四川省雅安市2026届高三上学期第一次诊断性考试数学试题（Word版附解析）

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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：依题意，集合，而，
所以.
故选：D
2. 若复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：因为，
所以，
故选：A.
3. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
解析：因为，
所以.
故选：A.
4. 已知平面向量与的夹角为，，则（ ）
A. 2B.
C. D.
【答案】C
解析：由题意，，，与的夹角为，
故，
则.
故选：C.
5. 已知函数则方程的实数根的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：当时，则，可得或,
由解得符合题意；
由得无实数解，舍去.
当时，则，解得符合题意，
综上，方程有个实数根.
故选：
6. 已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则其离心率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
解析：由方程表示焦点在x轴上的双曲线，
得，即得，
故双曲线的离心率为，
由于，故，故.
故选：C
7. 在钝角中，内角的对边分别为，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：因为，
由正弦定理得，
又，
所以，
即，
因为为钝角三角形，则，
所以，
由正弦定理得，又，则，
又因为，由余弦定理得.
故选：A.
8. 在正四棱台中，，，，则该正四棱台的外接球的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
解析：正四棱台中，取中点分别为，连接，
由，，，可得，，
过作平面的垂线，垂足为，则点在上，且，
所以，
设正四棱台外接球的球心为，半径为，
由对称性可知球心在直线上，
若球心在线段上，则，此时无正数解，
所以球心在的延长线上，则，
即，解得，
所以，
所以该外接球的表面积为，
故选：B
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图，函数 的图象过 ， 两点，则（ ）

A.
B.
C. 在区间 上的值域为
D. 将 的图象向右平移 个单位后得到的函数的图象关于直线 对称
【答案】BD
解析：由图可知，在处函数取得最小值，因此可得：.
根据图象可得：，又因为：，
故函数表达式为：，将点代入函数，
即，因为，所以得：，
函数表达式为：.
故选项A错误，选项B正确.
由，得，所以，
所以函数在上的值域为，故选项C错误.
平移后的函数，
对称轴满足：，
令，解得，故D正确.
故选：BD
10. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点为上异于长轴的顶点的一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当 时，椭圆的离心率为；
B. 当的面积的最大值为时，椭圆的长轴长的最小值为4；
C. 已知 ，当点位于第一象限时，四边形的面积的最大值为；
D. 已知 ，则直线与直线的斜率之积为.
【答案】ABC
解析：对于A，由椭圆的定义，可得，且，
因为，可得，即，所以，所以A正确；
对于B，因为点是椭圆上异于长轴的顶点的一点，
则的面积为，
即的面积的最大值为，所以，
又由，当且仅当时，等号成立，
所以，即，所以，所以椭圆的长轴长的最小值为，所以B正确；
对于C，由，且点是椭圆位于第一象限的一点，
可设，其中
则四边形的面积为，
因为，可得，
当时，即，取得最大值，所以，
所以四边形的面积的最大值为，所以C正确；
对于D，设，可得，所以，
又由点，可得，
则，所以D错误.
故选：ABC.
11. 如图，已知正方体的棱长为，分别是的中点，是正方形内（含边界）一动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当四点共面时，点的轨迹的长度为
B. 平面截正方体所得的截面的形状可能是五边形
C. 一定是锐角三角形
D. 当正方形内（含边界）一点满足平面平面时，的最小值为
【答案】ABD
解析：对于A，当四点共面时，点的轨迹为线段，长度为，故A正确；
对于B，如图，当点与重合时，为棱上靠近的四等分点，为棱上靠近的四等分点，
此时平面截正方体所得的截面为五边形，故B正确；
对于C，如图，当点与重合时，，
因为，所以；
因为，所以；
在中，由余弦定理得，所以为钝角，故C错误；
对于D，如图，分别作的中点，连接，
则，所以点共面，点共面；
所以平面就是平面在正方体中的截面；
由平面，平面，得；
又，所以平面；
又平面，所以平面平面，即平面平面，所以点在上；
显然当点与重合时，取得最小值，且最小值为.故D正确.
故选：ABD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）将答案填在答题卡相应的横线上
12 计算：___________
【答案】
解析：.
故答案为：
13. 甲、乙两人分别从A，B，C，D，E五个景点中随机选择一个景点游玩，若这两人中至少有一人选择景点A，则他们选择的景点不相同的概率为____.
【答案】
解析：记事件为“甲乙两人中至少有一人选择景点A”，事件为“甲乙两人选择的景点不相同”，
甲乙两人从5个景点中随机选择1个景点游玩，每人都有5种不同的选法，共有种不同的选法，
甲乙两人都不选择景点A的方法有种，
因此甲乙两人中至少有一人选择景点A的方法共有 种，
甲乙两人中至少有一人选择景点A的概率，
表示甲乙两人中至少有一人选择景点A，且甲乙两人选择的景点不同，
即一人选择景点A，另一人选择其它景点，共有 种选法，则，
所以.
