广东省汕头市潮南区2026年初中学业水平模拟考试数学试卷附答案

这是一份广东省汕头市潮南区2026年初中学业水平模拟考试数学试卷附答案，共25页。试卷主要包含了解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．下列实数中，最小的数是（ ）
A．B．0C．D．
2．已知直线经过点，则的值等于（ ）
A．5B．C．7D．
3．我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）．
A．B．
C．D．
4．把分解因式，结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．下列等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
6．从“我命由我不由天”这句话中随机选取一个汉字，选取“我”字的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，，点在直线上．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值3B．有最小值3C．有最大值6D．有最小值6
9．我们知道，引进了无理数后，有理数集就扩展到实数集．同样，如果引进“虚数”，则实数集就扩展到“复数集”．现在我们定义：虚数单位“”，其运算规则是：，，，，，，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A、B两点，P是以点为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，M为AP的中点．则线段OM长度最大值为（ ）
A．2B．1C．D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）将正确答案写在答题卡相应的位置上．
11． 在足球比赛中，如果甲队进3个球，记作+3个，那么甲队失2个球，记作 个.
12．已知a，b在数轴上位置如图，化简 ．
13．使函数有意义的自变量的取值范围叫做函数的定义域，则函数的定义域为 ．
14．已知圆锥的底面半径是1，高是 ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是 度.
15．如图，在中，，，，点D、E分别是，上的动点，且，连接，，则的最小值是 ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．计算：．
17．如图，在中，点是边的中点，以为直径的经过点，点是边上一点（不与点重合）．请仅用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法．
（1）过点作一条直线，将分成面积相等的两部分；
（2）在边上找一点，使得．
18．某数学兴趣小组想要利用所学的知识测量某栋大楼的高度，记录如下：
请选择其中一个方案及其测量数据求出大楼的高度．（结果精确到）
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图（图1）和不完整的扇形图（图2）
（1）求抽查学生总数．
（2）求所抽查学生读课外书册数的平均数．（结果保留整数）
（3）老师手里有1本课外读物，七、八年级两位同学都想借阅，为此九年级的一位同学设计了一个转盘游戏，指针固定不动，分别旋转两个转盘，若先后两次转动出现字母A与B的的混合结果，就借给七年级的同学，否则就借给八年级的同学．你认为这个游戏公平吗？为什么？
20． 为了让学生加强体育锻炼，增强体质，2022版新课标中，体育与健康的课时占比将提高到10%~11%．某学校积极行动，给各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买3根跳绳和5个毽子共需41元；购买6根跳绳和4个毽子共需58元．
（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元；
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不超过300元，若要求购买跳绳的数量多于25根，①求共有几种购买方案；②比较哪一种购买方案更省钱．
21．综合与实践
【主题】运动场设计
【素材】某中学为迎接运动会，计划翻新校园田径场，原场地为半圆式跑道（如图），直道长度米，弯道为半圆形，最内侧跑道（第1道）弯道半径米，共8条跑道，每条跑道宽1.22米．（其中跑道半径按内径计算，）
【实践探究】
（1）计算验证第1道跑道是否符合标准跑道要求（第一圈跑道不能小于）．（结果保留2位小数）
（2）体育组发现：当所有跑道起点、终点均为同一条直线时（如图），第6道运动员跑完2圈时，电子计步器显示实际跑动距离为．请结合跑道结构图解释此现象．
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0，c＞0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且以AB为直径的圆经过点C．
（1）若点A（﹣2，0），点B（8，0），求ac的值；
（2）若点A（x1，0），B（x2，0），试探索ac是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
（3）若点D是圆与抛物线的交点（D与A、B、C不重合），在（1）的条件下，坐标轴上是否存在一点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，等边的边长为6，为边上一点，于点．
【初步感知】（1）如图1，若，求的长．
【深入探究】（2）如图2，线段的垂直平分线交于点，点为的中点，连接，求证：．
【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，若，求与之间的关系．
答案
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵负数小于0和正数，
∴4个数中最小的数为，
故选：C．
【分析】
实数比较大小，根据正数大于0，0大于负数即可得到答案．
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵直线经过点，
∴，解得：；
故选：D．
【分析】
利用待定系数法把点的坐标代入函数解析式求解即可．
3．【答案】D
