【数学】北京市西城区2024--2025学年八年级下学期期末考试试卷 （解析版）

这是一份【数学】北京市西城区2024--2025学年八年级下学期期末考试试卷 （解析版），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，八年级学生测试成绩的平均数等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
2. 以下列各组数为三角形三边长，能构成直角三角形的是（ ）
A. 2，2，2B. C. D. 2，3，4
【答案】C
【解析】A.∵，∴不能构成直角三角形，故选项不合题意；
B. ∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不合题意；
C. ∵，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D. ∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不合题意．
故选：C．
3. 下列计算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A.和不是同类项，不能合并，选项计算错误，故不符合题意；
B. ，选项计算错误，故不符合题意；
C. ，选项计算错误，故不符合题意；
D. ，选项计算正确，故符合题意；
故选：D．
4. 在平面直角坐标系中，已知两点在直线上，下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴随的增大而增大，
∵，
∴．
故选：A．
5. 下列命题中，不正确的是（ ）
A. 平行四边形的对角线互相平分B. 矩形的对角线互相垂直且平分
C. 菱形的对角线互相垂直且平分D. 正方形的对角线相等且互相垂直平分
【答案】B
【解析】A、正确，平行四边形的对角线互相平分；
B、错误，应该是矩形的对角线相等且互相平分；
C、正确，菱形的对角线互相垂直且平分；
D、正确，正方形的对角线相等且互相垂直平分；
故选：B．
6. 如图是甲、乙两名同学的5次引体向上练习成绩的折线统计图，下列判断正确的是（ ）
A. 甲的成绩比乙的成绩稳定
B. 甲的最好成绩比乙的最好成绩高
C. 甲的成绩的平均数比乙的成绩的平均数大
D. 甲的成绩的中位数比乙的成绩的中位数大
【答案】A
【解析】A、由折线统计图可以看出甲成绩的波动小于乙成绩的波动，即甲的成绩比乙的成绩稳定，故选项A正确，符合题意；
B、由折线统计图可以看，甲的最好成绩为9，乙的最好成绩为10，
所以甲的最好成绩比乙的最好成绩低，故选项B不正确，不符合题意；
C、甲的成绩的平均数为（个），
乙的成绩的平均数为（个），
所以甲的成绩的平均数与乙的成绩的平均数相同，故选项C不正确，不符合题意；
D、甲的成绩的中位数与乙的成绩的中位数均为8个，故选项D不正确，不符合题意．
故选：A．
7. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线为常数，的交点为，则关于的不等式的解集为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】把代入得，，解得，
当时，，
故选：D．
8. 如图，在平面直角坐标系中，，点在直线上．有以下结论：
①当点的坐标为时，取得最小值；
②当点的坐标为时，取得最大值；
③当点的坐标为时，取得最大值；
④当点的坐标为时，取得最小值．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④
【答案】B
【解析】由题意，如图1，
，
关于直线的对称点，
连接交于点，此时取最小值等于，
又，
轴，
，
故①正确，②错误；
连接并延长交直线于，如图2，
此时，取最大值等于，
设直线为，
，
，
，
直线为，
联立方程组，
，
此时，故③错误；
由题意，连接，作的垂直平分线交于点，如图3，
，
取得最小值为，
在的垂直平分线上，
，
的中点为，
直线为，
的垂直平分线为，
联立方程组，
，
，此时取得最小值，
故④正确；
综上，正确的有①④；
故选：B．
二、填空题
9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_________．
【答案】
【解析】由题意可得，
，
，
故答案为：．
10. 在中，若，则∠D为______度．
【答案】45
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：45．
11. 请写出一个图象过原点且随的增大而减小的一次函数解析式：______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】∵一次函数图象过原点且随的增大而减小，
∴一次函数解析式可以是．
故答案为：．（答案不唯一）
12. 在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度后，所得直线的解析式是______．
【答案】
【解析】∵直线向下平移了2个单位长度，
∴由“上加下减”的原则得：平移后的解析式为：，即，
故答案为：．
13. 如图，已知菱形的边长为，则菱形的面积等于______．
【答案】
【解析】过点D作于点E，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，在Rt与Rt中，，点和点位于边的同侧，为边的中点．连接，若，则______．
【答案】77
【解析】，为边的中点，
，，
，
，
．
故答案为：77．
15. 如图，在中，．以，，为边分别向外作正方形，正方形，正方形，过点M，N分别作，再适当延长相关线段得到四边形，那么四边形的面积等于______．
【答案】110
【解析】延长交于点H，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
同理，
∴，，
又∵，
∴是矩形，
∴，，
∴四边形的面积为，
故答案为：．
16. 如图1，是矩形的对角线，点从点出发，沿在线段和上运动，运动到与点重合时停止(当两点重合时，记连接这两点所得线段的长度为0)．作，垂足为点．记点的运动路程为，线段PQ与DQ长度的差为，即，图2反映了点运动的过程中，与之间的对应关系，那么______，图2中点的坐标为______．
【答案】①. 3 ②.
