2026年中考数学复习：旋转 综合题型解答题专项练习题（含答案解析）

这是一份2026年中考数学复习：旋转 综合题型解答题专项练习题（含答案解析），共32页。试卷主要包含了如图①，综合与探究，已知和都是等腰直角三角形，，综合与实践等内容，欢迎下载使用。
（2）如图②．一块舞台由线段AB、BC、CD、弧AD围成，其中m，m．m．，弧AD的圆心角为60°．根据舞台装饰要求，现要在舞台内找一定位点P，从点P向点B、C及弧AD上的一点（不妨记为Q）铺设地面LED灯带，已知灯带15元/m，则是否存在这样的点P，使得铺设灯带所需的总费用最小？若存在请求出最小费用；若不存在，请说明理由．
2．如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，将BC按逆时针方向绕点B旋转90°得到线段BE，连结AE，若AB=2cm，CD=3cm，过B点作BF⊥AB，过点E作EG⊥AB交AB的延长线于点G，试求的面积．

3．问题情境 借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，，分别取、的中点、，作．如图2所示，将绕点逆时针旋转，连接、．
【探究发现】旋转过程中，线段和存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．
【类比应用】如图3，当所在直线首次经过点时，求的长．
【延伸思考】如图4，在中，，，，分别取、的中点、．作，将绕点逆时针旋转，连接、．当首次与平行时，求的面积．
4．综合与探究：如图，在中，，，．
(1)问题发现：如图，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，，线段与的位置关系是______，与的数量关系是______；
(2)类比探究：将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的位置关系、数量关系与（1）中结论是否一致？若与交于点，与交于点，请结合图说明理由；
(3)拓展延伸：如图，将绕点旋转一定角度得到，当点 落到边上时，连接，求线段的长．
5．如图1，正方形的边长为5，点E为正方形边上一动点，过点B作于点P，将绕点A逆时针旋转90°得，延长交于点F，连结．
（1）判断四边形的的形状，并说明理由；
（2）若，求；
（3）如图2，若点E恰好为的中点时，请判断与的数量关系，请说明理由．
6．已知和都是等腰直角三角形，．
（1）如图1：连，求证：；
（2）若将绕点O顺时针旋转，
①如图2，当点N恰好在边上时，求证：；
②当点在同一条直线上时，若，请直接写出线段的长．
7．如图，为等边三角形，点为线段的中点，连接，点在线段上，将线段绕点顺时针旋转到，连接，连接交于点．
（1）如图1，当点与点重合时，直接写出线段和线段的数量关系；
（2）如图2，当时，过点作的平行线交于点，请写出线段与的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当时，请直接写出点到直线的距离．
8．如图1，点是正方形两对角线的交点，分别延长到点，到点，使，，然后以、为邻边作正方形，连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，正方形固定，将正方形绕点逆时针旋转角（），得到正方形；
①在旋转过程中，当是直角时，求的度数；
②若正方形的边长为2，在旋转过程中，长的最大值为______．
9．如图①，和重叠放置在一起，，且，．
(1)观察猜想：图①中线段与的数量关系是 ，位置关系是 ；
(2)探究证明：把绕点顺时针旋转到图②的位置，连接，，判断线段与的数量关系和位置关系如何，并说明理由；
(3)拓展延伸：若把绕点顺时针旋转，直线与直线相交于点，，则的最大值为 ．
10．综合与实践
（1）【探索发现】在中. ，，点为直线上一动点（点不与点，重合），过点作交直线于点，将绕点顺时针旋转得到，连接．
如图（1），当点在线段上，且时，试猜想：
①与之间的数量关系：______；
②______．
（2）【拓展探究】
如图（2），当点在线段上，且时，判断与之间的数量关系及的度数，请说明理由．
（3）【解决问题】
如图（3），在中，，，，点在射线上，将绕点顺时针旋转得到，连接．当时，直接写出的长．
11．△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，过点A作直线MN，使MN∥BC，点D在直线MN上，作射线BD，将射线BD绕点B顺时针旋转角α后交直线AC于点E．
（1）如图①，当α＝60°，且点D在射线AN上时，直接写出线段AB，AD，AE的数量关系．
（2）如图②，当α＝45°，且点D在射线AN上时，直写出线段AB、AD、AE的数量关系，并说明理由．
（3）当α＝30°时，若点D在射线AM上，∠ABE＝15°，AD＝﹣1，请直接写出线段AE的长度．

