角线，交于点，，点是边的中点，点在边上，且，连结交于点，连结，若，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．因式分解：a3－a= .
12．若，则 .
13．为弘扬科学精神，提高学生的科学文化素养，某校开展黑板报评比活动，确定“机器人”，“DeepSeek”和“豆包”三个主题，若七年级1班和七年级2班两个班随机选择其中一个主题出黑板报，则这两个班选择同一主题的概率是 .
14．如图，在中，点为弧的中点，为的直径，交于点，连结．若，则 ．
15．已知二次函数的图象与x轴有两个不同交点，，且，则n的取值范围是 .
16．如图，是边长为6的等边三角形，点为延长线上一点，，过作所在直线的垂线，垂足为，连结，为中点，则线段的长是 ．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（1）化简：
（2）解不等式组：．
18．（1）如图1，长为3米的单梯倚靠墙角，测得地面与单梯的夹角为，则此时单梯的顶端距离地面的高度为多少米？（结果保留根号）
（2）现有家用可折叠双梯（如图2），已知该双梯撑开使用时，张开角度为，两底端距离为1米，则此时双梯顶端距离地面的高度为多少米？（结果精确到米，可参考数据：，，，，，）
19．为了解学生科学实验操作情况，随机抽取甲、乙两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下：
①操作规范性：
得分
操作规范性和书写准确性的得分统计表
②书写准确性：
书写准确性的得分统计表
根据以上信息，回答下列问题：
（1）比较甲乙两人“操作规范性”的方差大小．
（2）综合上表的统计量，请从“操作规范性”和“书写准确性”两方面对两名同学的得分进行评价并说明理由．
20．如图，在边长为4的正方形中，，分别为边，上的点，且，过点作的垂线交于．
（1）求证：．
（2）请写出与之间的数量关系并证明．
21．如图，反比例函数图象过点，直线与该反比例函数图象和轴分别交于点和点，连结．
（1）求的面积．
（2）若点在反比例函数图象上，当，求点的坐标．
22．我们常常把一张纸通过折叠的方式得到它的对角线，如图1．折纸活动中，通过点与点重合或边与边重合，才能得到精准的折叠．现有一张纸张（矩形），如图2，设折叠后边与边重叠的点为．
（1）请用尺规作图的方式在图2中画出点．
（2）根据以上折纸活动的提示，描述折出纸（矩形）对角线的两个步骤．
23．药碾子是传统的碾药工具，从东汉时期沿用至今，如图1，碾槽外轮廓的上沿和下沿可近似看作两条抛物线的部分．如图2，上沿和下沿的两个交点分别为点和点，点与点到地面的距离相等，，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，上沿抛物线的顶点为，下沿抛物线的顶点为，上沿抛物线的顶点比点高．
（1）求出上沿抛物线的函数表达式．
（2）点是支撑架与下沿抛物线的交点，过点作于点，交上沿抛物线于点，，求点的坐标．
24．如图1，是的直径，点在线段上，，，．
（1）求证：；
（2）连结交于，连结，求证：平分；
（3）如图2，为上一点，连结交于，过作交于，，若，，，求的长．
答案
1．【答案】A
【解析】【解答】解：根据相反数的定义可知：2025的相反数是，
故答案为：A．
【分析】根据相反数的定义：符号不同的两个数互为相反数即可得出答案．
2．【答案】C
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为．
故答案为：C．
【分析】将数表示成科学记数法的形式为的形式，其中，n等于整数位数减去1即可求解.，
3．【答案】B
【解析】【解答】解：A为图形的正视图，故A错误；
B为图形的左视图，故B正确；
C为图形的俯视图，故C错误；
D不是图形的左视图，故D错误；
故答案为：B．
【分析】根据图形的三视图的概念逐一进行判断即可．
4．【答案】C
【解析】【解答】解：A．，故原式计算不正确；
B．，故原式计算不正确；
C．，原式计算正确；
D．，故原式计算不正确；
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的除法，幂的乘方，乘法公式逐项分析即可．
5．【答案】B
【解析】【解答】解：总评成绩为（分）
故答案为：B.