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C. 不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D. 是中心对称图形，故此选项符合题意；
故答案为：D
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：，
故选：A．
【分析】
直接提公因式即可．
5．【答案】B
【解析】【解答】解：A、2m和3n不是同类项，无法合并，A选项不符合题意；
B、（m3）2=m6，B选项符合题意；
C、m2·m3=m5，C选项不符合题意；
D、（m-n）2=m2-2mn+n2，D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】2m和3n不是同类项，无法计算，故A选项不成立；由幂的乘方运算法则，底数不变，指数相乘得m2·m3=m5，故B选项成立；由同底数幂的乘法运算法则，底数不变，指数相加得m2·m3=m5，故C选项不成立；由完全平方公式运算法则得（m-n）2=m2-2mn+n2，故D选项不成立. 据此即可得出正确答案.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵在“我命由我不由天”这7个字中，“我”字有2个，
∴从这句话中随机选取一个汉字，选取“我”的概率是，
故选：B．
【分析】
简单事件概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率．
7．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
，
，，
，
，
，
故选：B．
【分析】
由两直线平行内错相等可把转化到的位置上，再由两锐角互余即可．
8．【答案】D
【解析】【解答】解：，
，
二次函数有最小值为6，
故选：D．
【分析】
由二次函数的图象和性质与系数的关系知，当二次项系数为正时，抛物线开口向上，有最小值，再化一般形式为顶点式即可．
9．【答案】A
【解析】【解答】解：∵，，，，，，，
，
∴根据运算法则可知个运算一循环，
∴，
∴，
故选：．
【分析】
根据运算法则可知个运算一循环，则可用2025除以4求余数即可．
10．【答案】D
【解析】【解答】连接BP，OM
M为AP的中点，O为AB的中点，
为的中位线，
．
当点P为BC延长线与⊙C交点时BP最大，即OM 最大，
直线与双曲线交于A、B两点，
，
解得，
．
，
，
圆的半径为1，
，
，
故选：D．
【分析】
连接BP，OM，由于正比例函数的图象与反比例函数的图象都是中心对称图形，则O是AB中点，则OM是的中位线，当CB取最大值时，OM最大，显然当PB经过圆心C时最大，此时先联立直线与双曲线求得A、B两点的坐标，再利用两点距离公式求出BC的长，则PB的最大值等于BC与1的和即可．
11．【答案】-3
【解析】【解答】解：∵甲队进3个球，记作+3个，
∴甲队失2个球，记作-3个.
故答案为：-3.
【分析】根据相反意义的量的定义“在现实生活中存在着各种各样的量，其中有一种量，他们的属性相同，但表示的意义却相反，我们把这样的量叫作相反意义的量”并结合题意即可求解.
12．【答案】b
【解析】【解答】解：从数轴上可以得出：，
∴，
∴．
故答案为：b．
【分析】
观察数据知，再根据化简并去括号合并同类项即可 ．
13．【答案】且
【解析】【解答】解：由二次根式的性质和分式的性质得，
解得，
故答案为：且．
【分析】
二次根式的被开方数为非负数、分式的分母不能为零．
14．【答案】90
【解析】【解答】解：设圆锥的母线为a，根据勾股定理得，a＝4，
设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°，
根据题意得2π•1＝ ，解得n＝90，
即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°。
故答案为：90。
【分析】设圆锥的母线为a，根据圆锥的母线、底面圆的半径、高线围成一个直角三角形，故用勾股定理即可算出a的值，设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°，根据圆锥的侧面弧长等于底面圆的周长即可建立方程，求解即可。
15．【答案】
【解析】【解答】解：在直线下方，作，且，连接，，设与的交点为G，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当三点共线时，取得最小值即取得最小值，
故当点E与点G重合时，取得最小值，
过点A作于点M，交的延长线于点M，
根据题意，得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
如图所示，在直线下方，作，且，连接，则利用SAS可证明，所以EF=CD，则CD+AE转化EF+AE，显然当A、E、F三点共线时和最小，此时可过点A作BF的垂线段AM，由平角的概念和三角形内角和定理可得，再分别解和即可．
16．【答案】解：原式
【解析】【分析】实数的混合运算，先计算负整数指数幂，零指数幂，绝对值，再加减即可．
17．【答案】（1）解：∵点是边的中点，∴，
∴根据三角形中线平分三角形面积，作图如下，
∴
（2）解：∵以为直径的经过点，
∴，即，
又∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，平分，即，
如图所示，连接交于点，连接并延长交于点，
∴，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】
（1）由于三角形中线平分三角形面积，故画直线AD即可；
（2）先由圆周角定理可得，又，则是线段的垂直平分线，则AB=AC，再连接交于点，连接并延长交于点，则EB=EC，由等边对等角可得，因为是公共角，则可证，则．
（1）解：∵点是边的中点，
∴，
∴根据三角形中线平分三角形面积，作图如下，
∴
（2）解：∵以为直径的经过点，
∴，即，
又∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，平分，即，
如图所示，连接交于点，连接并延长交于点，
∴，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．【答案】解：选择方案一：
设大楼的高度，
，，
为直角三角形，且，
，
在中，，
，，
．
大楼的高度约为.