12．如图，在直角坐标系中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段O M0绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1 M0⊥O M0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2，如此下去，得到线段OM3，OM4，…，OMn
（1）写出点M5的坐标；
（2）求△M5OM6的周长；
（3）我们规定：把点Mn（xn，yn）（n=0，1，2，3…）的横坐标xn，纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标（|xn|，|yn|）称之为点Mn的“绝对坐标”．根据图中点Mn的分布规律，请你猜想点Mn的“绝对坐标”，并写出来．
参考答案
1．（1）；（2）最小费用为：元．
【分析】（1）利用正方形的性质先求解 再证明再利用等角的三角函数列方程求解即可；
（2）如图，过A作 交CD于K，过C作CF⊥AK于F，过B作BH⊥AK于H，则四边形为矩形，证明 可得 再确定所在圆的圆心，可得 作于 求解把逆时针旋转到 当共线时，取最小值，连接交 于 则最小值为从而可得答案．
【详解】解：（1） 边长为5的正方形ABCD，


由旋转可得：








（2）如图，过A作 交CD于K，过C作CF⊥AK于F，过B作BH⊥AK于H，则四边形为矩形，

，

同理：







为
作等边 则为圆心，

作于


把逆时针旋转到
是等边三角形，


当共线时，取最小值，连接交 于 则最小值为

共线，

，
所以最小费用为：元．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，圆的基本性质，旋转的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，利用旋转思想求解线段和的最小值，难度大，属于压轴题．
2．1
【分析】求出四边形ABFD是矩形，根据矩形的对边相等可得AB＝DF＝2，然后求出CF＝1，再求出∠FBC＝∠EBG，然后利用“角角边”证明△FBC和△GBE全等，根据全等三角形对应边相等可得EG＝CF＝1，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】如图：