【分析】利用加权平均数的公式进行求解即可．
6．【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意可知：正与正是以原点为位似中心的位似图形，且面积比为，
∴正△ABC和正△BDE的相似比为，
∵点的坐标为，
∴点的坐标为，即，
故答案为：C．
【分析】根据三角形的面积比是三角形相似比的平方，可得出三角形的相似比，再根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，即可得出结论．
7．【答案】D
【解析】【解答】解：∵100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，且结合大和尚人，小和尚人，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，且结合大和尚人，小和尚人，进行列出方程组，即可作答．
8．【答案】D
【解析】【解答】解：连接交于，连接，如图所示，
∵四边形是菱形，点M是AC的中点，
∴AB=BC，点M在BD的中点，即对角线AC与BD的交点，
∴BM⊥CM，
∴△MBC是直角三角形，
∵∠ABC=120°，
∴∠MBC=∠ABC=60°，∠MCD=∠DCB=30°，
∴CM=BCsin∠MBC=，
∵四边形CEFG是菱形，∠GCE=120°，
∴GF∥CE，∠GCF=∠GCE=60°，
∴∠FPQ=∠PQC，∠PFC=∠FCQ，△CEF是等边三角形，
∴CF=CE=4，
又∵PF=CQ，
∴△PRF≌△QRC（ASA），
∴PR=QR，RF=RC
∴R是PQ的中点，
又∵N是PQ的中点，
∴R、N两点重合，
∴CN=FN=CF=2，
∵∠MCD=30°，∠GCF=60°，
∴∠MCN=∠MCD+∠GCF=90°，
∴△MCN是直角三角形，
根据勾股定理可得：MN==，
故答案为：D.
【分析】连接交于，连接，证明△MBC是直角三角形，利用三角函数求得CM=， 再证明是等边三角形，得到；由四边形CEFG是菱形，易得△PRF≌△QRC，可证R、N两点重合，再根据∠MCD=30°，∠GCF=60°，可得 ∠MCN=90°，最后根据勾股定理可得：MN==，
9．【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意可知：一次函数与轴交于点，
∴k2=-3k1-2，
A、当k1=1时，k2=-5，此时，，当x≥1时， 不一定成立，故A错误，
B、当k1=时，k2=，此时，，当x≥1时， 恒成立，故B正确，C、当k1=-1时，k2=1，此时，，当x≥1时， 不一定成立，故C错误，
D、当k1=-2时，k2=4，此时，，当x≥1时， 不一定成立，故D错误，
故答案为：B．
【分析】根据一次函数与轴交于点，求得k2=-3k1-2，进而求出反比例函数与一次函数的解析式，即可判断是否正确．
10．【答案】A
【解析】【解答】解：延长交于点G，如图所示，
∵四边形是矩形，
∴，
∴∠EAH=∠HCN，∠AEH=∠CNH，
∴△AEH∽△CNH，
∴，
同理可得：△ADH∽△CGH，
∴，
∵ 点是边的中点，
∴AE=AD，
又∵，
∴，
∴==2，
∴AH=2CH，DH=2GH，AD=2CG，
∵OA=OC，
∴OA+OH=2（OC-OH），
∴OA=3OH，
∵ ，
∴OA=，AC=，
∵ ，
∴=，
∴DC=6，AD=12，
∴CG=6，
∴DG==，
∵DH=2GH，
∴DH==，
故答案为：A．
【分析】延长交于点G，根据矩形的性质，易证△AEH∽△CNH，△ADH∽△CGH，根据相似三角形对应边成比例可得=2，由，由勾股定理进而求得AC=，DC=CG=6，AD=12，DG=，即可求得DH==.
11．【答案】a（a－1）（a + 1）
【解析】【解答】解：a3-a，
=a（a2-1），
=a（a+1）（a-1）.
