北京市通州区2025届高三下学期4月模拟考试数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分)
1. 已知全集为R，集合，，则（ ）
2. 已知复数，则共轭复数
3. 在的展开式中，x的系数为（ ）
4. 已知等差数列满足：，且，则（ ）
5. 已知点F为抛物线的焦点，过点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，则等于（ ）
6. 若点关于直线的对称点在圆上，则k、b的一组取值为（ ）
7. “”是“”的（ ）
8. 已知函数，则，，的大小关系是（ ）
9. 经过科学实验证明，甲烷分子的结构是正四面体结构（图1），碳原子位于正四面体的中心（到四个顶点距离相等），四个氢原子分别位于正四面体的四个顶点上，抽象成数学模型为正四面体，O为正四面体的中心，如图2所示，则角的余弦值为（ ）
10. 已知平面向量，，若满足，设与夹角为，则（ ）
二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分)
11. 双曲线的渐近线方程为________.
12. 在中，已知，，.则_______.
13. 设某死亡生物经过t年后，其机体内碳14所剩的质量（为碳14的初始质量）.当该死亡生物经过11460年，其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为_______；当其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为，则t=_______.
14. 设，函数，若为单调函数，则a的一个取值为_______；若有三个零点，则实数a的取值范围是_______.
15. 已知点是曲线上任意一点，有以下四个结论：
①曲线C既是中心对称图形又是轴对称图形；②，；
③点P到坐标原点距离的最大值为；④曲线C所围成封闭区域的面积大于4.
其中正确结论的序号是______.
三、解答题(本大题共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分)
16. 设函数
(1)若，求的值.
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求，的值.
条件①：在区间上单调递减；
条件②：；
条件③：为函数图象的一条对称轴.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分，
17. 如图1，将边长为2的正六边形沿翻折，使平面与平面垂直，如图2.点M在线段上，平面.

(1)证明：M为线段中点；
(2)求二面角的余弦值.
18. 某艺术研究中心对春节档6部影片观众满意度进行调查，评分如下
(1)从这6部影片中随机选取1部，恰好选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率；
(2)现有4名观众，每位观众从这6部影片中各随机选取1部观看.
（ⅰ）若不同观众可选相同影片（假设每位观众的选择相互独立），记X为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，求X的分布列及数学期望.
（ⅱ）若任意2名观众不能选看相同影片，记Y为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，试比较这种情况下数学期望与（ⅰ）中的大小关系，（结论不要求证明）
19. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若过A的直线l（斜率不为0）与椭圆E的另一个交点为B，线段中点为M，射线交椭圆E于点N，交直线于点Q.求证：.
20. 已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)曲线在点处的切线为l，记l与y轴交点的纵坐标为，求的最大值；
(3)若有两个根，，写出a的范围并证明.
21. 已知数列（N是大于3的整数）为有穷数列，定义为“卷积核”数列满足：
(1)若数列，卷积核，求数列B.
(2)设，已知且，，若.求证：数列B中最大的项为，（表示a，b中的最大值）.
(3)已知且不全为0，卷积核，是否存在数列A，使得数列B的任意一项均为0?若存在，请写出一个满足条件的数列A；若不存在，请说明理由.
北京市通州区2025届高三下学期4月模拟考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、复数、计数原理与概率统计、数列、平面解析几何、函数与导数、三角函数与解三角形、空间向量与立体几何、平面向量
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．32
D．40
A．2026
B．2025
C．2024
D．2023
A．16
B．6
C．
D．4
A．，
B．，
C．，
D．，
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．有最大值为
B．有最大值为
C．有最小值为
D．有最小值为
第一部
第二部
第三部
第四部
第五部
第六部
普通观众评分
87.2
85.4
84.9
84.9
84.7
83.6
专业观众评分
88.7
80.0
81.6
77.4
76.1
72.2
题型
数量
单选题
10
填空题
5
解答题
6
难度
题数
容易
2
较易
4
适中
12
较难
3
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
交并补混合运算
2
0.65
复数综合运算
3
0.65
求指定项的系数
4
0.94
利用等差数列通项公式求数列中的项；利用定义求等差数列通项公式；等差数列通项公式的基本量计算
5
0.85
求直线与抛物线相交所得弦的弦长；与抛物线焦点弦有关的几何性质
6
0.85
由标准方程确定圆心和半径；由直线与圆的位置关系求参数；求点关于直线的对称点
7
0.65
判断命题的充分不必要条件；用导数判断或证明已知函数的单调性
8
0.65
比较函数值的大小关系；函数奇偶性的定义与判断；用导数判断或证明已知函数的单调性
9
0.65
余弦定理解三角形；多面体与球体内切外接问题
10
0.65
向量夹角的计算；由导数求函数的最值（含参）
二、填空题
11
0.94
已知方程求双曲线的渐近线
12
0.85
二倍角的余弦公式；正弦定理解三角形
13
0.65
指数式与对数式的互化；对数的运算；对数的运算性质的应用
14
0.65
根据函数的单调性求参数值；根据函数零点的个数求参数范围；函数与方程的综合应用
15
0.4
由方程研究曲线的性质
三、解答题
16
0.65
利用正弦型函数的单调性求参数；由正弦（型）函数的值域（最值）求参数；已知函数值求自变量或参数；利用正弦函数的对称性求参数
17
0.65
求二面角；线面平行的性质；面面垂直证线面垂直；空间垂直的转化
18
0.65
计算古典概型问题的概率；超几何分布的均值；写出简单离散型随机变量分布列；二项分布的均值
19
0.65
根据离心率求椭圆的标准方程；椭圆中的定值问题；根据a、b、c求椭圆标准方程；根据韦达定理求参数
20
0.4
利用导数求函数的单调区间（不含参）；利用导数研究函数的零点；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；由导数求函数的最值（不含参）
21
0.4
利用定义求等差数列通项公式；数列新定义
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,7
2
复数
2
3
计数原理与概率统计
3,18
4
数列
4,21
5
平面解析几何
5,6,11,15,19
6
函数与导数
7,8,10,13,14,16,20
7
三角函数与解三角形
9,12,16
8
空间向量与立体几何
9,17
9
平面向量
10