∵AB⊥AD，CD⊥AD，BF⊥DC，
∴∠D＝∠BAD＝∠BFD＝90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴BF＝AD，AB＝DF＝2，∠BFC＝∠FBG＝90°，
∵DC＝3，DF＝2，
∴CF＝DC−DF＝3−2＝1，
∵BC以点B为旋转中心，逆时针方向旋转90°至点E，
∴∠CBE＝90°，BC＝BE，
∵∠EBC＝∠FBG＝90°，
∴∠CBF＝∠EBG＝90°−∠CBG，
∴∠CDF＝∠EDG，
在△BFC和△BGE中，
，
∴△BFC≌△BGE（AAS），
∴EG＝CF＝1，
∴△ABE的面积＝AB•EG＝×2×1＝1．
【点睛】本题考查了直角梯形，全等三角形的判定与性质，旋转变换的性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
3．【探究发现】：，理由见解析；【类比应用】：；【延伸思考】：
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定及性质，旋转的性质，勾股定理等知识点，综合程度比较大，熟练运用这些知识是解题关键；
【探究发现】根据中点的定义得出，进而得出，再通过直角等腰三角形的性质得到，通过证明，即可得出结论；
【类比应用】根据题意推出当所在直线经过点时，，根据勾股定理可得，根据【探究发现】可得，即可求解；
【延伸思考】过点作于点，根据平行线的性质得出，根 据 旋转的 性 质 得 出，进 而 推 出，则，进而可求 出，再根据三角形面积公式，即可解答．
【详解】【探究发现】解：，
理由如下：
∵点和点分别为中点，
∴，
，
∴，
，
，
∴为直角等腰三角形，
∴，
根据旋转的性质可得：，
，
，
即．
【类比应用】解：由图1可知 ∵点和点分别为中点，
，
，
，
∴当所在直线首次经过点时，，
根据勾股定理可得：，
由【探究发现】可得：，
，
解得：；
【延伸思考】解：过点作于点，
根据题意可得：，
，
，
，
∵，
，
根据旋转的性质可得：，
，
又∵，
∴，
∴，
，
．
4．(1)；
(2)线段与的数量关系，位置关系与（1）中结论一致，理由见解析
(3)
【分析】（1）由旋转的性质可得，，，继而得到，，，，可得出与的夹角；
（2）证明得，，即可得证；
（3）利用勾股定理求出的长，证明，求出，由等腰三角形的性质可求出的长．
【详解】（1）解：如图，延长交于，
∵将绕点按顺时针方向旋转得到，，，，
∴，，，
∴，，
，，
∴，，
∴，，
∴线段与的位置关系是，与的数量关系是，
故答案为：；；
（2）线段与的数量关系，位置关系与（1）中结论一致．
理由：如图，
∵将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，，，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
即，
∴，
∴；
（3）如图，过点作于，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵将绕点旋转一定角度得到，点 落到边上，，
∴，
∴，
由（2）可知：．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握旋转的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键．
5．（1）正方形，理由见解析；（2）8；（3），理由见解析
【分析】(1)由旋转可得三个角是直角，可判断矩形，再根据旋转邻边相等可证；
(2) 过点C作于点G．设，则，列方程求出BP长即可；
(3) 过点C作于点H．证，得出，再用勾股定理可求关系．
【详解】解：（1）四边形是正方形，理由如下：
由△APB绕点A逆时针旋转90°得可得：
，
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形．
（2）过点C作于点G．
在正方形中，，
在正方形中，设，则
在中，，
即：
解得：（不符合题意，舍去），，
∴
∴，，
∵，
∴
∴，
∵，
∴
∴
∴
（3）过点C作于点H．
∵点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴，
中，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质和勾股定理，解题关键是通过旋转，利用相似或全等进行熟练证明推理．
6．（1）见解析；（2）①见解析；②或
【分析】（1）利用证明即可；
（2）①连接，证明，得，结合等腰直角三角形的性质，即可证；②分当点在线段上时，和当点在线段上时，两种情况分类讨论．情况一：当点在线段上时，连接，过点作于，根据，得，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，先算出，，再根据计算即可；情况二：当点在线段上时，连接，过点作于，先利用证，得，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，算出，，最后根据计算即可．
【详解】解：（1）证明：，
，
即，
和是等腰直角三角形，
，，
在和中，
；
（2）①如下图，连接，
，
，
即，