【解析】当点P到达点C的位置时，点P、Q、C三点重合，有最小值，
即，
∴在矩形中，，
由题意可知：当点P在上时，(点D除外)，
否则由可得是等腰直角三角形，继而得到，从而得到始终相等，即图象无第一象限部分，
∵当点的运动路程为时，，
∴此时点P在点上，
设，则，
∵，
∴，
∴，
在矩形中，，
∴，即，
解得：，
∴，，
由题意可知：点E即为点P在点B处时对应的点，
此时点Q与点C重合，
∴此时，，
∴点的坐标为，
故答案为：3；．
三、解答题
17. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
．
18. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）在所给平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）求直线，直线与轴围成的三角形的面积．
解：（1）一次函数的图象经过点和，
，
解得，
一次函数的解析式是．
（2）该一次函数的图象如图所示．
（3）设直线与轴的交点为，与直线的交点为．
对于一次函数，令，解得．
点的坐标为．
解方程组得
点的坐标为．
设所求三角形的面积为．
．
19. 已知：如图，．
求作：射线，使得平分．
作法：①在射线上取点，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点；
②分别以点，点为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点（不与点重合），
③作射线．
射线就是所求作的射线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接．
= ，
四边形是 （填“矩形”“菱形”或“正方形”）
（ ）（填推理的依据）
平分（ ）（填推理的依据）．
即平分．
（1）解：作图如图所示．
（2）证明：连接，如图，
，
四边形是菱形．
（四条边相等的四边形是菱形）．
平分
（菱形的每一条对角线平分一组对角）.
即平分．
故答案为：；菱形；四条边相等的四边形是菱形；菱形的每一条对角线平分一组对角
20. 如图，在中，点D，E分别是，的中点，连接并延长到点，使，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接，，若，求线段的长．
（1）证明：点，分别是，的中点，
是△的中位线，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：如图，连接，
由（1）可知，四边形是平行四边形，
，
点是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
即线段的长为6．
21. 小高同学在学习“勾股定理”时，向全班展示了他通过查阅相关资料学到的证明思路和证明过程，具体如下．
制作学具：两张直角三角形纸片和，其中，，，．
证明思路：将两张纸片按如图所示方式摆放并固定，使纸片的边落在纸片的边上，点与点重合，连接得到四边形，利用四边形的面积的两种不同表示方法证明．
请根据小高同学的思路补全以下证明过程．
证明：如图，作，垂足为点，设与的交点为，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴四边形为矩形，
，
= ，
．
证明：如图，作，垂足为点，设与的交点为，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形矩形，
，
，
，
故答案为：，，，，，，，．
22. 某校为了解七年级和八年级学生的体育与健康知识掌握情况．从这两个年级的学生中各随机抽取了30名学生进行有关测试，获得了这些学生的成绩(成绩用x表示，满分100分)．并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．抽取的七年级学生测试成绩：
65，68，72，72，75，78，80，81，82，82，83，83，84，84，85
