山西省晋中市2026届高三下学期3月调研测试数学试题及参考答案（word版+pdf版）

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1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1. 已知集合 A={1,3},B={x∈Z∣−5b ” 的
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 若随机变量 X∼N3,σ2 ,且 PX≤4=m,PX≤2=n ,则
A. m+n=1B. m+n=12 C. m0,b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,过点 F2 的直线 l 与 C 在第一、四象限的交点分别为 A,B ,与 y 轴的交点为 D ,若 AF2:BF2=3:1 ,且 AF2=3a , 则下列说法正确的有
A. AF2⋅BF1=0 B. C 的离心率为 102
C. 直线 AB 的斜率为 2 D. 点 D 到 C 上的点的距离的最小值为 10a
11. 如图,已知正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 2,P 是侧面 BCC1B1 内的一个动点 (含边界), E,F 分别是 AA1,C1C 的中点,设 BP=λBB1+μBCλ,μ∈0,1 ,则下列说法正确的有

A. 若点 P 在平面 D1EF 内,则 λ=12μ
B. 当 PE⋅PF 取得最小值时, λ=μ=14
C. 若 PB+PB1=4 ,则 μ 的取值范围是 34,32
D. 若点 P 在三棱锥 D1−EFB1 的外接球球面上,则 λ 的取值范围是 3−54,12
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知复数 z 在复平面内对应的点为 0,1 ，则 z2026= _____.
13. 小明参加校园新春体能打卡，需完成 9 次打卡动作，其中有 2 次柔韧打卡，3 次力量打卡， 4 次耐力打卡，同类的打卡难度不同，需从易到难依次进行，任意 2 次耐力打卡不能相邻， 不同类的打卡可以穿插进行，则完成全部打卡的不同顺序共有_____种.
14. 在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,且 a−sin22B2=sin22B+sin2B⋅ sin22B−sin2B ，则 c 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 2Sn−3an=4n−3 .
(1)证明: an−2 是等比数列；
(2)设 bn=nan−2 ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn .
16. (15 分)
如图，在四棱锥 P−ABCD 中，侧面 PAD⊥ 底面 ABCD ， △PAD 是边长为 2 的等边三角形，四边形 ABCD 为直角梯形,且 BC//AD,AB⊥AD,AB=BC=1,E 是棱 PD 上一动点.
(1)若 E 为棱 PD 的中点,证明: CE// 平面 PAB ；
(2)若 E 为棱 PD 上靠近 P 点的三等分点,求平面 EBC 与平面 ABCD 夹角的余弦值.

17. (15 分)
晋中市的平遥推光漆器是中国四大名漆器之一，其制作过程中描金、罩漆、抛光三个核心环节的成功率直接影响漆器的等级与收益. 已知某工艺师在描金、罩漆、抛光环节的成功率分别为 23,34,12 (各环节相互独立). 若描金失败,则该漆器直接报废,每件废品损失 25 元；若描金成功但罩漆和抛光中至少有一个环节失败，则为普品；若三个环节均成功， 则为精品. 普品和精品均为成品, 可对外销售, 假设每件漆器的制作过程相互独立.
(1)求该工艺师制作的一件漆器为精品的概率.
(2)该工艺师共制作 n 件漆器，记其中精品的数量为 X ，普品的数量为 Y ，若 EY− EX=5 ,求 n 的值.
(3)该工艺师计划制作一批漆器进行销售，现有两种销售方案:
方案①:成品全部线下零售，普品每件可获利 80 元，精品每件可获利 300 元；
方案②:成品全部线上零售，在方案①获利的基础上，每件成品均需支付 5 元快递费， 且每件精品可获得 25 元的线上平台补贴.
分别求采用销售方案①②时一件漆器的期望利润，并判断对该工艺师来说，哪种方案更好.
18. (17 分)
已知椭圆 C 的方程为 x2a2+y2b2=1a>b>0 ，其长轴长为 6，且点 M2,53 在 C 上.
(1)求 C 的方程.
(2)设 C 的左顶点为 E ，动直线 l 的斜率为 k ，且 l 与 C 交于 P ， Q 两点， O 为坐标原点.
( i ) 若 k=1 ，且 △EPQ 的重心在 y 轴上，求 l 的方程；
(ii) 若 l 经过 C 的右焦点 F ，点 P 在第一象限， N 是 P 关于原点的对称点，且四边形 OFQN 与 △POQ 的面积之比为 5:3 ,求 k 的值.
19. (17 分)
已知函数 fx=e2axsinxa∈R .
(1)当 a=12 时,求 fx 的单调区间;
(2)当 a≥12 ,且 x∈0,π4 时,证明: fx≥x ;
(3)当 a=12 时,若正实数 x1,x2,⋯,xnn≥3 满足 i=1nxi=π4 ,求证: π40 ,可得 −14i=1nxi=π4 . (12 分)
当 a=12 时, fx=exsinx ,则由 1 知 f′x=2exsinx+π4 ,
易知 f′x 在 0,π4 上单调递增. (14 分)
设 Fx=fx+y−fx−fy ,其中 x,y∈0,π4 ,且 x+y≤π4 ,
则 F′x=f′x+y−f′x>0 ,
因此 Fx 在 0,π4 上单调递增,
从而 Fx>F0=f0+y−f0−fy=f0=0 ,则 fx+fy