故答案为：
14. 在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，如图所示的曲线为卡西尼卵形线且过坐标原点，其中两定点为，，曲线上点在第一象限内且满足的面积为，则 _______
【答案】
解析：设曲线上的任意一点，
由题意得，为常数，
即，
因为曲线过坐标原点，所以，
解得，
所以曲线的方程为，
设点，由题意得，
因为的面积为，则，
所以，
代入解得，
即，
所以.
故答案为：.
四、解答题（本大题共5小题，共77分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列的前n项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，为的前n项和，证明：.
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
（1）
设等差数列的公差为d，
由，得，解得，
故；
（2）
，则，
故是以为首项，以为公比的等比数列，
故，
由于随着n的增大而增大，，故是关于n的增函数，
故，
又，故,
综上可知.
16. 某高校为制定针对性的阅读推广方案，从全校随机抽取400名大学生开展“纸质书阅读偏好”专项调查，收集到的性别与专业交叉数据如下表（单位：人）：
（1）依据的独立性检验，能否认为该校大学生“是否喜欢阅读纸质书”与“专业类型”有关？
（2）从样本中“喜欢阅读纸质书”的大学生里，按专业类型用分层抽样抽取8人组建“纸质书推广志愿队”，再从这8人中随机抽取3人负责校园书展策划，记最后抽取的3人中，选中的文科学生人数为，求的分布列与数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
【答案】（1）有的把握认为该校大学生“是否喜欢阅读纸质书”与“专业类型”有关.
（2）分布列见解析；期望为
（1）
解：假设认为该校大学生 “是否喜欢阅读纸质书”与“专业类型”无关，
由列联表中的数据，可得：，
因为，所以拒绝假设，
所以有的把握认为该校大学生“是否喜欢阅读纸质书”与“专业类型”有关.
（2）
解：由列联表中的数据，喜欢纸质书的共有200人，其中文科150人，理科50人，
按比例抽取8人，则文科人数为人，理科人数为人，
从这8人中抽取3人，为文科人数，则随机变量的可能取值为，
可得，，
，
所以随机变量的分布列为
所以期望为.
17. 如图所示，在中，，，分别是边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，使得二面角为直二面角.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面；
（3）若，为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
（1）
因为，且平面，平面，
平面；
（2）折叠前，，且，所以，即，
折叠后，变为，故；
又因为二面角为直二面角，
且平面平面，平面，，
所以平面；
（3）
如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
由，得，
因，故，
由，得，
故，
，，，
，为中点，故，
则，，
设平面的法向量为，
由且，得方程组：，
化简得，令，则，故法向量，
直线的方向向量，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
18. 已知函数.
（1）若，证明：；
（2）令，若函数在区间上恰有一个零点，求k的取值范围；
（3）若，证明：.
【答案】（1）证明见解析
（2）或
（3）证明见解析
（1）
当时，，函数定义域为，则，
易得，下证当时.
要证，需证，即证，
设，则，
当时，，则在上单调递增，故，即，故有；
当时，，则在上单调递减，故，即，故有.
综上可得，当时，恒成立；
（2）
，由可得，即，，
设，则问题转化为函数与在上恰有一个交点.
则，由可得，因，则，
当时，，则函数在上单调递增；
当时，，则函数在上单调递减.
又，
则当时，两函数无交点；当或时，两函数有1个交点；当两函数有2个交点.
故当函数在区间上恰有一个零点时，k的取值范围为或；
（3）
由（1）知，当时，，即在上单调递减，
因，则，即，也即，
由可得，在（1）中已证，当且仅当时取等，
故有，所以得证.
19. 已知曲线上的动点满足，其中，，抛物线的焦点为，点在抛物线的准线上，线段与抛物线交于点，，.
（1）求曲线的方程和抛物线的方程；
（2）点是抛物线上的动点，过点作曲线的两条切线分别与交于两点，求的面积的最小值及此时点的坐标.
【答案】（1），
（2）；或
（1）
设，
因为，，所以，，
所以，即，
所以曲线是圆心为，半径为的圆；
抛物线的焦点，准线，
设点，，过作交准线于，
由抛物线的定义可知，
又因为，所以与轴的夹角为，
因为，所以到准线的距离，
所以抛物线.
（2）
点，则两切线斜率存在，
过作圆的切线，即，
所以，整理得，
设两切线斜率分别为，则，，
所以，
又因为，所以，
因为切线与准线的交点为，，
所以，
又因为点到准线的距离为，
所以，
令，则，
所以，
令，则在上单调递增，
因为，当且仅当，即，时等号成立，
所以，，专业类型
阅读偏好
合计
喜欢阅读纸质书
不喜欢阅读纸质书
文科
150
120
270
理工科
50
80
130
合计
200
200
400
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
1
2
3