85，86，86，86，87，88，89，91，93，95，96，97，98，99，100
b．抽取的八年级学生测试成绩的频数分布直方图(数据分成5组：)：
c．抽取的八年级学生测试成绩在这一组的是：
85，85，86，87，87，88，89，89，89
d．抽取的七、八年级学生测试成绩的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息解答下列问题：
（1）请补全频数分布直方图；
（2）表中 ， ；
（3）在此次测试中，七、八年级各有学生考了88分，这个成绩在哪个年级排名更靠前？回答并说明理由；
（4）此次测试成绩85分及85分以上为优秀．若该校八年级有300名学生，假设八年级的学生都参加此次测试，估计八年级学生成绩优秀的人数．
解：（1）这一组的人数为：；
补全频数分布直方图如图：

（2）由题意知86出现的次数最多，有三次，，
八年级的中位数是第15和16个数字的平均数，即这一组的第6和第7个数字的平均数，
∴，
故答案为：86，88.5；
（3）七年级学生排名更靠前，
因为88分大于七年级学生测试成绩的中位数85，
所以七年级该学生超过七年级一半学生，
故七年级学生排名更靠前；
（4）(名，
答：估计八年级学生成绩优秀的人数为210名．
23. 小明探究函数的图象和性质的过程如下．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题．
（1）函数的自变量的取值范围是 ，的取值范围是 ；
（2）由设计如下画图方案：
将直线在轴下方的部分沿轴翻折，直线的其余部分保持不变，得到函数的图象．在平面直角坐标系xOy中画出函数的图象；
（3）利用函数图象解决问题：
①当时，的取值范围是 ；
②当时，的取值范围是 ；
③若对于的每一个值，函数的值都小于函数的值，直接写出的取值范围．
解：（1）由函数得，，
∴自变量的取值范围是全体实数，的取值范围是．
故答案为：全体实数，．
（2）如图所示，
（3）①由图像可知，当时，；
②由图像可知，当时，或；
③如图所示，
∵对于的每一个值，函数的值都小于函数的值，
∴当时，，解得；
当时，，解得；
∴k的取值范围为．
24. 在矩形中，，两边的长满足的平分线交边于点于点，连接，，线段的延长线交于点，交于点．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当时，
①求证：点为线段的中点；
②用等式表示线段与的数量关系，并证明．
（1）证明：如图．
四边形为矩形，
．
的平分线交于点，
．
，
．
．
．
．
，
．
（2）①证明：如图，连接．
已证．
．
．
．
，
，
．
．
．
，即点为线段的中点．
②解：．
理由：如图，连接，取的中点，连接，．
的中点为，

分别是的外角，
25. 在平面直角坐标系中，以方程的解为坐标的点在直线上；反过来，直线上的点的坐标是方程的解．
以不等式的解为坐标的点在直线的上方；反过来，在直线的上方的点的坐标是不等式的解．
以不等式的解为坐标的点在直线的下方；反过来，在直线的下方的点的坐标是不等式的解．
如图，已知直线，直线和直线．
（1）点在直线的 方，点在直线的 方（填“上”或“下”）；
（2）以不等式组的解为坐标的点的全体记为图形．已知直线为实数）与图形的公共部分为线段（点可与点重合），若对于线段上的任一点，在线段上都存在点，使得，则的取值范围是 ．
解：（1）当时，，
∴点在直线的下方，
当时，，
∴点在直线的上方，
故答案为：下，上；
（2）∵对于线段上的任一点，在线段上都存在点，使得，
∴，
当点,在直线和上，
令，则，，
解得，，
∴，解得：；
当点,在直线和上，
令，则，，
解得，，
∴，解得，
∴m的取值范围为，
故答案为：．
26. 在平面直角坐标系中，对于对角线交点为原点的正方形和它的边上任意一点，给出如下定义：记点所在边的中点为，线段OM的长度为．将线段沿射线的方向平移个单位长度得到线段，以点为顶角顶点，分别作顶角都为的等腰三角形和等腰三角形，连接．若线段上的点都在该正方形的内部或边上，则称点为该正方形的“美好点”．
