广东省阳江市阳春市2026年中考一模数学试题附答案

这是一份广东省阳江市阳春市2026年中考一模数学试题附答案，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列各数为无理数的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列多边形中，内角和等于的是（ ）
A．B．
C．D．
3．苏步青来自“数学家之乡”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000公里的行星命名为“苏步青星”.数据218000000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．在平面直角坐标系中，点一定在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．无色酚酞溶液是一中常见常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色．现有5瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液、火碱溶液，将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是（ ）
A．B．C．D．
7．对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，，点在边上，与边相切于点，交边于点，，连接，则（ ）
A．B．C．D．
9．已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
10．某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．要使分式有意义，则的取值应满足 ．
12．与的公因式为 ．
13．若a、b互为相反数，c为8的立方根，则 ．
14．如图，边长为4的正方形ABCD内接于，则的长是 （结果保留）
15．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则k＝ ．
三、解答题（一）（每小题7分，共21分）
16．计算：；
17．如图，在中，是边的中点．
（1）用尺规作图法作线段的中点；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）所作的图中，连接，若的面积为12，求的面积．
18．对于任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：，．根据上面的材料，请完成下列问题：
（1）___________，___________；
（2）若，求x的值．
四、解答题（二）（每小题9分，共27分）
19．在阳光中学运动会跳高比赛中，每位选手要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：
信息一：甲、丙两位选手的得分折线图如下图；
信息二：选手乙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是，，；
信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下表；
根据以上信息，回答下列问题：
（1）收集甲、丙两位选手的成绩的过程属于_____调查（填“全面”或“抽样”）；
（2）写出表中，的值：_____，_____；
（3）从甲、丙两位选手的得分折线图中可知，选手_____发挥的稳定性更好（填“甲”或“丙”）；
（4）该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由．
20．超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道内的两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且在同一直线上．点、点到的距离分别为，且，在处测得点的俯角为，在处测得点的俯角为，小型汽车从点行驶到点所用时间为．
（1）求两点之间的距离（结果精确到）；
（2）若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点行驶到点是否超速？并通过计算说明理由．（参考数据：）
21．为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买、两种电动车．若购买种电动车辆、种电动车辆，需投入资金万元；若购买种电动车辆、种电动车辆，需投入资金万元．已知这两种电动车的单价不变．
（1）求、两种电动车的单价分别是多少元？
（2）为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买、两种电动车辆，其中种电动车的数量不多于种电动车数量的一半．当购买种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？
（3）该公司将购买的、两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用元与骑行时间之间的对应关系如图．其中种电动车支付费用对应的函数为；种电动车支付费用是之内，起步价元，对应的函数为．请根据函数图象信息解决下列问题．
①小刘每天早上需要骑行种电动车或种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为3（每次骑行均按平均速度行驶，其它因素忽略不计），小刘家到公司的距离为，那么小刘选择______种电动车更省钱（填写或）．
②直接写出两种电动车支付费用相差元时，的值______．
五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分）
22．综合与实践
在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象．纸片和满足．下面是创新小组的探究过程．
【操作发现】
（1）如图，取的中点，将两张纸片放置在同一平面内，使点与点重合．当旋转纸片交边于点、交边于点时，求证：．
【实践探索】
（2）如图，在（1）的条件下连接，发现的周长是一个定值．请求出这个定值，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图，当点在边上运动（不包括端点、），且始终保持．请求出纸片的斜边与纸片的直角边所夹锐角的正切值（结果保留根号）．
23．【问题背景】
如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线l由直线平移得到，与轴交于点．四边形的四个顶点的坐标分别为，，，．
【初步感知】
（1）填空：_____，_____；
【拓展探索】
（2）若点在第二象限，直线与经过点的双曲线有且只有一个交点，求的最大值；
【深入再探】
（3）当直线与四边形、抛物线都有交点时，存在直线，对于同一条直线l上的交点，直线l与四边形的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标．当时，求的取值范围．
答案
1．【答案】C
【解析】【解答】解：A、是有限小数，属于有理数，故A错误；
B、是有限小数，属于有理数，故B错误；
C、开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数，故C正确；
D、是分数，属于有理数，故D错误；
故答案为：C．
【分析】根据无理数的概念即可求解.无理数是无限不循环小数，包括开方不尽的根式，π，以及像.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：A．三角形内角和是，故选项不符合题意；
B．四边形内角和为，故选项符合题意；
C．五边形内角和为，故选项不符合题意；
D．六边形内角和为，故选项不符合题意．
故答案为：B
【分析】根据n边形内角和公式，逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】B
【解析】【解答】解： 218000000用科学记数法表示为：2.18×108.