【解析】【分析】
设大楼的高度，分别解和可用含x的代数式表示出BC和BD，再利用CD的值建立方程并解方程即可.
19．【答案】（1）解：抽查学生总数为：（人）；
（2）解：读5册的学生人数为：（人），
∴所抽查学生读课外书册数的平均数为（册）；
（3）解：这个游戏不公平，理由如下：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中出现字母A与B的混合结果有种，
∴借给七年级的同学的概率，借给八年级的同学的概率，
∵，
∴这个游戏不公平．
【解析】【分析】
（1）观察条形统计图与扇形统计图可由读6册的学生 除以所占百分比即可；
（2）先求出读册的学生人数，再由平均数的计算公式计算即可；
（3）可利用画出树状图的方法分别求出两种事件的概率，然后再比较即可．
20．【答案】（1）解：设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，则根据题意有，
，
①×2-②有6y=24，解得y=4.
将y=4代入①式，解得x=7.
故购买一根跳绳需要7元，购买一个毽子需要4元.
（2）解：设购买m根跳绳，n个毽子，则根据题意有，
，
结合①、②式有3m≤84，即m≤28.
再结合③式，有25＜m≤28，即m=26，或27，或28.
因此，共有3种购买方案：
方案①购买26根跳绳，以及28个毽子，总费用26×7+28x4=294元；
方案②购买27根跳绳，以及27个毽子，总费用27x7+27x4=297元；
方案③购买28根跳绳，以及26个毽子，总费用28x7+26x4=300元.
所以选择方案①，更省钱.
【解析】【分析】（1）根据等量关系“跳绳数量x跳绳单价+毽子数量x毽子单价=总费用”列出二元一次方程组并求解即可；
（2）根据题意解出关于m的不等式组，然后结合m是正整数的条件，推算出m可能的取值情况，以及设计出对应的购买方案，根据方案的费用选择最省钱的.
21．【答案】（1）解：第1道跑道周长：
，
所以第1道跑道不符合标准跑道要求．
（2）解：第6道弯道半径，
第6道每圈弯道周长：，
跑2圈需跑2圈弯道，总跑的距离为，
与题目中吻合．
【解析】【分析】
（1）观察图形知，第1道跑道周长为，代入求值即可解答；
（2）先求出第6道弯道半径，再根据第6道每圈周长为，求解即可．
（1）解：第1道跑道周长：
，
所以第1道跑道不符合标准跑道要求．
（2）解：第6道弯道半径，
第6道每圈弯道周长：，
跑2圈需跑2圈弯道，总跑的距离为，
与题目中吻合．
22．【答案】（1）解：取AB中点E，连接CE，如图所示：
∵ 点A（﹣2，0），点B（8，0） ，
∴AB=10，
∴EA=EB=AB=5，E为圆心，
∴EC=5，EO=EA-AO=3，
∴在Rt△COE中，OC2=CE2-OE2=16，
∴OC=4，C（0，4），
根据题意可设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-8），
将C（0，4）代入得：4=a×2×（-8），
∴a=，
∴，
∴ac==﹣1；
（2）解：ac的值是定值，定值为﹣1；
理由：如（1）图，取AB中点E，连接CE，
由题意得 点A（x1，0），B（x2，0）， C（0，c），E（，0），
∵AB=，
∴EA=EB=AB=，
∵E为AB得中点，
∴E为圆心，
∴EC=EA=，
又∵OE=，
∴在Rt△COE中，OC2=CE2-OE2，
∴OC2=（x2-x1）2-（x2+x1）2=-x2x1， ∵x1x2=，
∴c2=-，ac2=-c，
∵c≠0，
∴ac=﹣1；
（3）解：∵点D是圆与抛物线的交点（D与A、B、C不重合），C（0，4），∴D（6，4），即：CD∥AB，
当点P在x轴上时，如图1，设点P的坐标为（m，0），
∵C（0，4），D（6，4），B（8，0），
∴BC=，CD=6，BP=8﹣m，
∵CD∥AB，
∴∠BCD=∠ABC，
∵以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似，
∴①，
∴，
∴m=2，
∴P2（2，0），
或②，
∴，
∴m=﹣，
∴P1（﹣，0），
当点P在y轴上时，如图2，
∵CD∥AB，
∴，
∵，
∴
∴∠ABD=∠BCO，
∵CD∥AB，
∴∠BDC+∠ABC=180°，
∵∠BCO+∠BCy=180°，
∴∠BDC=∠BCy，
设P（0，n），
∵C（0，4），D（6，4），B（8，0），
∴BC=，CD=6，BD=，CP=n﹣4，
∵以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似，
∴①，
∴，
∴n=，
∴P3（0，）
或②，
∴，
∴n=16，
∴P4（0，）
综上所述：满足条件的点P的坐标为（2，0）或（﹣，0）或（0，）或（0，16）．
【解析】【分析】（1）先求出OC的长，即可得出点C的坐标，再用待定系数法，即可得出结论；
（2）根据题意分别求出EA=EB=EC=，OE=，利用勾股定理得出OC2=-x2x1，再根据一元二次方程根与系数的关系求出ac=-1是一个定值；
（3）根据题意，分为点P在x轴上或点P在y轴上两种情况，结合相似三角形的判定与性质可求P点的坐标.