已知正方形的顶点坐标分别为，，，．
（1）如图1，点在边上，
①在点，中，点 是正方形的“美好点”；
②若点E，F的横坐标满足，当时，点的坐标为 ；
（2）若直线上存在正方形的“美好点”，则的取值范围是 ；
（3）如图2，与正方形大小相同的正方形的顶点在坐标轴上．若直线上既存在正方形的“美好点”又存在正方形的“美好点”，请直接写出的取值范围．
解：（1）①由题意可知，和所在线段为，的中点为点，此时与重合，连接，，将，沿着射线方向平移2个单位得到，，然后将，绕点顺时针和逆时针旋转分别得到、、、，连接、，如图所示：
从上图可知，线段上的点都在该正方形的内部，那么在是正方形的“美好点”；故答案为：；
②已知正方形的顶点坐标分别为，，，．
，取的中点为，那么，连接，将沿着射线的方向平移2个单位，得到，将绕点顺时针和逆时针旋转分别得到和，过点作轴于点，过点作于点，如图所示：
在线段上，不妨设，
点纵坐标为2，
不妨设，那么，
，
，
，，，
，
，
点在第一象限，
点在第一象限，
，，
，
，，
点与点重合，点落在线段上，如图所示：
将沿着射线的方向平移2个单位，得到，
，
，
，，
，
，
，
（舍去负值），
；故答案为：；
（2）直线上存在正方形的“美好点”，
点为直线与正方形的交点，
当“美好点”在线段时，由（1）②可知，当点坐标为时，点点落在线段上，为保证一定在正方形的内部或边上，那么点不能再继续往右移动，那么将代入，得到，
，，
如图所示：
同理可求得当落在线段上，可求得，将代入，得到，可求得，为保证一定在正方形的内部或边上，那么点不能再继续往左移动，如图所示：
那么当“美好点”在线段时，为保证一定在正方形的内部或边上，点的横坐标要大于等于小于等于．
根据正方形的对称性，可知，当“美好点”在线段时，为保证一定在正方形的内部或边上，点的横坐标要大于等于小于等于．
当“美好点”在线段或者时，可知点在，连接，将沿着射线的方向平移2个单位，得到，将绕点顺时针和逆时针旋转分别得到和，过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示：
当落在线段上，点在第二象限，由（1）②可知，，，
，
，
，
，
不妨设，那么，，
，
，
（舍去负值），
，
为保证一定在正方形的内部或边上，那么点不能再继续往上移动；
同理可求得当落在线段上，，为保证一定在正方形的内部或边上，那么点不能再继续往下移动，如图所示：
那么当“美好点”在线段或时，为保证一定在正方形的内部或边上，点的纵坐标要大于等于小于等于．
综上，可知正方形的美好点需要在、、、上移动，其中，，和，，，和，如图所示：
当正方形的美好点在、上移动时，
当直线过时，将代入，得到，解得，那么，
将代入，得到，可知也过直线；
当直线过时，将代入，得到，解得，那么，将代入，得到，可知也过直线；
综上，当正方形的美好点在、上移动时，或；
当正方形的美好点在、上移动时，
当直线过时，将代入，得到，解得，那么，
将代入，得到，可知也过直线；
当直线过时，将代入，得到，解得，那么，将代入，得到，可知也过直线；
那么当正方形的美好点在、上移动时，；
或或；
（3）与正方形大小相同的正方形的顶点在坐标轴上，如图所示：
由题意可知，，
已知正方形的顶点坐标分别为，，，，
，
，，，，
由（2）可知，正方形的美好点需要在、、、上移动，
其中，，和，，，和；
同理可求得正方形的美好点需要在、、、上移动，其中，，，，，，，，即如图所示：
设直线为，
代入和，
有，解得，
那么直线为；
同理可求得直线为：；
直线为：；
直线为：，
直线为：，
直线为：
因为直线上既存在正方形的“美好点”又存在正方形的“美好点”，那么直线可以在直线和之间移动，也可以在和之间移动，也可以与直线、直线重合，
当与直线重合时，那么有；
当与直线重合时，那么有；
当与直线重合时，那么有；
当与直线重合时，那么有；
当与直线重合时，那么有；
当与直线重合时，那么有；
那么当直线在直线和之间移动，；
直线在和之间移动，；
综上，或或．
平均数
中位数
众数
七年级
85
85
m
八年级
88
n
89