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
12．【答案】x=-2
【解析】【解答】解：，
两边都乘以，得，
解得，
检验：当时，，
∴是分式方程的解．
故答案为：．
【分析】将分式方程两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可．
13．【答案】
【解析】【解答】解：把“机器人”，“”和“豆包”三个主题分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中七年级1班和七年级2班恰好选择同一个主题的结果有3种，
∴七年级1班和七年级2班恰好选择同一个主题的概率为．
故答案为：．
【分析】根据题意画出树状图，共有9种等可能的结果，其中七年级1班和七年级2班恰好选择同一个主题的结果有3种，再由概率公式求解即可．
14．【答案】
【解析】【解答】解：，，
∴∠ABC+∠EAB=180°，
∴∠EAB=110°，
∵四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠EAB+∠ECB=180°，
∴∠ECB=70°，
∵点D为弧AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CFB=90°，
∴∠BCF=90°-∠ABC=20°，
∴∠DCE=∠ECB-∠DCB=70°-20°=50°，
故答案为：．
【分析】根据平行线的性质、圆内接四边形的性质可以得到∠ECB的度数，再根据垂径定理的推论可以求得∠BCD的度数，然后即可得到∠DCE的度数.
15．【答案】
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与轴有两个不同交点，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据二次函数与x轴有两个不同的交点得，求出n的取值范围，再结合一元二次方程的根与系数，得，表示出，因为，解得，即可作答．
16．【答案】
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：
∵是边长为6的等边三角形，且边长为6，
∴AB=BC=AC=6，
∴BH=CH==3，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：AH=，
∵AB：AD=3：5，AD=AB+BD=6+BD，
∴6：（6+BD）=3：5，
∴BD=4，
∵AH⊥BC，DE⊥BC，
∴DE∥AH，
∴△DEB∽△AHB，
∴，
∴，
∴BE=2，DE=，
∴CE=BC+BE=8，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：CD=，
∵点F为DC中点，
∴EF是Rt△CDE斜边CD上的中线，
∴EF=，
故答案为：．
【分析】过点A作，根据等边三角形的性质得BH=CH=3，进而得出AH=，再根据AB：AD=3：5得BD=4，证明△DEB∽△AHB，利用相似三角形得BE=2，DE=，则CE=8，再利用勾股定理得CD=，再利用直角三角形斜边中线的性质可得出EF的长.
17．【答案】解：（1）原式===；
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
将不等式①②的解集在数轴上表示为：
∴原不等式组的解为.
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的性质进行化简，再合并同类二次根式，即可得出答案；
（2）先分别计算每个不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来，再取它们公共部分的解集，即可得出答案．
18．【答案】解：（1）作AC⊥地面BC于点C，则∠C=90°，如图所示：
由题意得：AB=3米，∠ABC=60°，
∴AC=3sin60°=（米），
答：单体的顶端距离地面的高度为米；
（2）作DM⊥EF于点M，则∠DME=90°，如图所示：
由题意得：DE=DF，EF=1米，∠EDF=40°，
∴EM=0.5米，∠EDM=20°，
∴DM=≈1.4（米），
答：此时双梯顶端距离地面的高度约为1.4米.
【解析】【分析】（1）作出单梯所在的直角三角形，利用直角三角形中角的正弦值即可得出答案；
（2）作DM⊥EF于点M，利用等腰三角形的三线合一的性质可得EM的长度和∠EDM的度数，再根据直角三角形中角的正切值即可得出答案.
19．【答案】（1）解：观察图①可知：甲同学的得分比乙同学的得分波动幅度大，
∴.
（2）解：甲同学书写准确性从小到大重新排列为：1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，
∴中位数a=，
乙同学书写准确性的平均数b=（分），
从操作规范性来分析，甲同学和乙同学的平均得分相等，但是甲同学的方差大于乙同学的方差，所以乙同学在物理实验操作中发挥较稳定；
从书写准确性来分析，乙同学的平均数比甲同学的平均数高，所以乙同学在物理实验中书写更准确；
从两个方面综合分析，乙同学的操作更稳定，并且书写的准确性更高，所以乙同学的综合成绩好．
【解析】【分析】（1）根据折线图，观察波动大小，即可判断方差的大小；
（2）根据表中的上统计量，从平均数和方差进行判断，理由合理即可．
（1）解：由图①来看，很明显甲的波动幅度要大于乙的波动幅度，；
（2）解：由题干可知甲中位数：，
∴；
乙的平均数；
情况①从操作规范性来分析，甲和乙的平均得分相等，但是乙的方差小于甲的方差，
所以乙在物理实验操作中发挥较稳定；
或：情况②从书写准确性来分析，乙的平均得分比甲的平均得分高，
所以乙在物理实验中书写更准确；
或：情况③从两个方面综合分析，乙的操作更稳定，并且书写的准确性更高，
所以乙的综合成绩更好．（言之有理即可）
20．【答案】（1）证明：过点F作FK⊥AB于点K，如图所示：
∴∠FKA=∠FKH=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，∠B=∠BAD=∠D=90°，
∴∠FKA=∠BAD=∠D=90°，∠B=∠FKH=90°，
∴四边形ADFK是矩形，
∴AD=FK，DF=AK，
∴AB=FK，
∵FH⊥AE，∠FKH=90°，
∴∠BAE+∠AHF=90°，∠KFH+∠AHF=90°，
∴∠BAE=∠KFH，
在△BAE和△KFH中，
，
∴△BAE≌△KFH（ASA），
∴AE=HF.