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：根据一个数的偶次方是非负数可知，，
∴
∵，
∴根据不同象限点的特征可知，点一定在第四象限．
故答案为：D．
【分析】根据平方数是非负数的性质判断出点的横坐标是正数，再根据各象限内点的坐标特征解答即可.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色，
∵总共有5种溶液，其中碱性溶液有2种，
∴将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是： ．
故答案为：B.
【分析】由题意可得总共有5种溶液，其中碱性溶液有2种，然后根据概率公式进行计算.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，延长交于点，过点作的平行线，
，
∵，，
∴，，
，
，，
∴，
，
故答案为：C．
【分析】延长交于点，延长交于点，过点作的平行线，根据平行线的性质即可解答．
7．【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴a≥0，b≥0，
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可。
8．【答案】A
【解析】【解答】解：连接，如图：
∵与边相切于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴∠ODF=∠AFD，
∴
故答案为：A．
【分析】连接OD，根据切线的性质得到，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，即可得解.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得，
①-②得2x-2y=2m+6，
∴m+3=4，
∴m=1，
故答案为：B
【分析】运用加减消元法结合题意即可求解。
10．【答案】A
【解析】【解答】解：设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，由题意得，
故答案为：A
【分析】设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据“当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件”进而即可列出等式，即可求解。
11．【答案】
【解析】【解答】解：根据题意可得：x-2≠0，
解得：x≠2，
故答案为：．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为零列出不等式。解不等式得到答案即可.
12．【答案】2a
【解析】【解答】 与的公因式为 2a，
故答案为：2a.
【分析】利用公因式的定义求解即可。
13．【答案】-2
【解析】【解答】解：∵a、b互为相反数，c为8的立方根，
∴a+b=0，c=2，
∴，
故答案为：-2
【分析】根据相反数和立方根即可得到a+b=0，c=2，进而代入即可求解。
14．【答案】
【解析】【解答】解：连接OA、OB．
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴AB＝BC＝DC＝AD＝4，AO＝BO，
∴，
∴∠AOB＝×360°＝90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AO2＋BO2＝2AO2＝42＝16，
解得：AO＝2，
∴的长＝，
故答案为：．
【分析】连接OA、OB，根据正方形的性质得到∠AOB＝90°，利用勾股定理求出AO，再根据弧长公式解答即可．
15．【答案】32
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，
∵，
∴设AD=4x，则OA=5x，
∴OD==3x，
∵点A落在反比例函数上，
∴4x·3x=12，
解得：x=1（负值舍去），
∴4x=4，3x=3，
∴A（3，4），
∴OA=5x=5，
∵四边形AOCB为菱形，
∴AB=OA，
∴B（8，4），
∵点B落在反比例函数上，
∴，
故答案为：32．
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，由，设AD=4x，则OA=5x，OD=3x，根据点A落在反比例函数上得出x的值，代入求得OA的长，再根据菱形的性质可得出B点的坐标，进而得出结论.
16．【答案】解：
=8×-（-3+5）×
=2-2×
=2-1
=1
【解析】【分析】根据绝对值的意义、有理数的乘方法则、负整数指数幂计算即可.
17．【答案】（1）解：作线段AC的垂直平分线交AC于E，如图所示，
则点E即为所求；
（2）解：由（1）可知，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=BC，
即
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵，
∴=12×=3，
答：的面积是3.