（1）设圆心为点M，
∵A（﹣2，0），B（8，0），
∴M（3，0），⊙M的半径为5，
∴OC=，
∴C（0，4），
设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣8），
∵点C在抛物线上，
∴a×2×（﹣8）=4，
∴a=﹣，
∴y=﹣﹣（x+2）（x﹣8）=﹣﹣x2+x+4，
∴a=﹣，b=4，
∴ac=﹣1；
（2）ac的值是定值，为﹣1，
理由：∵点A（x1，0），B（x2，0），
∴OA=x1，OB=x2，OC=c，
∵∠OAC+∠OCA=90°，∠OCB+∠OCA=90°，
∴∠OAC=∠OCB，
∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴△OAC∽△OCB，
∴，
∴OC2=OA•OB，
∴c2=﹣x1•x2，
令y=0时，0=ax2+bx+c，
∴x1•x2=，
∴c2=，
∴ac=﹣1；
（3）∵点D是圆与抛物线的交点（D与A、B、C不重合），C（0，4），
∴D（6，4），即：CD∥AB，
当点P在x轴上时，如图1，设点P的坐标为（m，0），
∵C（0，4），D（6，4），B（8，0），
∴BC=，CD=6，BP=8﹣m，
∵CD∥AB，
∴∠BCD=∠ABC，
∵以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似，
∴①，
∴，
∴m=2，
∴P2（2，0），
或②，
∴，
∴m=﹣，
∴P1（﹣，0），
当点P在y轴上时，如图2，
∵CD∥AB，
∴，
∵，
∴
∴∠ABD=∠BCO，
∵CD∥AB，
∴∠BDC+∠ABC=180°，
∵∠BCO+∠BCy=180°，
∴∠BDC=∠BCy，
设P（0，n），
∵C（0，4），D（6，4），B（8，0），
∴BC=，CD=6，BD=，CP=n﹣4，
∵以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似，
∴①，
∴，
∴n=，
∴P3（0，）
或②，
∴，
∴n=16，
∴P4（0，）
即：满足条件的点P的坐标为（2，0）或（﹣，0）或（0，）或（0，16）．
23．【答案】解：（1）在等边中，，，，
，
，，
，
在中，；
（2）证明：如图，延长至，使，连接，
点为的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
点在线段的垂直平分线上，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
（3）解：为等边三角形且，
，
在中，，即，
如图，过点作于点，过点作于点，
为等边三角形，
，，
，
，
，，且点为的中点，
，
，，
，
在中，，
．
【解析】【分析】
（1）由于是等边三角形，可先由BD长求得CD长，再解计算出CE、DE的长，则AE可得，再利用勾股定理即可；
（2）如图，延长至，使，连接，由于G是AD中点，则可利用SAS证明，得到，，则AH//DE，即，再由等边三角形的性质可证，则可再证明，则为等边三角形，由等腰三角形三线合一即可证明；
（3）根据（2）解可得，过点作于点，过点作于点，证明，得到，，再在利用勾股定理即可．课题
测量大楼的高度
活动方案
方案一
方案二
测量方案示意图
实施方案
1、选取与大楼底部位于同一水平地面的处；
2、在处，测量大楼顶部的仰角；
3、沿着方向走至处，测量大楼顶部处的仰角；
4、测量、之间的距离．
1、选取大楼旁的建筑物；
2、在处，测量大楼顶部处的仰角；
3、在处，测量大楼底部处的俯角；
4、测量大楼与建筑物之间的距离．
测量数据
，，
，，
备注
1、图上所有点均在同一平面；
2、，，，
1、图上所有点均在同一平面；
2、，，，，，