浙江省S9联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题 含解析

这是一份浙江省S9联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题 含解析，共29页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸， 已知复数，，下列结论正确的有， 已知函数，则下列判断正确的是等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题纸.
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一项是符合要求的.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的解法以及指数函数的性质，求得集合，结合集合交集的概念与运算，即可求解.
【详解】由集合，集合，
根据集合交集的运算，可得.
故选：C.
2. 已知复数z满足，则复数z对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】由复数z满足，可得，
所以复数复平面内对应点位于第一象限.
故选：A.
3. 如图所示，D，E为边BC上的三等分点，且AB=AC则下列各式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三等分点得出向量相等结合向量的方向即可判断选项.
【详解】D，E为边上的三等分点，所以，
所以D选项正确；
若，则不成立，C选项错误；
方向不同不能相等，A选项错误；
方向相反不能相等，B选项错误.
故选：D.
4. 已知为的三个内角，下列各式不成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函数诱导公式，结合三角形的内角和为π，逐个去分析即可选出答案．
【详解】由题意知，在中，，
对A选项，，故A选项正确；
对B选项，，故B选项正确；
对C选项，，故C选项正确；
对D选项，，故D选项不正确．
故选：D
5. 水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（ ）
A. 直角三角形B. 等边三角形
C. 三边中只有两边相等的等腰三角形D. 三边互不相等的三角形
【答案】B
【解析】
【分析】由图形和通过直观图的画法知在原图形中三角形的底边，，且，故三角形为等比三角形.
【详解】由图形知，在原中，，因为，则，
因为，则，所以，即原是一个等边三角形；
故选：B
6. 已知圆台的上，下底面的半径长分别为2，3，母线长2，则其体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用圆台的性质，求得圆台的高，结合圆台的体积公式，即可求解.
【详解】由题意知，圆台的上，下底面的半径长分别为2，3，母线长2，
设圆台的高为，可得，
所以圆台的体积为.
故选：B.
7. 已知向量，向量在方向上的投影向量为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，利用向量的数量积坐标运算，以及投影向量的计算公式，即可求解.
【详解】由题意知，向量，可得且，
则向量在上的投影向量.
故选：A.
8. 在中，角的对边分别为，，，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理及二倍角公式可得，再由余弦定理可得，得，利用平方关系可计算的值，再由三角形面积公式即可求解.
【详解】因为，，
所以
即，
，解得，
，
，
，
.
故选：.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 已知复数，，下列结论正确的有（）
A.
B. 若，则
C. 若，则，为共轭复数
D. 若，则表示复数的点围成的图形面积为
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A,假设复数，通过运算即可判断正误；对于B,举特殊例子说明即可；对于C,假设复数,,通过运算可得虚部相反，但实部未必相等，进而可以判断；对于D,根据复数的模几何意义即可求解.
【详解】对于，设,
则，故A正确；
对，当时，，但，故B错误；
对于，设
则,
，即，但与不一定相等，故C错误；
对于，设，
则,即，
复数在复平面上对应的点围成的图形是以为圆心，1为半径的圆，
其围成的图形面积为.
故选：AD.
10. 已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A. 是偶函数B. 的图像与直线有两个交点
C. 的值域是D. 在区间上是减函数
【答案】CD
【解析】
【分析】根据分段函数解析式，根据偶函数定义判断A,求解不等式判断交点个数判断B,根据函数的值域及单调性判断C,D..
【详解】，不是偶函数，故A不正确；
函数图象与直线有一个交点，
或，解得，
所以的图像与直线有1个交点，故B错误；
当当，函数的值域为，
是减函数，即C、D正确；
故选：CD.
11. 在中，角所对的边分别为，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若是锐角三角形，则
C. 若，则
D. 若，且，则内切圆半径为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，利用正弦定理和三角形的面积公式，以及锐角三角形的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由，可得，由正弦定理可得，所以A正确；
对于B中，由为锐角三角形，可得，即，
所以所以B错误；
对于C中，由正弦定理得，所以C正确.
对于D中，若，则，，可得，
所以，则，
设的内切圆半径为r，则，解得，所以D正确.
故选：ACD.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的零点为________．
【答案】
【解析】
【分析】解方程，求出答案.
【详解】令，故，解得，
故的零点为2.
故答案为：2
13. 在中，已知，，若有两解，则边的取值范围为_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据正弦定理和图形关系得到，然后解不等式即可.
【详解】在中，，，若有两解，必须满足的条件为：，即，
故答案为：
14. 已知不共线的平面向量，，两两所成的角相等，且，则||=___________.
【答案】2或3
【解析】
【分析】先求出，利用列方程即可求出.
【详解】由不共线的平面向量，，两两所成的角相等，可设为θ，则.设||=m.
因为，所以，
即，
所以
即，解得：或3.
所以||=2或3
故答案为：2或3
四、解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 化简求值：
（1）已知，求的值.
（2）已知实数，，，求的最小值.
【答案】（1）
（2）16
【解析】
【分析】（1）由商数关系化简可得答案；
（2）利用基本不等式“1”的妙用即可求解.
【小问1详解】
由于，
所以
【小问2详解】
因为，，，
故，
当且仅当，且，即，时取得等号.
故的最小值为16.
16. 如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角，点C的仰角，以及.从点C测得，已知山高.
（1）求两点AC间的长度；
（2）求山MN的高度.
【答案】（1）
（2）200
【解析】
【分析】（1）解直角三角形即可求得答案；
（2）应用正弦定理求出,再结合直角三角形即可求；
【小问1详解】
在中，因为，，，
所以，
【小问2详解】
在中，因为，，可得，
因为，所以，
在直角中，可得.
17. 如图一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个底面半径为x的内接圆柱.
（1）求此圆锥的表面积与体积；
（2）试用x表示圆柱的高h；
（3）当x为何值时，圆柱的全面积最大，最大全面积为多少？
【答案】（1）表面积，体积
（2），
（3）当时，.
【解析】
【分析】（1）根据圆锥的表面积及体积公式计算即可；
（2）根据相似计算即可得出关系式；
（3）先写出全面积公式再结合二次函数得出最大值.
【小问1详解】
由，，得，
所以，，
故 ，
；
【小问2详解】
由相似可得，得，；
【小问3详解】
记圆柱得全面积为S，
，
∵，∴当时，.
18. 如图，在平行四边形中，，，，为中点，且，.设，.
（1）当时，用，表示，；
（2）若，求实数的值；
（3）求的取值范围.
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由向量的线性运算求解即可.
（2）将问题转化，利用向量垂直关系求解即可；
（3）由于，则，结合二次函数的最值问题求解即可.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
若，则，
因为，，，
则，
所以.
【小问3详解】
）由题可得： ，
，
∵，当时，的最大值为，
当时，最小值为，
所以.
19. 在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
（1）求角B的值；
（2）若，判断的形状；
（3）若为锐角三角形，且，求面积S的取值范围.
【答案】（1）60°；
（2）等边三角形； （3）.
【解析】
【分析】（1）将角化边进行化简，然后结合余弦定理求解即可；（2）将边化角，将正切变成正弦和余弦再进行化简即可判断；（3）根据条件表示边，再利用三角形的面积公式即可求解面积的取值范围.
【小问1详解】
∵，
∴由正弦定理得，
即，
即，
即，
由余弦定理得，
∵，
∴；
【小问2详解】
∵
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形.
【小问3详解】
因为,
由正弦定理,得
所以
因为为锐角三角形,则,
从而,
所以.