【解析】【分析】（1）利用尺规作图，作线段AC的垂直平分线交AC于E，则点E即为所求；
（2）根据三角形中位线定理可得，易得，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得，即可得出答案．
（1）解：如图所示，作线段的垂直平分线交于E，则点E即为所求；
（2）解：D、E分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为12，
∴的面积为3．
18．【答案】（1）1；2；
（2）若时，即时，则
，
解得：，
若时，即时，则
，
解得：，不合题意，舍去，
，
【解析】【解答】（1），
，
；
故答案为：1；2；
【分析】（1）利用新定义计算法则解答即可；
（2）根据新定义的运算法则进行分类讨论，列方程，求出x值解题．
19．【答案】（1）全面
（2），
（3）甲
（4）解：推荐选手甲参加市级比赛，
理由：结合表格可知，甲的平均数和中位数都比丙大，结合得分折线图可知，甲的稳定性比丙好，所以应该推荐选手甲去参加市级比赛.
【解析】【解答】解：（1）因为要收集甲、丙两位选手的所有成绩，所以收集甲、丙两位选手的成绩的过程属于全面调查，
故答案为：全面；
（2）根据得分折线图可知，甲的成绩分别为：9.2、8.8、9.3、8.7、9.5，
乙的成绩分别为：8.3、9.1、9.3、8.4、9.4，
∴甲成绩的平均数，
将丙的成绩按从小到大的顺序排列为：，，，，，
丙的成绩的中位数，
故答案为：，；
（3）根据甲、丙两位选手的得分折线图可知，甲的波动更小，故选手甲发挥的稳定性更好，
故答案为：甲；
【分析】（1）根据全面调查的概念即可得出答案；
（2）利用中位数和平均数概念即可得出答案；
（3）根据得分统计图，从甲、丙得分的波动大小即可得出答案；
（4）从平均成绩，中位数等角度出发进行描述即可．
（1）解：收集甲、丙两位选手的成绩的过程属于全面调查，
故答案为：全面；
（2）甲的成绩的平均数，
由折线图可知，丙的成绩从小到大排列为：，，，，，
丙的成绩的中位数，
故答案为：，；
（3）从甲、丙两位选手得分的折线图中可知，选手甲发挥的稳定性更好，
故答案为：甲；
（4）推荐甲参加市级比赛，
理由：甲的中位数和平均数都比丙的大，且甲的成绩稳定性比丙好，甲的中位数比乙的大应该推荐甲选手．
20．【答案】（1）解：∵点、点到的距离分别为，
∴，，而，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
由题意可得：，，，
∴，，
∴
​​​​​​​
（2）解：∵小型汽车从点行驶到点所用时间为．
∴汽车速度为，
∵该隧道限速80千米/小时，
∴，
∵，
∴小型汽车从点行驶到点没有超速．
【解析】【分析】（1）证明四边形为矩形，即可得到，利用正切的定义求出AD和BF长，根据线段的和差解答即可；
（2）计算小型汽车的速度，然后比较大小解答．
21．【答案】（1）解：设A、B两种电动车的单价分别是x元、y元，
根据题意可列方程组得：，
解这个方程组得：，
答：A、B两种电动车的单价分别为元、元.
（2）解：设购买A种电动车m辆时，所需费用最少，则B种电动车为（200-m）辆，
根据题意可得m≤（200-m），
解这个不等式得：，
解得：，
设所需的总费用为w元，
根据题意可得：w=1000m+3500（200-m）=-2500m+700000，
∵k=-2500＜0，
∴w随着x的增大而减小，
∴m取得最大值时，w取得最小值，
根据题意可知m的值为正整数，
∴m=66，则w=-2500m+700000=-2500×66+700000=535000，
答：当购买种电动车辆时所需的总费用最少，最少费用为元
（3）①②或​​​​​​​
【解析】【解答】解：（3）①根据函数图象可知当x＜20时，y1＜y2，当x＞20时，y1＞y2，
根据题意可知，两种电动车所用时间x相同，x=8000÷300=min＞20，
∴ 小刘选择B种电动车更省钱；
②根据函数图象可知y1与y2相交于（20，8），
设y1=k1x，将（20，8）代入得：8=20k，解得：k1=，
∴y1=x，
当0＜x＜10时，y2=6，则有y2-y1=4，
即6-x=4，
解得：x=5，；
当x≥10时，根据函数图象可知点（10，6）在函数y2上，
设y2=k2x+b，
∴将（10，6）、（20，8）代入y2=k2x+b得：，
解得：，
∴y2=，
则有=4，
即=4，
解得：x=40或x=0（不符合题意舍去）
综上所述， 两种电动车支付费用相差元时，的值为5或者40，
故答案为：或.