（2）解：由①可得：∴△BAE≌△KFH，
∴BE=KH，
又∵BE=DF，DF=AK，
∴AK=BE，
∴AH=AK+KH=BE+BE=2BE.
【解析】【分析】（1）过点F作FK⊥AB于点K，证明四边形ABCD是正方形得 AD=FK，DF=AK，则AB=FK，再证明 △BAE和△KFH全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）由（1）可知△BAE≌△KFH得BE=KH，再根据BE=DF，DF=AK得AK=BE，由此即可得出AH与BE之间的数量关系.
（1）证明：过点作交于．
∵正方形中，
∴，．
∵，
∴，
又
∴四边形为矩形，
∴，，，
∴，，，
∴．
∴．
（2），
证明：∵正方形中，
∴，
又
∴
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴．
21．【答案】（1）解：∵ 反比例函数图象过点，
∴，
∴A（-2，-2），
∵直线x=4与该反比例函数图象和x轴分别交于点B和点D，
B（4，1），D（4，0），
∴S△ABD= 12×1×（4+2）=3 .
（2）解：由（1）可知，A（-2，-2），D（4，0），
设直线AD的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
设直线PD的解析式为y=px+q，
∵ ，
∴kp=-1，
∴p=-3，
∴直线PD的解析式为y=-3x+q，
把D（4，0）代入y=-3x+q，解得q=12，
∴直线PD的解析式为y=-3x+12，
∵点P（m，n）在直线PDy=-3x+12和反比例函数上，
∴-3x+12=
解得：，，
经检验：，都是原方程的解，
当时，y=，
当时，y=，
∴或．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出a的值，再利用解析式求出点B、D坐标，代入三角形的面积公式即可；
（2）设直线AD的解析式为y=kx+b和直线PD的解析式为y=px+q，先求出直线AD的解析式，得出k的值，再根据两直线垂直，求出p的值，利用待定系数法求出直线PD的解析式，在与反比例函数解析式联立方程组，即可求出点P的坐标.
（1）解：∵反比例函数图象过点，
∴，
∴，
∴，
把代入，
得，
∴，
∴，
连接，
∴；
（2）解：∵直线与该反比例函数图象和轴分别交于点和点，连结．
∴，
设直线的解析式为，
∵，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
故令时，则，
∴，
如图，，过点作的延长线，
设，
则：
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
解得，．
经检验：，都是原方程的解，
则或．
22．【答案】（1）解：分别以A，C为圆心，AB，BC为半径作弧，两弧交于点B'，连接AB'，CB'，CB'交AD于点E，点E即为所求，如图所示：
（2）解：步骤一：点A，点C两点重合，得到折痕EE'
步骤二：点E，点E'重合可以折出A4纸(矩形ABCD)对角线AC.
如图所示：
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质作图即可得出答案；
（2）根据折叠和矩形的性质，进行操作，即可得到答案．
（1）连结，作的垂直平分线，与的交点即为点．如下图：
；
（2）①将该纸张进行第一次折叠，使对角的顶点A与重叠，得到折痕，折痕与纸张两边的交点记为和；
②再将纸张进行第二次折叠，使，两点重合，得到折痕，则该折痕为矩形的对角线．
23．【答案】（1）解：根据题意，设上沿抛物线的函数表达式为，
把（0，0）代入解析式得：16a-=0，
解得a=，
答： 上沿抛物线的函数表达式为.
