2026中考数学高频考点一轮复习：因式分解（试题含解析）

这是一份2026中考数学高频考点一轮复习：因式分解（试题含解析），共21页。
A．xyz2B．8xyC．2xyzD．24x2y2z2
2．（2025春•金东区期末）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
B．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2
C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x
D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
3．（2025•肥城市三模）若a、b、c是三个连续自然数，那么下列推断不正确的是（ ）
A．a+b+c一定是3的倍数
B．abc一定是3的倍数
C．a+c＝2b
D．a2+b2+c2一定是3的倍数
4．（2024秋•济源期末）下列说法正确的是（ ）
A．当长方形的周长一定时，相邻两边的长成反比例关系
B．某商品的进价为x元，先按进价的1.1倍标价，后又降价80元出售，现在的售价可以表示为1.1（x﹣80）元
C．观察﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…，则第10个数是512
D．代数式x2+2x+8的意义是x的平方，x的2倍，与8的和
5．（2024秋•闽清县期末）若m为自然数，则（2m+3）2﹣4m2的值总能（ ）
A．被3整除B．被4整除C．被5整除D．被6整除
6．（2025春•沈阳月考）把多项式4x2y2z﹣12xy2﹣6xyz2因式分解，应提取的公因式是（ ）
A．xyzB．4xyzC．2xyD．2x2y2
7．（2025春•安国市期中）若k为任意整数，则（k+2）2﹣（k﹣1）2的值总能（ ）
A．被2整除B．被3整除C．被5整除D．被7整除
8．（2025春•沙坪坝区校级期中）已知整式An＝（ax）n﹣（by）n＝（ax﹣by）[（ax）n﹣1+（ax）n﹣2by+…+ax（by）n﹣2+（by）n﹣1]，其中n为正整数，以下说法：①当n＝3时，存在一个非零数b，使得等式（2x）n﹣（by）n＝（2x﹣by）（4x2+3bxy+b2y2）恒成立；②若a，b是方程m2﹣m﹣3＝0的两根，则存在一个n，使得Anax-by的各项系数之和等于7；③若a+b＝4（a，b均为正整数），A1+A2＝8，则满足条件的整数x，y的值共有两组．其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
9．（2025•花山区校级一模）如果x﹣2是ax2﹣bx+2的一个因式，则2a﹣b的值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
10．（2025•卫滨区校级三模）若m为任意整数，则（2m+6）2﹣36的值总能（ ）
A．被3整除B．被4整除C．被5整除D．被6整除
二．填空题（共5小题）
11．（2025•槐荫区二模）分解因式：9a2﹣4＝ ．
12．（2025春•渝北区校级期中）如果一个四位自然数abcd的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足a2＝b+c+d，那么称这个四位数为“方佳数”．例如：四位数4385，因为42＝3+8+5，所以4385是“方佳数”；四位数4238，因为42≠2+3+8，所以4238不是“方佳数”．若ab62是“方佳数”，则这个数最大是 ；若四位自然数M是“方佳数”，将“方佳数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N，若M+N+44能被33整除，则满足条件的M的最小值 ．
13．（2025春•长寿区校级月考）一个各位数字都不为0的四位正整数p，若千位与个位相同，百位与十位相同，则这个数p为“美轮美奂数”，将千位与十位对调，百位与个位对调，得到一个新“美轮美奂数”p'，规定：F(p)=p-p'33，则F（7337）＝ ．若已知数p为“美轮美奂数”，且十位与个位互不相同，F(p)3是一个完全平方数，则满足条件的P的最大值为 ．
14．（2025春•柴桑区期中）已知a2﹣a﹣1＝0，则代数式﹣a3+2a2+2024的值为 ．
15．（2025春•姜堰区期中）若x﹣2y＝﹣3，则代数式4y2﹣12y+9﹣x2的值为 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春•西安期末）先阅读下列材料，再解答问题：