【分析】（1）根据题意设、两种电动车的单价分别为元、元，列出二元一次方程组求解即可得出答案；
（2）设购买A种电动车m辆时，所需费用最少，则B种电动车为（200-m）辆，根据题意列出不等式，求得出的取值范围，设所需的总费用为w元，再根据题意得出用x表示w的函数关系式，根据一次函数的性质即可得出结论；
（3）①直接根据函数图象求解即可；
②根据函数图象，分别求得的函数解析式，分0＜x＜10，x≥10两段进行讨论即可.
（1）解：设、两种电动车的单价分别为元、元
由题意得，
解得
答：、两种电动车的单价分别为元、元
（2）设购买种电动车辆，则购买种电动车辆，
由题意得
解得：
设所需购买总费用为元，则
，随着的增大而减小，
取正整数
时，最少
元
答：当购买种电动车辆时所需的总费用最少，最少费用为元
（3）解：①∵两种电动车的平均行驶速度均为3，小刘家到公司的距离为，
∴所用时间为分钟，
根据函数图象可得当时，更省钱，
∴小刘选择种电动车更省钱，
故答案为：．
②设，将代入得，
解得：
∴；
当时，，
当时，设，将，代入得，
解得：
∴
依题意，当时，
即
解得：
当时，
即
解得：（舍去）或
故答案为：或．
22．【答案】解：（1）证明：∵∠C=∠D=90°，AC=BC=DE=DF=2，
∴∠A=∠B=∠E=∠DFE=45°，
∴∠AFH+∠AHF=180°-∠A=135°，
∵∠AFH+∠DFE+∠BFG=180°，
∴∠AFH+∠BFG=180°-∠DFE=135°，
∴∠AHF=∠BFG，
∴△AFH∽△BGF；
（2）△CGH的周长是定值，且为2，
理由：由（1）可知，△AFH∽△BGF，
∴，∠AFH=∠FGB，∠AHF=∠BFG，
∵∠C=90°，AC=BC=2，
∴根据勾股定理可得，AB==，
∵O是AB的中点，且点O与点F重合，
∴AF=BF=AB=，
设AH=x，BG=y，则CH=AC-AH=2-x，CG=BC-BG=2-y，
∴，
∴xy=2，
∴在Rt△CGH中，GH==，
据题意可知：x+y-2＞2，
∴GH=x+y-2，
∴C△CGH=CG+GH+CH=2-y+x+y-2+2-x=2；
（3）①如图所示：过点F作FN⊥AC于点N，作FH的垂直平分线交FN于点M，连接MH，
∵∠AFE=60°，∠A=45°，
∴∠AHF=75°，
∴MH=MF，
∴∠MFH=∠MHF，
∵FN⊥AC，
∴∠FNH=90°，
∴∠NFH=180°-∠FNH-∠AHF=15°，
∴∠NMH=∠MFH+∠MHF=2∠MFH=30°，
在Rt△MHN中，设NH=k，则，MN=k，MF=MH=2k，
∴NF=MF+MN=2k+k=（2+）k，
∴在Rt△FHN中，tan∠NHF===2+；
②如图所示：过点FN⊥BC于点N，作FG的垂直平分线交BG于点M，连接FM，
∴FM=GM，
∴∠GFM=∠FGM，
∵∠AFE=60°，∠B=45°，
又∵∠AFE=∠B+∠BGF，
∴∠BGF=∠AFE-∠B=15°，
∴∠GFM=∠FGM=15°，
∴∠FMN=∠GFM+∠FGM=30°，
在Rt△MFN中，设NF=k，则MN=k，MF=MG=2k，
∴GN=MG+MN=2k+k=（2+）k，
∴在Rt△FGN中，tan∠NGF===2-；
综上所述，△DEF纸片的斜边EF与△ABC纸片的直角边所夹锐角的正切值为2+或2-.