（2）解：∵， 比点高，
∴P（4，-4），
设下沿抛物线的顶点式为，
把（0，0）代入解析式得：16a'-4=0，
解得：，
∴下沿抛物线的函数表达式为，
∵，
∴-=，
解得：或，
把或代入下沿抛物线的函数表达式得，y=-3，
∴B（2，-3）或（6，-3）.
【解析】【分析】（1）根据上演抛物线的顶点 设抛物线的顶点式，再把远点坐标代入解析式即可求解；
（2）先求出下沿抛物线顶点P的坐标，再用待定系数法求出函数表达式，然后根据得出关于x的方程，解方程求出x的值，再代入下沿抛物线求出y即可的触点B的坐标.
（1）解：∵上沿抛物线的顶点为，
设上沿抛物线的顶点式为
∵上沿抛物线过点，代入顶点式得
解得
上沿抛物线的表达式为；
（2）解：∵上沿抛物线的顶点比点高，
∴点纵坐标为，点的坐标为，
设下沿抛物线的顶点式为，
∵下沿抛物线过点，代入顶点式得：
，
解得，
下沿抛物线的表达式为，
∵，
∴
当时，
解得，或，代入下沿抛物线表达式得
故点的坐标为或．
24．【答案】（1）证明：∵AE是的直径，
∴，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵DC⊥BC，
∴∠C=90°，
∴∠ABE=∠C=90°，
在Rt△ABE和Rt△ECD中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ECD（SAS），
∴∠BAE=∠DEC，
∴∠DEC+∠AEB=90°，
∴∠AED=180°-（∠DEC+∠AEB）=90°，
∴AE⊥ED.
（2）解：由（1）可知：Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴AE=ED，
∵∠AED=90°，
∴△AED为等腰直角三角形，
∴∠EAD=45°，
∴∠KBE=∠EAD=45°，
∵∠ABE=90°，
∴∠KBE=∠ABK=45°，
∴BK平分∠ABE.
（3）解：过点E作EK∥FB，交AM于点K，连接EF，如图所示：
由（1）可知：∠BAE=∠DEC，
∵MN⊥BC，
∴∠MNE=90°，
∵∠ABE=90°，
∴∠MNE=∠ABE，
∴△ABE∽△ENM，
∴，
∵，
∴，
∴EN=BE，
∵BN=5，
∴EN=BE=2，
∴AE==，DC=BE=2，
∴ED=AE=，
∵AB=3，
∴EC=AB=3，
∵MN⊥BC，DC⊥BC，
∴MN∥DC，
∴△EMN∽△ECD，
∴，
∴MN=，EM=，
∴AM==，
∵AE是的直径，
∴，
∴EF⊥AM，
∵AE⊥ED，
∴，
∴EF==2，FM==，
∴EF=BE，
∴，
∴，
∵EK∥FH，
∴∠KEA=∠BAE，
∴∠KEA=∠FAE，
∴∠FAE+∠AME=90°，∠KEA+∠KEM=90°，
∴∠KEM=∠AME，
∵FH⊥BC，AB⊥BC，
∴AB∥FH，
∴FH∥EK，
∴∠FGM=∠KEM，
∴∠FGM=∠AME，
∴FG=FM=.
【解析】【分析】（1）利用圆周角定理，全等三角形的判定与性质和直角三角形的性质解答即可；
（2）利用全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质和圆周角定理以及角平分线的定义解答即可；
（3）过点E作EK∥FH，交AM于点K，连接EF，利用圆周角定理，相似三角形的判定与性质得到BE=EN，利用圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质求得线段MN，EM，AM，AE，EF，再利用平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质等腰三角形的判定与性质解答即可.
（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴平分；
（3）解：连结，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由，
∴，即，
∴，
则．
操作规范性
书写准确性
平均数
方差
平均数
中位数
甲
4
1.8
乙
4
2
实验次数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
1
1
2
2
2
3
1
3
2
1
乙
1
2
2
3
3
3
2
1
2
1