2026届高三数学二轮复习讲义：专题突破　专题六　第六讲　函数零点问题（含解析）

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1.(2025·天津，T7)函数f(x)=0.3x-x的零点所在区间是( )
A.(0，0.3)B.(0.3，0.5)
C.(0.5，1)D.(1，2)
2.(2023·全国乙卷文，T8)函数f(x)=x3+ax+2存在3个零点，则a的取值范围是( )
A.(-∞，-2)B.(-∞，-3)
C.(-4，-1)D.(-3，0)
3.(2024·全国甲卷文，T16)曲线y=x3-3x与y=-(x-1)2+a在(0，+∞)上有两个不同的交点，则a的取值范围为 .
4.(2022·全国乙卷理，T21)已知函数f(x)=ln(1+x)+axe-x.
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若f(x)在区间(-1，0)，(0，+∞)各恰有一个零点，求a的取值范围.
命题热度：
本讲是历年高考命题常考的内容，高中低档题目都有考查，三种题型都有所考查，分值约为5~15分.
考查方向：利用函数的图象与性质或导数研究函数的零点与方程的根，主要考查一是判断函数零点所在的区间；二是判断函数零点的个数；三是已知函数零点的个数或区间求参数范围(值).
1.答案 B
解析 由指数函数、幂函数的单调性可知y=0.3x在R上单调递减，y=x在[0，+∞)上单调递增，
所以f(x)=0.3x-x在定义域[0，+∞)上单调递减，又f(0)=1>0，f(0.3)=>0，
f(0.5)=0，则当x∈(-1，0)时，
g(x)=ex+a(1-x2)>0，即f'(x)>0，
所以f(x)在(-1，0)上单调递增，
所以f(x)0，
所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，
所以f(x)>f(0)=0，
故f(x)在(0，+∞)上没有零点，不符合题意.
③若a0，f(x)单调递增，
所以当x∈(0，m)时，f(x)0，
所以g'(x)在(-1，0)上单调递增，
又g'(-1)=1e+2a0，g(x)单调递增，g(x)0得，-20，此时f(x)单调递增；
当x∈x0，π2时，f'(x)1时，s(t)有两个不同的零点.
综上，a>1.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2025·昭通阶段练习)已知定义在R上的函数f(x)满足f(-1)f(0)>0，f(0)f(1)0，又f(x0)0，
所以函数h(x)在(0，1)和(1，e)上单调递减，在(e，+∞)上单调递增，
又当x→0+时，h(x)→0；
当x→1-时，h(x)→-∞；
当x→1+时，h(x)→+∞，h(e)=e；
当x→+∞时，h(x)→+∞，
则h(x)的大致图象如图所示，
所以b0，f(x)在R上单调递增，不符合题意；
当a>0时，令f'(x)=ex-1-a14.(6分)
(1)解 f(x)=a2ln x-sin x的定义域为(0，+∞)，且f'(x)=a2x-cs x.
由题意可得，f'π2=aπ=1π，解得a=1.
(2)解 由(1)可得，f(x)=12ln x-sin x，x>0，
当x∈(0，1]时，12ln x≤0，sin x>0，故f(x)sinπ6=12，故f(x)0，所以g'(x)在0，π2上单调递增，
又g'(0)=-20时，22 025x