北京市通州区2025届高三下学期4月模拟考试数学试题（原卷版）

这是一份北京市通州区2025届高三下学期4月模拟考试数学试题（原卷版），共5页。
2025年4月
本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知全集为R，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数，则共轭复数
A. B. C. D.
3. 在的展开式中，x的系数为（ ）
A. B. C. 32D. 40
4. 已知等差数列满足：，且，则（ ）
A. 2026B. 2025C. 2024D. 2023
5. 已知点F为抛物线的焦点，过点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，则等于（ ）
A. 16B. 6C. D. 4
6. 若点关于直线的对称点在圆上，则k、b的一组取值为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
7. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 已知函数，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
9. 经过科学实验证明，甲烷分子的结构是正四面体结构（图1），碳原子位于正四面体的中心（到四个顶点距离相等），四个氢原子分别位于正四面体的四个顶点上，抽象成数学模型为正四面体，O为正四面体的中心，如图2所示，则角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知平面向量，，若满足，设与夹角为，则（ ）
A. 有最大值为B. 有最大值为
C. 有最小值为D. 有最小值为
第二部分（非选择题 共110分）
一、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 双曲线的渐近线方程为________.
12. 在中，已知，，.则_______.
13. 设某死亡生物经过t年后，其机体内碳14所剩的质量（为碳14的初始质量）.当该死亡生物经过11460年，其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为_______；当其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为，则t=_______.
14. 设，函数，若为单调函数，则a的一个取值为_______；若有三个零点，则实数a的取值范围是_______.
15. 已知点是曲线上任意一点，有以下四个结论：
①曲线C既是中心对称图形又是轴对称图形；②，；
③点P到坐标原点距离的最大值为；④曲线C所围成封闭区域的面积大于4.
其中正确结论序号是______.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 设函数
（1）若，求的值.
（2）已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求，的值.
条件①：区间上单调递减；
条件②：；
条件③：为函数图象的一条对称轴.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分，
17. 如图1，将边长为2的正六边形沿翻折，使平面与平面垂直，如图2.点M在线段上，平面.

（1）证明：M为线段中点；
（2）求二面角的余弦值.
18. 某艺术研究中心对春节档6部影片观众满意度进行调查，评分如下
（1）从这6部影片中随机选取1部，恰好选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率；
（2）现有4名观众，每位观众从这6部影片中各随机选取1部观看.
（ⅰ）若不同观众可选相同影片（假设每位观众的选择相互独立），记X为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，求X的分布列及数学期望.
（ⅱ）若任意2名观众不能选看相同影片，记Y为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分影片的人数，试比较这种情况下数学期望与（ⅰ）中的大小关系，（结论不要求证明）
19. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆E上.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若过A的直线l（斜率不为0）与椭圆E的另一个交点为B，线段中点为M，射线交椭圆E于点N，交直线于点Q.求证：.
20. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）曲线在点处的切线为l，记l与y轴交点的纵坐标为，求的最大值；
（3）若有两个根，，写出a的范围并证明.
21. 已知数列（N是大于3整数）为有穷数列，定义为“卷积核”数列满足：
（1）若数列，卷积核，求数列B.
（2）设，已知且，，若.求证：数列B中最大的项为，（表示a，b中的最大值）.
（3）已知且不全为0，卷积核，是否存在数列A，使得数列B的任意一项均为0?若存在，请写出一个满足条件的数列A；若不存在，请说明理由.
第一部
第二部
第三部
第四部
第五部
第六部
普通观众评分
87.2
85.4
84.9
84.9
84.7
83.6
专业观众评分
88.7
80.0
81.6
77.4
761
72.2