材料：因式分解：（x+y）2+4（x+y）+4．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则
原式＝A2+4A+4＝（A+2）2，再将“A”还原，得原式＝（x+y+2）2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用整体思想解答下列问题：
（1）因式分解：（a+b）2﹣6（a+b）+9；
（2）求证：若m、n为正整数，则式子（m+2n）（m+2n+18）+81的值一定是某一个整数的平方．
17．（2025春•锦江区校级期中）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”可以把代数公式与几何图形相互转化．请结合乘法公式和几何图形，解答下列问题：
如图EF，GH将长方形ABCD分割为四块长方形，设长方形ABCD，AEIG，GIFD，EBHI，IHCF面积分别为S，S1，S2，S3，S4，AE＝a，EB＝b，AG＝c，GD＝d．
【理解】（1）S1•S4＝ ，S2•S3＝ （用含a，b，c，d的代数式表示）；则S1•S4 S2•S3（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【应用】（2）若S1＝8，S2＝12，S3＝6，AB＝5，求AD的长度．
【迁移】（3）若S4＝S1+4，S2+S3＝14，求（a2+b2）（c2+d2）的值．
18．（2025春•高新区校级期末）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a cm的大正方形，2块是边长为b cm的小正方形，5块长是a cm，宽为b cm的相同的小长方形，且a＞b．
（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为 ；
（2）若图中阴影部分的面积为44cm2，大长方形纸板的周长为36cm，求空白部分的面积．
19．（2025春•睢宁县期中）完全平方公式是重要的数学公式之一，它在代数式的化简、运算、因式分解等方面犴省广泛应用．
（1）请用字母m、n表示完全平方公式： ；
（2）填空：（ ﹣2y）2＝ +12xy+4y2；
（3）已知2x+y＝3，xy＝﹣1，求4x2+y2的值．
20．（2025•武安市三模）阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式，例如：
x2+9x-10=x2+9x+(92)2-(92)2-10=(x+92)2-1214=(x+92+112)(x+92-112)=(x+10)(x-1).根据以上材料，解答下列问题：
（1）用配方法及平方差公式把多项式x2﹣7x+12进行分解因式；
（2）若y＝﹣x2+2x﹣3，当x为多少时y有最值？最值为多少？
（3）求证：不论x，y取何值，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数．
中考数学一轮复习 因式分解
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025春•西安期末）将多项式4xy2z﹣8x2y2z﹣6xyz2分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A．xyz2B．8xyC．2xyzD．24x2y2z2
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】确定多项式的公因式需提取各项系数的最大公约数和共有字母的最低次幂，据此进行分析，即可作答．
【解答】解：根据因式分解可得：将多项式4xy2z﹣8x2y2z﹣6xyz2分解因式时，应提取的公因式是2xyz．
故选：C．
【点评】本题考查了运用公因式法进行因式分解，熟练掌握该知识点是关键．
2．（2025春•金东区期末）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
B．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2
C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x
D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
【考点】因式分解的意义．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】将一个多项式写成几个整式的积的形式叫因式分解，据此逐个判断即可得到答案．