和是等腰直角三角形，
，，，
在和中，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
②或．
情况一：如下图，当点在线段上时，连接，过点作于，
由（1）得，
，
和都是等腰直角三角形，，，，
，，
，
，
；
情况二：如下图，当点在线段上时，连接，过点作于，
，
，
即，
和都是等腰直角三角形，，，，
，，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
综上，线段的长为或．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，三点共线分类讨论，对几何题目的综合把握是解题关键．
7．（1）；（2），证明见解析；（3）
【分析】（1）根据°，可得ON∥BC，进而得到；
（2）先证明得到，即。再在中根据求出线段与的数量关系；
（3）由（2）求出CM、NC的长，再利用△MNC面积即可求出点到直线的距离
【详解】解：（1）
∵为等边三角形
∴
∴
∴
∴
（2）
证明：
为等边三角形
∴
∵，
∴，
∴为等边三角形
∴，
∴
∴，
∵，为的中点，
∴，∴
∵为等边三角形
∴
∴
∴
∴
∴
∴
在中
∴
∴
∴
（3）过O作NEBC于E
∵，点为线段的中点，
∴
在Rt中，，
∴
∴MN=3，
∵，
∴
∴，
∴
∴
∴
∵△MNC的面积=点到直线的距离
∴点到直线的距离
∴点到直线的距离=
【点睛】本题综合考察相似三角形与旋转，难度比较大，熟练找到相似是解题的关键.
8．(1)见解析
(2)①当时，或；②
【分析】（1）延长交于，根据四边形是正方形，可推出，得到，再由，得到，推出，得证；
（2）①在旋转过程中，是直角时有两种情况，当由增大到过程中，由，，得到，再由，推出，即可；当由增大到过程中，，同理可求，即可求得答案；②在图1连接，根据正方形性质求出和，由题意可知当，、、在一条直线上，此时的长最大，由即可得到答案．
【详解】（1）如图，延长交于，
点是正方形两对角线的交点，
，，
四边形是正方形
在和中，
，
，
，
，
，
，
即；
（2）①在旋转过程中，成为直角有两种情况：
如图2，由增大到过程中，
当时，
，
在中，
，
，，
，
，即；
由增大到过程中，当时，如图
同理可求，
，
综上所述，当时，或；
②如图，连接，
四边形是正方形，
，，
正方形的边长为2，
，
，
则，
当时，
、、在一条直线上，此时的长最大，
最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转变换的性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的性质，勾股定理，二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
9．(1)，
(2)，，理由见解析
(3)4
【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得到，求得，得到，求得，于是得到结论；
（2）根据旋转的性质得到，求得，得到，，延长交于H，于是得到结论；
（3）过D作于G，根据相似三角形的判定和性质定理以及勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）如图①，，，理由如下：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2），，
理由：把绕点顺时针旋转到图②的位置，
，
，．
，
，
，，
，
延长交于，
，
，
，
，
，
；
（3）如图③，
过作于，
由（2）知，，
，，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了几何变换综合题，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．
10．（1）①；②；（2），．理由见解析；（3）的长为1或2．
【分析】（1）由“SAS”△ADF≌△EDB，可得AF=BE，再利用“8字型”字母∠OBE=∠ADO=90°即可解决问题；
（2）结论：AF=BF，∠ABE=a．由“SAS”△ADF≌△EDB，即可解决问题；
（3）分当点D在线段BC上和当点D在BC的延长线上两种情形讨论，利用平行线分线段成比例可求解．
【详解】解：
（1）如图1中，设AB交DE于O．
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ABC=45°，
∵DF∥AC，
∴∠FDB=∠C=90°，
∴∠DFB=∠DBF=45°，
∴DF=DB，
∵∠ADE=∠FDB=90°，
∴∠ADF=∠EDB，且DA=DE，DF=DB
∴△ADF≌△EDB（SAS），
∴AF=BE，∠DAF=∠E，
∵∠AOD=∠EOB，
∴∠ABE=∠ADO=90°
故答案为AF=BE，90°．
（2），.
理由：∵，
∴，.
∵，
∴.∴.
∴
∵，，，
∴.
又∵，
∴.
∴，.
∴，，
∴.
（3）1或2.
解：当点在线段上时，过点作交直线于点，如图（1）.
∵，∴.
∵，∴.
∵，∴，.
∵，，
∴.
∵，∴.∴.∴.
又，∴，.
当点在线段的延长线上时，过点作交的延长线于点，如图（2）.
