2025-2026学年北京市西城区八年级（下）开学数学自测练习卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年北京市西城区八年级（下）开学数学自测练习卷（含答案+解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在以下节水、回收、节能、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列运算不正确的是( )
A. x2⋅x3=x5B. (x2)3=x6C. x3+x3=2x6D. (−2x)3=−8x3
3.如图，分别以△ABC的边为腰向外作三个等腰直角三角形：△ABD，△BCE，△CAF，其中∠ABD=∠BCE=∠CAF=90°，连接ED交BC于点H，连接AH.若△BCE与△CAF的面积之和等于△ABD的面积，BC=3，FA=HB，则点E到AH的距离为( )
A. 10
B. 94 3
C. 85 5
D. 65 10
4.下列根式中属最简二次根式的是( )
A. 2B. 14C. 8D. 1 2
5.下面的约分，正确的是( )
A. −a+ba−b=1B. (a−b)2b−a=b−aC. a2−b2a−b=a−bD. −a−ba−b=−1
6.如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB=30∘，点D在边OB上，且OD=DP=2.则线段PC的长度为( )
A. 3B. 2C. 1D. 12
7.《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文.只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈(1丈=10尺)，已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文.问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是( )
A. 89630−x−120=896xB. 89630−x+896x=120
C. 89630+x=896x+120D. 89630−x+120=896x
8.如图，在锐角△ABC中，△ABC的面积为15，BD平分∠ABC，若E，F分别是BD，BC上的动点，当CE+EF的最小值为6时，AB的长为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若式子1x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10.使二次根式 5x−2有意义的x的取值范围是______．
11.如图，若已知AC=DB.∠ACB=∠DBC，则可推出△ABC≌△DCB，依据是______．
12.如图，是公元三世纪初我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，赵爽据此图指出：四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形ABCD，中空的部分是一个小正方形EFGH，若AB=10，AF=6，则小正方形EFGH的面积为 ．
13.如图，∠AOP=∠OPC=15°，PC//DO，PD⊥OB，若OC=8，则PD等于______．
14.如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD.若AC=8，CD=5，则BD= ．
15.已知a>6，若正方形M的边长为(a−4)，其面积记为SM，长方形N的长为(a−2)，宽为(a−6)，其面积记为SN，用等式表示SM与SN的数量关系为 ．
16.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2 2，点D是AC的中点，连接BD，将△BCD绕点B旋转，得到△BEF.连接CF，当CF/​/AB时，CF= ．
三、解答题：本题共8小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)计算：a(2−a)+(a+b)(a−b)；
(2)因式分解：a3−4a2+4a．
18.(本小题15分)
计算：
(1)(2x−y)(x+3y)；
(2)32 5÷(− 10)×(−13 12)；
(3)先化简，再求值：(1−3a+2)÷a2−1a2+2a，其中a=2．
19.(本小题7分)
如图，老师在黑板上书写了一个正确的计算题目，题目被污染了一部分：
(1)若被污染的部分是一个代数式，求这个代数式；
(2)若被污染的部分是常数1，求a的值．
20.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，D是BC边上的一点，以AD为直角边作等腰Rt△ADE，其中∠DAE=90°，连接CE．
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)若∠BAD=22.5°时，求BD的长．
21.(本小题8分)
如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，E为BC下方一点，且AE=BE.请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹)．
(1)在图1中作出AB的中点F；
(2)在图2中作出△ABC的中线BN．
22.(本小题8分)
如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”.按“智慧数”从小到大的顺序逐一列举：3=22−12，5=32−22，7=42−32，8=32−12，9=52−42，11=62−52…
(1)第8个“智慧数”是______．
(2)某数学兴趣小组在上面列举的基础上发现：除1外所有的正奇数都是“智慧数”，并进行了如下证明：
设k是正整数，
∵(k+1)2−k2=(k+1+k)(k+1−k)=2k+1
又∵k是正整数，
∴2k+1为大于或等于3的奇数．
∴除1外，所有的正奇数都是“智慧数”．
他们还发现：除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数”，请你参考上面的方法进行证明．
(3)用含有k的式子表示除1，2，4外的其它非“智慧数”______(k是正整数)．
23.(本小题8分)
【问题初探】
(1)数学课上，老师出示了如下问题.如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，在Rt△ABD中，∠ADB=90°，将△ABD沿着AB进行翻折，AD恰好可以落在AE处，请求出AD的长.小明同学认为，可以借助勾股定理的有关内容完成解答，请你帮他完成求解过程．
【问题探究】
(2)李老师在该问题上进行了变式，如图2，在(1)的条件下，将△ADB沿着线段AC平移得到△A′D′B′，在平移过程中，小王同学发现当点D的对应点D′平移到边BC上时，能求出此时A′C的长，请你帮他完成求解过程．
【拓展提升】
(3)李老师在该问题上进行了拓展，若在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，∠ABD=∠C=30°，其他条件不变，通过几何变换，能否尝试探究出变换后的新的图形的性质.如图3，将△ABD绕点A顺时针旋转角度α(0°