【解答】解：根据因式分解的定义逐项分析判断如下：
A、（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意；
B、x2+2x﹣1≠（x﹣1）2不是因式分解，不符合题意；
C、x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意；
D、x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）是因式分解，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查因式分解的意义，熟练掌握定义是关键．
3．（2025•肥城市三模）若a、b、c是三个连续自然数，那么下列推断不正确的是（ ）
A．a+b+c一定是3的倍数
B．abc一定是3的倍数
C．a+c＝2b
D．a2+b2+c2一定是3的倍数
【考点】因式分解的应用；倍数．
【专题】整式；应用意识．
【答案】D
【分析】设a、b、c这三个连续的自然数为x﹣1、x、x+1（x≥1），
对于A，a+b+c＝3x，所以a+b+c一定是3的倍数；
对于B，三个连续的自然数中，一定有一个数是3的倍数，所以abc一定是3的倍数；
对于C，a+c＝x﹣1+x+1＝2x＝2b；
对于D，a2+b2+c2＝3x2+2，3x2+2除以3余2，不是3的倍数．
【解答】解：设a、b、c这三个连续的自然数为x﹣1、x、x+1（x≥1），
a+b+c＝x﹣1+x+x+1＝3x，
3x是3的倍数，所以a+b+c一定是3的倍数．
故A正确；
三个连续的自然数中，一定有一个数是3的倍数，所以abc一定是3的倍数，
故B正确；
a+c＝x﹣1+x+1＝2x＝2b，
即a+c＝2b．
故C正确；
a2+b2+c2
＝（x﹣1）2+x2+（x+1）2
＝x2﹣2x+1+x2+x2+2x+1
＝3x2+2，
3x2+2除以3余2，不是3的倍数，
所以a2+b2+c2不是3的倍数．
故D错误．
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的应用、倍数，解决本题的关键是表示出代数式的值．
4．（2024秋•济源期末）下列说法正确的是（ ）
A．当长方形的周长一定时，相邻两边的长成反比例关系
B．某商品的进价为x元，先按进价的1.1倍标价，后又降价80元出售，现在的售价可以表示为1.1（x﹣80）元
C．观察﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…，则第10个数是512
D．代数式x2+2x+8的意义是x的平方，x的2倍，与8的和
【考点】因式分解的应用；规律型：图形的变化类．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据字母表示数，数字类规律探究，列代数式以及代数式的意义根据以上知识逐项分析判断，即可求解．
【解答】解：根据字母表示数，数字类规律探究，列代数式以及代数式的意义根据以上知识逐项分析判断如下：
A．当长方形的周长一定时，相邻两边的长不成反比例关系，故该选项不正确，不符合题意；
B．某商品的进价为x元，先按进价的1.1倍标价，后又降价80元出售，现在的售价可以表示为（1.1x﹣80）元，故该选项不正确，不符合题意；
C．观察﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…，则第10个数是1024，故该选项不正确，不符合题意；
D．代数式x2+2x+8的意义是x的平方，x的2倍，与8的和，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了用字母表示数，数字类规律探究，列代数式以及代数式的意义，正确记忆相关知识点是解题关键．
5．（2024秋•闽清县期末）若m为自然数，则（2m+3）2﹣4m2的值总能（ ）
A．被3整除B．被4整除C．被5整除D．被6整除
【考点】因式分解的应用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】先将（2m+3）2﹣4m2转化为3（4m+3），即可得出结论．
【解答】解：（2m+3）2﹣4m2
＝4m2+12m+9﹣4m2
＝12m+9
＝3（4m+3），
∵m为自然数，
∴（2m+3）2﹣4m2的值总能被3整除，
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解的应用，掌握因式分解是解题的关键．
6．（2025春•沈阳月考）把多项式4x2y2z﹣12xy2﹣6xyz2因式分解，应提取的公因式是（ ）
