2026届高三数学二轮复习讲义：专题突破　专题六　第二讲　函数的图象与性质（含解析）

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1.(2024·全国甲卷，理T7)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sin x在区间[-2.8，2.8]的图象大致为( )
2.(2025·全国Ⅰ卷，T5)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5-2x，则f -34等于( )
A.-12B.-14C.14D.12
3.(多选)(2022·新高考全国Ⅰ卷，T12)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，记g(x)=f'(x).若f 32-2x，g(2+x)均为偶函数，则( )
A.f(0)=0B.g-12=0C.f(-1)=f(4)D.g(-1)=g(2)
4.(2023·全国甲卷文，T14)若f(x)=(x-1)2+ax+sinx+π2为偶函数，则a= .
命题热度：
本讲是历年高考命题必考的内容，高中低档题目都有考查，主要以选择题或填空题的形式进行考查，分值约为10~12分.
考查方向：一是函数的性质，主要考查函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及其性质的综合应用；二是基本初等函数，主要考查幂指对函数的图象与性质；三是函数的图象，主要考查画图、识图以及图象的应用.
1.答案 B
解析 f(-x)=-x2+(e-x-ex)sin(-x)
=-x2+(ex-e-x)sin x=f(x)，
又函数f(x)的定义域为[-2.8，2.8]，
故该函数为偶函数，可排除A，C，
又f(1)=-1+e-1esin 1>-1+e-1esinπ6=e2-1-12e>14-12e>0，
故可排除D.
2.答案 A
解析 由题意知f(x)=f(-x)，f(x+2)=f(x)对一切x∈R成立，
于是f -34=f 34=f 114=5-2×114=-12.
3.答案 BC
解析 方法一 (转化法)因为f 32-2x，g(2+x)均为偶函数，
所以f 32-2x=f 32+2x，
即f 32-x=f 32+x，
g(2+x)=g(2-x)，
所以f(3-x)=f(x)，g(4-x)=g(x)，
则f(-1)=f(4)，故C正确；
函数f(x)，g(x)的图象分别关于直线x=32，x=2对称，
又g(x)=f'(x)，且函数f(x)可导，
所以g32=0，g(3-x)=-g(x)，
所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x)，
所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x)，
所以g-12=g32=0，
g(-1)=g(1)=-g(2)，故B正确，D错误；
若函数f(x)满足题设条件，
则函数f(x)+C(C为常数)也满足题设条件，
所以无法确定f(0)的函数值，故A错误.
方法二 (特例法)因为f 32-2x，g(2+x)均为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x=32对称，函数g(x)的图象关于直线x=2对称.取符合题意的一个函数f(x)=1(x∈R)，则f(0)=1，排除A；
取符合题意的一个函数f(x)=sin πx，则f'(x)=πcs πx，即g(x)=πcs πx，所以g(-1)=πcs(-π)=-π，g(2)=πcs 2π=π，所以g(-1)≠g(2)，排除D.故选BC.
4.答案 2
解析 ∵f(x)=(x-1)2+ax+sinx+π2
=(x-1)2+ax+cs x=x2+(a-2)x+1+cs x，
且函数为偶函数，
∴a-2=0，解得a=2.
经验证，当a=2时满足题意.
考点一 函数的性质
例1 (1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=-x2-2ax-a，xz，A有可能；
令m=5，则x=8，y=9，z=1，此时y>x>z，C有可能；
令m=8，则x=26=64，y=35=243，z=53=125，此时y>z>x，D有可能.
方法二 设2+lg2x=3+lg3y=5+lg5z=t，
则x=2t-2，y=3t-3，z=5t-5.
当x>y时，2t-2>3t-3，解得t3t-3，解得t>5ln5-3ln3ln5-ln3>5.
因此当x>z>y时，t无解，故选B.
[规律方法] (1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问题时，首先要看底数a的取值范围.
(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化.
跟踪演练2 (1)已知函数f(x)=2ax2-x+1的值域为M.若(1，+∞)⊆M，则实数a的取值范围是( )
A.-∞，14
B.0，14
C.-∞，-14∪14，+∞
D.14，+∞
答案 B
解析 当a=0时，f(x)=2-x+1∈(0，+∞)，符合题意；
当a≠0时，因为函数f(x)=2ax2-x+1的值域为M，且满足(1，+∞)⊆M，
由指数函数的单调性可知，二次函数y=ax2-x+1的最小值ymin≤0，
当a>0时，依题意有y=ax2-x+1的最小值4a-14a≤0，即00恒成立，
则f(x)>0，排除C，所以只有D满足.
(2)已知函数f(x)=|lnx|，x>0，2x，x≤0，若a0时，f(x)=|ln x|=lnx，x≥1，-lnx，00>f 12a
答案 A
解析 方法一 因为f(x)的定义域为-1a，13，f(x)为奇函数，所以a=3，则f(x)=ln1+3x1-3x=ln21-3x-1，
因此f(x)在-13，13上为增函数，
f 12a=f 16，f 13a=f 19，且13>16>19>0>-13，
所以f 16>f 19>f(0)=0，
故f 12a>f 13a>0.
方法二 因为f(x)=ln1+ax1-3x为奇函数，所以f(-x)+f(x)=0，
故ln1-ax1+3x+ln1+ax1-3x=ln1-a2x21-9x2=0，
所以1-a2x21-9x2=1，所以a2=9，又a>0，所以a=3，
所以f(x)=ln1+3x1-3x，
又f 12a=f 16=ln 3，
f 13a=f 19=ln 2，
因为ln 3>ln 2>0，故f 12a>f 13a>0.
6.(2025·赣州模拟)已知a=lg23+lg32，b=lg45+lg54，则下列结论正确的是( )
A.a>b>2B.a>2>b
C.b>a>2D.2>a>b
答案 A
解析 设f(x)=x+1x，x>0，
易知f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，则f(x)min=f(1)=2，
且a=lg23+lg32=lg23+1lg23=f(lg23)，
b=lg45+lg54=lg45+1lg45=f(lg45)，
因为lg23>lg25=lg45>1，
所以f(lg23)>f(lg45)>f(1)，即a>b>2.
7.(2025·北京)已知函数f(x)的定义域为D，则“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若函数f(x)的值域为R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)=|M|+1，
取x0=x1，则|f(x0)|=|M|+1>M，充分性成立；
取f(x)=2x，D=R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)=|M|+1，
取x0=x1，则|f(x0)|=|M|+1>M，但此时函数f(x)的值域为(0，+∞)，必要性不成立；
所以“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的充分不必要条件.
8.下列可以作为方程x3+y3=4xy的图象的是( )
答案 D
解析 当x