【解析】【分析】（1）由已知条件易得∠A=∠B=∠E=∠DFE=45°，再由三角形内角和定理和平角定义可得∠AHF=∠BFG，即可证明△AFH∽△BGF；
（2）由（1）可知，△AFH∽△BGF可得，根据勾股定理可得AB=，进而可得AF=BF=，设AH=x，BG=y，则CH=2-x，CG=2-y，即可得到，即xy=2，由勾股定理可知GH=，又因为x+y-2＞2，可得GH=x+y-2，由此即可求得△CGH的周长；
（3）分两种情况进行讨论：①过点F作FN⊥AC于点N，作FH的垂直平分线交FN于点M，连接MH，在Rt△MHN中，设NH=k，则MN=k，MF=MG=2k，NF=（2+）k，即可得出答案；②过点FN⊥BC于点N，作FG的垂直平分线交BG于点M，连接FM，
在Rt△MFN中，设NF=k，则MN=k，MF=MG=2k，GN=（2+）k，即可得出答案.
23．【答案】解：（1），；
（2）由（1）可知，y=，
当x=0时，y=-2，
∴C（0，-2），
设直线BC的解析式为y=kx+d（k≠0），
将点B（4，0）和C（0，-2）代入y=kx+d（k≠0），
∴，
解得：
∴直线BC的解析式为y=x-2，
∵直线BC平移得到直线l，且直线l与y轴交于点E（0，n），
∴设直线l的解析式为：y=x+n，
∵ 双曲线 经过点M，
∴m+3=，即k=（m+3）（m+1）=m2+4m+3，
∴，
∵ 直线与双曲线有且只有一个交点，
∴x-2=，
整理得：，
∴，
即，
∵ 点M在第二象限，
∴，
解得：-3＜m＜-1，
∵a=-2＜0，图像开口向下，
∴当m=-2时，n2可以取得最大值，最大值为2；
（3）当直线与抛物线有交点时，如图1：
联立直线与抛物线y=得：，
整理得：，
∴，
即，
∴，
当时，直线：与抛物线有且只有一个交点；
当m=-3时， 四边形MNPQ的四个顶点的坐标分别为M（-2，0），N（-2，-3），P（2，-3），Q（2，0），
①当直线经过时，此时与重合，如图2，
∴时，直线与四边形，抛物线y=都有交点，且满足直线与矩形的交点的纵坐标都不大于与抛物线y=的交点的纵坐标；
②当直线经过点时，如图3所示：
，解得，，
当直线经过点时，如图4所示：
，解得，，
∴，
综上所述，的取值范围为：或．
【解析】【解答】解：（1）把点，代 抛物线可得：
解得：
故答案为：，；
【分析】（1）把点，代入抛物线得，求解即可得出答案；
（2）根据待定系数法求出直线的解析式；即可得出直线的解析式为，再由双曲线 经过点 ，可得，再联立得x-2=，整理得：，根据题意可得，即，最后根据点M 的坐标位置，求出-3＜m＜-1，则当m=-2时，n2可以取得最大值，最大值为2；
（3）当直线与抛物线有交点时，联立直线与抛物线y=得，可求得；当时，直线与抛物线有且只有一个交点；当m=-3时， 四边形MNPQ的四个顶点的坐标分别为M（-2，0），N（-2，-3），P（2，-3），Q（2，0），①当直线经过时，此时与重合，抛物线y=都有交点，且满足直线与矩形的交点的纵坐标都不大于与抛物线y=的交点的纵坐标．②当直线经过点时，则，解得，，当直线经过点时则，，最终可得的取值范围为：或．选手统计量
甲
乙
丙
平均数
中位数