A．xyzB．4xyzC．2xyD．2x2y2
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】先找出4x2y2z﹣12xy2﹣6xyz2的公因式是2xy，进行作答即可．
【解答】解：4x2y2z﹣12xy2﹣6xyz2的公因式是2xy，
∴把多项式因式分解，应提取的公因式是2xy，
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握该知识点是关键．
7．（2025春•安国市期中）若k为任意整数，则（k+2）2﹣（k﹣1）2的值总能（ ）
A．被2整除B．被3整除C．被5整除D．被7整除
【考点】因式分解的应用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】利用平方差公式，将（k+2）2﹣（k﹣1）2进行因式分解，然后分析分解后的式子的特征，从而判断值的特点．
【解答】解：（k+2）2﹣（k﹣1）2
＝（k+2+k﹣1）（k+2﹣k+1）
＝（2k+1）×3
＝3（2k+1），
因为k为任意整数，
所以3（2k+1）能被3整除．
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是将原始分解因式．
8．（2025春•沙坪坝区校级期中）已知整式An＝（ax）n﹣（by）n＝（ax﹣by）[（ax）n﹣1+（ax）n﹣2by+…+ax（by）n﹣2+（by）n﹣1]，其中n为正整数，以下说法：①当n＝3时，存在一个非零数b，使得等式（2x）n﹣（by）n＝（2x﹣by）（4x2+3bxy+b2y2）恒成立；②若a，b是方程m2﹣m﹣3＝0的两根，则存在一个n，使得Anax-by的各项系数之和等于7；③若a+b＝4（a，b均为正整数），A1+A2＝8，则满足条件的整数x，y的值共有两组．其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【考点】因式分解的应用；一元二次方程的一般形式；根与系数的关系；幂的乘方与积的乘方．
【专题】因式分解．
【答案】B
【分析】读懂题意，根据各个说法，逐项验证即可得到答案，理解题中各项要求，转化为相关知识求解是解决问题的关键．
【解答】解：当n＝3时，
A3＝（ax）3﹣（by）3＝（ax﹣by）[（ax）2+（ax）（by）+（by）2]，
即（2x）n﹣（by）n＝（2x﹣by）（4x2+3bxy+b2y2）＝（2x﹣by）[（2x）2+（2x）（by）+（by）2]，
∴（2x﹣by）（4x2+3bxy+b2y2）＝（2x﹣by）（4x2+2bxy+b2y2），
则3b＝2b，解得b＝0，
∴当n＝3时，不存在一个非零数b，使得等式（2x）n﹣（by）n＝（2x﹣by）（4x2+3bxy+b2y2）恒成立，
故①错误；
∵An=(ax)n-(by)n=(ax-by)[(ax)n-1+(ax)n-2by+⋯+ax(by)n-2+(by)n-1]，
∴Anax-by=（ax）n﹣1+（ax）n﹣2by+…+ax（by）n﹣2+（by）n﹣1，
则当x＝y＝1时，Anax-by的各项系数之和为an﹣1+an﹣2b+⋯+abn﹣2+bn﹣1，
∴an-1+an-2b+⋯+abn-2+bn-1=an-bna-b，
令Sn=an-bna-b=an-1+an-2b+⋯+abn-2+bn-1，
则Sn-1=an-1-bn-1a-b=an-2+an-3b+⋯+abn-3+bn-2，Sn﹣2=an-2-bn-2a-b=an﹣3+an﹣4b+...+abn﹣4+bn﹣3，
∵（a+b）an-1-bn-1a-b-aban-2-bn-2a-b=an-abn-1+an-1b-bna-b-an-1b-abn-1a-b=an-bna-b，
∴Sn＝（a+b）Sn﹣1﹣abSn﹣2，
∵a，b是方程m2﹣m﹣3＝0的两根，
∴a+b＝1，ab＝﹣3，
则Sn＝Sn﹣1+3Sn﹣2，
当n＝1时，S1=a1-b1a-b=1；
当n＝2时，S2=a2-b2a-b=a+b＝1；
当n＝3时，S3＝S2+3S1＝1+3＝4；
当n＝4时，S4＝S3+3S2＝4+3＝7；
∴若a，b是方程m2﹣m﹣3＝0的两根，则存在一个n＝4，使得A4ax-by的各项系数之和等于7，
故②正确；
若a+b＝4（a，b均为正整数），则a=1b=3 或a=2b=2或a=3b=1，
∵An＝（ax）n﹣（by）n＝（ax﹣by）[（ax）n﹣1+（ax）n﹣2by+…+ax（by）n﹣2+（by）n﹣1]，
∴A1＝ax﹣by，A2＝（ax）2﹣（by）2＝（ax﹣by）（ax+by），
∵A1+A2＝8，
∴（ax﹣by）（ax+by+1）＝8，