∵，
∴.
∴.
∴.
同理可得.
综上可得，的长为1或2.
【点睛】本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
11．（1）AE＝AB+AD；（2）AE＝AB+AD，见解析；（3）线段AE的长度为﹣1或2﹣
【分析】（1）当α＝60°时，可得△ABC是等边三角形，判定△BAD≌△BCE，即可得到AD＝CE，进而得到AE＝AC+CE＝AB+AD；
（2）当α＝45°时，可得△ABC是等腰直角三角形，判定△BAD∽△BCE，可得CE＝AD，进而得出AE＝AC+CE＝AB+AD；
（3）分两种情况：点E在线段AC上，点E在CA的延长线上，分别画出图形，依据∠ABE＝15°，AD＝﹣1，即可得到线段AE的长度．
【详解】（1）∵当α＝60°时，∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE，
又∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝CB，∠ACB＝60°，
∴∠BCE＝120°，
∵MN∥BC，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝120°，
∴∠BAD＝∠BCE，
∴△BAD≌△BCE，
∴AD＝CE，
∴AE＝AC+CE＝AB+AD；
（2）AE＝AB+AD．
理由：当α＝45°时，∠ABC＝∠DBE＝45°，
∴∠ABD＝∠CBE，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BC＝AB，
∵MN∥BC，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，
∵∠BCE＝180°﹣∠ACB＝135°，
∴∠BAD＝∠BCE，
∴△BAD∽△BCE，
∴＝＝，
∴CE＝AD，
∴AE＝AC+CE＝AB+AD；
（3）线段AE的长度为﹣1或2﹣．
由题可得，∠ABC＝∠DBE＝∠BAD＝30°，
分两种情况：
①如图所示，当点E在线段AC上时，
∵∠ABE＝15°＝∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABD＝∠ABE＝15°，
在BE上截取BF＝BD，易得△ABD≌△ABF，
∴AD＝AF＝﹣1，∠ABC＝∠BAD＝∠BAF＝30°，
∴∠AFE＝∠ABF+∠BAF＝15°+30°＝45°，
又∵∠AEF＝∠CBE+∠C＝15°+30°＝45°，
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AE＝AF＝﹣1；
②如图所示，当点E在CA的延长线上时，
过D作DF⊥AB于F，过E作EG⊥BC于G，
∵AD＝﹣1，∠DAF＝30°，
∴DF＝，AF＝，
∵∠DBF＝15°+30°＝45°，
∴∠DBF＝∠BDF，
∴BF＝DF＝，AB＝+＝1＝AC，
易得△ABC中，BC＝，
∵∠EBG＝15°+30°＝45°，
∴∠BEG＝∠EBG，
设BG＝EG＝x，则CG＝﹣x，
∵Rt△CEG中，tanC＝，即＝，
∴x＝＝EG，
∴CE＝2EG＝3﹣，
∴AE＝CE﹣AC＝3﹣﹣1＝2﹣
综上所述所，线段AE的长度为﹣1或2﹣．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及等边三角形和等腰直角三角形的性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形和全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等求解．
12．（1）；（2）；（3）当点M在x轴上时，点的“绝对坐标”为；当点M在y轴上时，点的“绝对坐标”为；当点M在各象限的角平分线上时，点的“绝对坐标”为
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质分别求出M1、M2、M3、M4的坐标，然后求M5的坐标．
（2）要求周长，就先根据各点的坐标求出三角形的三边长，然后再求周长．
（3）点Mn的“绝对坐标”可分三类情况来一一当点M在x轴上时；当点M在各象限的分角线上时；当点M在y轴上时．
【详解】（1）由题得：OM0=M0M1，
∴M1的坐标为（1，1）．
同理M2的坐标为（0，2），
M3的坐标为（-2，2），
M4的坐标为（-4，0），
M5（-4，-4）；
（2）由规律可知，OM5＝，
M5M6=，OM6=8，
∴△ M5OM6的周长为8+；
（3）由题意知，OM0旋转8次之后回到x轴的正半轴，
在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或x轴或y轴上，
但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，
因此，各点的“绝对坐标”可分三种情况：
①当n=4k时（其中k=0，1，2，3，），点在x轴上，则Mn；
②当n=4k-2时（其中k=1，2，3，），点在y轴上，点Mn；
③当n=2k-1时，点在各象限的角平分线上，则点Mn
【点睛】本题综合考查了旋转的性质及坐标系的知识．