浙江省S9联盟2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试卷（解析版）

这是一份浙江省S9联盟2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试卷（解析版），共8页。试卷主要包含了 已知集合则， 已知向量，若，则， 若，则， 已知角和的终边关于轴对称，则， 已知函数，下列说法正确的是， 已知函数，若，则等内容，欢迎下载使用。
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一项是符合要求的.
1. 已知集合则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由，，
故选：B
2. 已知向量，若，则（ ）
A. 1B. C. 4D.
【答案】D
【解析】因为，且，所以，解得.
故选：D.
3. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以.
故选：C.
4. 已知角和的终边关于轴对称，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】在角终边上任取一点，由对称性可得终边上一点，
此时，所以，A错，
，B错，
对于C：，由A知，错，
对于D：，由A知，正确，
故选：D
5. 中，角所对的边分别为，，已知，，，则（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】因为，，，所以由正弦定理得，，
得，
因为，，所以，所以或,
故选：D
6. 若向量，则“”是“向量的夹角为锐角”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为向量的夹角为锐角，所以，且向量不共线，
当向量共线时，，故“”是“向量的夹角为锐角”的必要不充分条件，
故选：A.
7. 设平面内三个非共线的单位向量两两之间的夹角相等，则（ ）
A. 1B. C. 5D.
【答案】B
【解析】因为平面内三个非共线的单位向量两两之间的夹角相等，
所以，所以
所以.
故选：B
8. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 若函数周期为4，则
B. 当时，函数的对称轴为
C. 若函数在单调，则有最大值2
D. 若函数可以由先向右平移个单位长度，再横坐标变为原来的3倍得到，则
【答案】C
【解析】对于A，若函数周期为4，可得，解得，即A错误；
对于B，当时，函数的对称轴满足，解得，即B错误；
对于C，当时，，所以，若函数在单调，可得，解得，即有最大值2，可得C正确；
对于D，先向右平移个单位长度可得，
再横坐标变为原来的3倍可得，若能得到函数，可得，此时无解，即D错误.
故选：C
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 已知函数，若，则（ ）
A. B. 2C. 0D. 1
【答案】BC
【解析】当时，，解得，满足要求，
当时，，解得，满足要求.
故选：BC.
10. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，设圆柱、圆锥、球的表面积分别为，体积分别为，下列结论正确的是（ ）
A. 圆柱的侧面积为B. 圆锥的侧面积为
C. D.
【答案】ABC
【解析】依题意球的表面积为，圆柱的侧面积为，所以A选项正确.
圆锥的侧面积为，所以B选项正确.
圆锥的表面积为，
圆柱的表面积为，所以，D选项不正确.
圆柱体积，圆锥体积，球的体积，所以C正确.
故选：ABC
11. 已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）.
A. 若，则
B. 若，则为等腰三角形
C. 若，这样的三角形有两解，则的取值范围为
D. 若为锐角三角形，且则其周长范围为
【答案】AC
【解析】对于A，因为，由正弦定理可得，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，即，
又，所以，所以或，
即或，即为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，因为三角形有两解，所以，即，
即的取值范围为，故C正确.
对D，由，得周长，因为为锐角三角形，所以，
所以，因此周长范围为，故D错误.
故选：AC
三､填空题：本题3小题，每小题5分，共15分.
12. 如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，直角边，则原图形的面积是__________.
【答案】
【解析】利用斜二测画法的定义，画出原图形，

由是等腰直角三角形，直角边，得斜边，
因此，，
所以原平面图形的面积是.
故答案为：.
13. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为__________.（答案用坐标表示）
【答案】
【解析】，所以
向量在向量上的投影向量为.
故答案为：.
14. 已知函数，若，则的取值范围__________.
【答案】
【解析】令，则的定义域为，
且，
所以为奇函数，
又，，均在上单调递减，
所以在上单调递减，则在上单调递减，
又为连续函数，所以在上单调递减，
又，所以不等式，
即，
即，即，
所以，即，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：
四､解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）写出函数的最小正周期，的单调递增区间；
（2）当时求实数的值.
解：（1）最小正周期
令，得.
所以函数的单调递增区间为
（2）
或者
或者.
16. 如图，一个直三棱柱形容器，侧棱.（容器出口在上底面点处，大小可忽略）
（1）若底面是边长为2的正三角形，求这个容器的表面积与容积；
（2）若侧面水平放置时，液面恰好过的中点，当底面水平放置时，液面高为多少？
解：（1）表面积，
体积；
（2）设的面积为，底面水平放置时，液面高为，
则水的体积为，
当底面水平放置时，水的体积为，解得，
即液面高为.
17. 已知平面向量.
（1）若，求向量的坐标；
（2）若，求的值；
（3）若向量，若与共线，求的值.
解：（1）因为，所以，解得，故，
则.
（2）因为，所以，则，
则.
（3），，
若与共线，则，
解得，即，
故.
18. 在中角所对的边分别为，且.
（1）求；
（2）若，且.求的值；
（3）若的面积为，且，求的最小值.
解：（1）由正弦定理得，即
由余弦定理可得，
因为，所以.
（2）因为，所以
由，得，
所以
.
（3）由已知，所以.
因为，所以，
可得，
所以
，
又，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
19. 如图，点是的重心，分别是边、上的动点（可以与端点重合），且三点共线.
（1）设，，将用、表示；
（2）设，，求的最小值；
（3）在（2）的条件下，记与的面积分别为、，求的取值范围.
解：（1）因为为中点，所以，
因为为重心，所以.
（2）因为分别是边、上的动点，则，，
因为三点共线，设，即，
所以，，
若，则点与点重合，此时，则，，三点共线，不合乎题意，
同理若，则与重合，不合乎题意，所以，，，
因为，，则，，
由（1）得，
因为、不共线，所以，，
所以，所以，
所以，
所以的最小值为，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
（3），
由（2）知，所以，
由点、分别是边、上的动点，为重心且、、三点共线，
由，解得，则，
所以，所以.