当a=1b=3时，则（x﹣3y）（x+3y+1）＝8，
∴x-3y=-1x+3y+1=-8或x-3y=-2x+3y+1=-4 或x-3y=1x+3y+1=8或x-3y=2x+3y+1=4或x-3y=-8x+3y+1=-1或x-3y=-4x+3y+1=-2或x-3y=8x+3y+1=1或x-3y=4x+3y+1=2，
则x-3y=1x+3y+1=8有整数解x=4y=1，x-3y=-8x+3y+1=-1有整数解x=-5y=1，
此情况，满足条件的整数x，y的值共有2组，
当a=2b=2时，则（2x﹣2y）（2x+2y+1）＝8，
∴2x-2y=-12x+2y+1=-8或2x-2y=-22x+2y+1=-4或2x-2y=12x+2y+1=8或2x-2y=22x+2y+1=4或2x-2y=-82x+2y+1=-1或2x-2y=-42x+2y+1=-2或2x-2y=82x+2y+1=1或2x-2y=42x+2y+1=2，
则2x-2y=82x+2y+1=1有整数解x=2y=-2，
此情况，满足条件的整数x，y的值共有1组，
当a=3b=1时，则 （3x﹣y）（3x+y+1）＝8，
∴3x-y=-13x+y+1=-8或3x-y=-23x+y+1=-4或3x-y=13x+y+1=8或3x-y=23x+y+1=4或3x-y=-83x+y+1=-1或3x-y=-43x+y+1=-2或3x-y=83x+y+1=1或3x-y=43x+y+1=2，
此情况，没有满足条件的整数x，y的值，
综上所述，若a+b＝4（a，b均为正整数），A1+A2＝8，则满足条件的整数x，y的值共有三组，
故③错误；
综上所述，说法正确的是②，共1个．
故选：B．
【点评】本题考查新定义问题，难度较大，涉及整式运算、因式分解、解二元一次方程等知识．
9．（2025•花山区校级一模）如果x﹣2是ax2﹣bx+2的一个因式，则2a﹣b的值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【考点】因式分解的意义．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据题意可知x＝2是方程ax2﹣bx+2＝0的一个根，然后代入解题即可．
【解答】解：由条件可知当x＝2时，ax2﹣bx+2＝4a﹣2b+2＝0，
解得：2a﹣b＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握该知识点是关键．
10．（2025•卫滨区校级三模）若m为任意整数，则（2m+6）2﹣36的值总能（ ）
A．被3整除B．被4整除C．被5整除D．被6整除
【考点】因式分解的应用．
【专题】整式；应用意识．
【答案】B
【分析】先利用完全平方公式将式子展开，然后用提公因式法将式子进行因式分解，求出式子能被4整除．
【解答】解：（2m+6）2﹣36
＝4m2+24m+36﹣36
＝4m2+24m
＝4（m2+6），
因为4（m2+6）能被4整除，
所以（2m+6）2﹣36能被4整除．
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是用提公因式法将式子进行因式分解．
二．填空题（共5小题）
11．（2025•槐荫区二模）分解因式：9a2﹣4＝ （3a﹣2）（3a+2） ．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：9a2﹣4＝（3a﹣2）（3a+2）．
故答案为：（3a﹣2）（3a+2）．
【点评】此题主要考查了平方差公式分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
12．（2025春•渝北区校级期中）如果一个四位自然数abcd的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足a2＝b+c+d，那么称这个四位数为“方佳数”．例如：四位数4385，因为42＝3+8+5，所以4385是“方佳数”；四位数4238，因为42≠2+3+8，所以4238不是“方佳数”．若ab62是“方佳数”，则这个数最大是 4862 ；若四位自然数M是“方佳数”，将“方佳数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N，若M+N+44能被33整除，则满足条件的M的最小值 4169 ．
【考点】因式分解的应用．
【专题】整式；推理能力．
【答案】4862；4169．
【分析】根据“方佳数”的定义可得a2＝b+6+2即a=b+6+2，再确定a的最大值及b的值即可解答；设这个四位数M＝abcd，则N＝badc，再结合“方佳数”的定义，得出M+N+4＝1089（a+b）+11（a+a2+1）+33，再由M+N+44能被33整除可知a+a2+13是整数，得到满足条件的a的值为4，进而得出满足条件的等式，即可得到M的最小值．
【解答】解：ab62是“方佳数”，
∴a2＝b+6+2，即a=b+6+2，
∴当b＝8时，a有最大值4，
∴这个数最小是4862；
设这个四位数M＝abcd，则N＝badc，
∴M+N+44
＝1000a+100b+10c+d+1000b+100a+10d+c+44
＝1100a+1100b+11c+11a+44
＝（1089a+1089b）+（11a+11b+11c+11d）+44
＝1089（a+b）+11（a+b+c+d）+44，
∵四位数M是“方佳数”，
∴a2＝b+c+d，
∴M+N+44＝1089（a+b）+11（a+a2）+33+11＝1089（a+b）+11（a+a2+1）+33，
∵M+N+44能被33整除，
∴M+N+4433=1089(a+b)+11(a+a2+1)+3333=33(a+b)+1+a+a2+13是整数，
∴a+a2+13是整数且a≠b≠c≠d，0＜a≤9，0＜b≤9，0＜c≤9，0＜d≤9，
∴满足条件的a的值为4，
∴b+c+d＝a2＝16，
∵要求M的最小值，则b＝1，c＝6，d＝9，
∴满足条件的M的最小值是4169，
故答案为：4862；4169．
【点评】本题考查了新定义下的实数运算、一元一次方程的应用等知识点，理解新定义、正确推理计算是解题关键．
13．（2025春•长寿区校级月考）一个各位数字都不为0的四位正整数p，若千位与个位相同，百位与十位相同，则这个数p为“美轮美奂数”，将千位与十位对调，百位与个位对调，得到一个新“美轮美奂数”p'，规定：F(p)=p-p'33，则F（7337）＝ 108 ．若已知数p为“美轮美奂数”，且十位与个位互不相同，F(p)3是一个完全平方数，则满足条件的P的最大值为 8448 ．
【考点】因式分解的应用；完全平方式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】108；8448．
【分析】根据p＝7337代入代数式计算即可；设p=abba，则p'=baab，由题意得F(p)3=9a-9b，由F(p)3是一个完全平方数，结合a，b的取值范围，可得a﹣b＝4，从而得到P的最大值．
【解答】解：当p＝7337时，F(p)=p-p'33=7337-377333=108．
设p=abba，则p'=baab，
∵p﹣p′＝891a﹣891b，
∴F(p)=891a-891b33=27a-27b，
∴F(p)3=27a-27b3=9a-9b，
由条件可知9（a﹣b）是一个完全平方数，
∵1≤a≤9，1≤b≤9，
∴﹣8≤a﹣b≤8，
∴a﹣b＝4，即a＝4+b，
当b＝4时，a有最大值8，
此时P的最大值为8448．
故答案为：108，8448．
【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握该知识点是关键．
14．（2025春•柴桑区期中）已知a2﹣a﹣1＝0，则代数式﹣a3+2a2+2024的值为 2025 ．
【考点】因式分解的应用．
【专题】整式；应用意识．
【答案】2025．
【分析】因为a2﹣a﹣1＝0，所以a2﹣a＝1，代入到代数式中，将式子进行降次处理，化简计算即可．
【解答】解：因为a2﹣a﹣1＝0，
所以a2﹣a＝1，
﹣a3+2a2+2024
＝﹣a3+2a2﹣（a2﹣a﹣1）+2024
＝﹣a3+a2+a+2025
＝﹣a（a2﹣a）+a+2025
＝﹣a+a+2025
＝2025．
故答案为：2025．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解决问题的关键是利用已知的式子对高次项进行降次处理，然后化简计算．
15．（2025春•姜堰区期中）若x﹣2y＝﹣3，则代数式4y2﹣12y+9﹣x2的值为 0 ．
【考点】因式分解的应用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】0．
【分析】将原式进行因式分解可得，原式＝（2y﹣3）2﹣x2＝（2y﹣3﹣x）（2y﹣3+x），因为x﹣2y＝﹣3，所以2y﹣3﹣x＝0，所以原式＝0．
【解答】解：因为x﹣2y＝﹣3，
所以2y﹣3﹣x＝0，
4y2﹣12y+9﹣x2
＝（2y﹣3）2﹣x2
＝（2y﹣3﹣x）（2y﹣3+x）
＝0×（2y﹣3+x）
＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是将要求出的式子进行因式分解．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春•西安期末）先阅读下列材料，再解答问题：
材料：因式分解：（x+y）2+4（x+y）+4．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则
原式＝A2+4A+4＝（A+2）2，再将“A”还原，得原式＝（x+y+2）2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用整体思想解答下列问题：
（1）因式分解：（a+b）2﹣6（a+b）+9；
（2）求证：若m、n为正整数，则式子（m+2n）（m+2n+18）+81的值一定是某一个整数的平方．
【考点】因式分解的应用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）（a+b﹣3）2；
（2）见解析．
【分析】（1）利用整体思想结合完全平方公式分解因式；
（2）利用整体思想结合完全平方公式分解因式．
【解答】（1）解：令a+b＝P，
则原式＝P2﹣6P+9＝（P﹣3）2．
再将“P”还原，得原式＝（a+b﹣3）2．
（2）证明：令m+2n＝Q，
则原式＝Q（Q+18）+81＝Q2+18Q+81＝（Q+9）2．
再将“Q”还原，得原式＝（m+2n+9）2．
∵m、n为正整数，
∴m+2n+9为整数，
∴式子（m+2n）（m+2n+18）+81的值一定是某一个整数的平方．
【点评】本题考查了利用全平方公式分解因式，解题关键是掌握利用全平方公式分解因式．
17．（2025春•锦江区校级期中）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”可以把代数公式与几何图形相互转化．请结合乘法公式和几何图形，解答下列问题：
如图EF，GH将长方形ABCD分割为四块长方形，设长方形ABCD，AEIG，GIFD，EBHI，IHCF面积分别为S，S1，S2，S3，S4，AE＝a，EB＝b，AG＝c，GD＝d．
【理解】（1）S1•S4＝ abcd ，S2•S3＝ abcd （用含a，b，c，d的代数式表示）；则S1•S4 ＝ S2•S3（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【应用】（2）若S1＝8，S2＝12，S3＝6，AB＝5，求AD的长度．
【迁移】（3）若S4＝S1+4，S2+S3＝14，求（a2+b2）（c2+d2）的值．
【考点】因式分解的应用；多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景．
【专题】整式；推理能力．
【答案】（1）abcd；abcd；＝；
（2）AD＝7；
（3）212．
【分析】（1）根据长方形面积计算公式分别表示出S1，S2，S3，S4即可得到答案；
（2）根据（1）所求求出S4，进而可求出S的值，再由长方形面积计算公式可得答案；
（3）根据题意可得bd＝ac+4，ad+bc＝14，则 ac﹣ba＝4；再证明（ac﹣bd）2+（ad+bc）2＝（a2+b2）（c2+d2），据此代值计算即可．
【解答】解：（1）由题意得，S1＝ac，S4＝bd，S2＝ad，S3＝bc，
∴S1•S4＝abcd，S2•S3＝abcd，
∴S1•S4＝S2•S3；
故答案为：abcd；abcd；＝；
（2）∵S1＝8，S2＝12，S3＝6，S1•S4＝S2•S3，
∴S4＝9，
∴S＝S1+S4+S2+S3＝8+12+6+9＝35，
∴S＝AB•AD＝35，
又∵AB＝5，
∴AD＝7；
（3）∵S4＝S1+4，S2+S3＝14，
∴bd＝ac+4，ad+bc＝14，
∴ac﹣ba＝4；
∵（ac﹣bd）2+（ad+bc）2
＝a2c2﹣2abcd+b2d2+a2d2+2abcd+b2c2
＝（a2c2+a2d2）+（b2d2+b2c2）
＝a2（c2+d2）+b2（c2+d2）
＝（a2+b2）（c2+d2），
∴（a2+b2）（c2+d2）＝42+142＝212．
【点评】本题主要考查了列代数式，因式分解的应用，正确理解题意是解题的关键．
18．（2025春•高新区校级期末）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a cm的大正方形，2块是边长为b cm的小正方形，5块长是a cm，宽为b cm的相同的小长方形，且a＞b．
（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为 （a+2b）（b+2a） ；
（2）若图中阴影部分的面积为44cm2，大长方形纸板的周长为36cm，求空白部分的面积．
【考点】因式分解的应用；列代数式；因式分解的意义．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）（a+2b）（b+2a）；
（2）35cm2．
【分析】（1）题目中给的代数式是图形的面积，因式分解恰好是长方形形长与宽的乘积从而得出答案；
（2）根据长方形的周长是2（3a+3b）＝36即可得出a+b的值；由图可得空白部分的面积是5ab，故我们可以根据求出的a+b的值，以及阴影部分的面积，即可推出空白部分的面积．
【解答】解：（1）通过观察图形可以得出图形的面积是：（2a2+5ab+2b2）cm2，
长方形的长是（2a+b）cm，宽是（a+2b）cm，
由此可得：2a2+5ab+2b2＝（a+2b）（b+2a），
故答案为：（a+2b）（b+2a）；
（2）根据题意可得：
2（2a+b+a+2b）＝36，
6（a+b）＝36，
a+b＝6，
∵阴影部分的面积为44cm2，
且阴影部分的面积表示为2a2+2b2，
故a2+b2＝22，
∵（a+b）2﹣2ab＝a2+b2，
∴62﹣2ab＝22，
∴ab＝7，
∴5ab＝35．
答：空白部分的面积为35cm2．
【点评】本题考查了因式分解的应用．熟练掌握因式分解的方法是根据．
19．（2025春•睢宁县期中）完全平方公式是重要的数学公式之一，它在代数式的化简、运算、因式分解等方面犴省广泛应用．
（1）请用字母m、n表示完全平方公式： （m±n）2＝m2±2mn+n2 ；
（2）填空：（ ﹣3x ﹣2y）2＝ 9x2 +12xy+4y2；
（3）已知2x+y＝3，xy＝﹣1，求4x2+y2的值．
【考点】因式分解的应用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）（m±n）2＝m2±2mn+n2；
（2）﹣3x，9x2；
（3）13．
【分析】（1）直接用m、n表示出完全平方公式即可；
（2）根据完全平方公式的展开式，推算出未知项；
（3）利用完全平方公式解答即可．
【解答】解：（1）（m±n）2＝m2±2mn+n2，
故答案为：（m±n）2＝m2±2mn+n2；
（2）（﹣3x﹣2y）2
＝（3x+2y）2
＝9x2+12xy+4y2，
故答案为：﹣3x，9x2；
（3）因为2x+y＝3，xy＝﹣1，
所以4x2+y2
＝（2x+y）2﹣4xy
＝32﹣4×（﹣1）
＝13．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是熟练运用完全平方公式应用．
20．（2025•武安市三模）阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式，例如：
x2+9x-10=x2+9x+(92)2-(92)2-10=(x+92)2-1214=(x+92+112)(x+92-112)=(x+10)(x-1).根据以上材料，解答下列问题：
（1）用配方法及平方差公式把多项式x2﹣7x+12进行分解因式；
（2）若y＝﹣x2+2x﹣3，当x为多少时y有最值？最值为多少？
（3）求证：不论x，y取何值，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数．
【考点】因式分解﹣十字相乘法等；因式分解﹣运用公式法；因式分解﹣分组分解法．
【专题】计算题；整式；应用意识．
【答案】（1）（x﹣3）（x﹣4）；（2）当x＝1时，y有最大值，最大值为﹣2；（3）证明详见解答．
【分析】（1）仿照题例，利用配方法分解得结论；
（2）（3）先利用配方法，再利用完全平方的非负性可得结论．
【解答】解：（1）x2﹣7x+12
＝x2﹣7x+（72）2﹣（72）2+12
＝（x-72）2-14
＝（x-72+12）（x-72-12）
＝（x﹣3）（x﹣4）．
（2）y＝﹣x2+2x﹣3
＝﹣（x2﹣2x+1）﹣3+1
＝﹣（x﹣1）2﹣2．
∵（x﹣1）2≥0，
∴﹣（x﹣1）2≤0．
∴当x＝1时，y有最大值，最大值为﹣2．
答：当x为1时y有最大值，最值为﹣2．
（3）证明：x2+y2﹣4x+2y+6
＝x2﹣4x+4+y2+2y+1+1
＝（x﹣2）2+（y+1）2+1．
∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，
∴（x﹣2）2+（y+1）2+1≥1＞0，
∴不论x，y取何值，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数．
【点评】本题考查了整式的因式分解，读懂题例，理解配方法和完全平方式的非负性是解决本题的关键．