2026中考数学高频考点一轮复习：图形认识初步（试题含解析）

这是一份2026中考数学高频考点一轮复习：图形认识初步（试题含解析），共23页。

A．南偏西50°的100m处B．南偏东50°的100m处
C．北偏西50°的100m处D．北偏东50°的100m处
2．（2025春•抚州）如图，A，O，B三点在同一直线上，且OC平分∠BOD，OE平分∠AOD，下列结论：①∠BOC与∠AOE互余；②∠BOE与∠EOD互补；③∠AOD+∠BOE﹣∠DOE＝180°；④∠AOC﹣∠BOC＝2∠DOE．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2024秋•西陵区）如图1，现将正方体相对的两个面涂上阴影，再将正方体沿某些棱剪开，得到如图2所示的展开图，则没有被剪开的棱有（ ）
A．BFB．FGC．CDD．GH
4．（2024秋•西陵区）如图，点C，D在线段AB上，若AC＝BD，则（ ）
A．AB＝2ACB．CD＝DBC．AD＝2CDD．AD＝BC
5．（2024秋•丹东）已知∠AOB＝75°，∠BOC＝35°，则∠AOC的度数为（ ）
A．40°B．110°C．40°或110°D．无法确定
6．（2025•鹤壁一模）某正方体的每个面上都有一个汉字，它的一个平面展开图如图所示，在原正方体中，与“你”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．祝B．你C．成D．功
7．（2025•冷水滩区模拟）六线谱是世界上通用的一种专为吉他设计的记谱方法，它是由六根间隔相等的粗线组成的．如图是一个六线谱，A，B，C三点在同一直线上．若AC＝3.6cm，则BC长为（ ）
A．3.2cmB．3cmC．2.8cmD．2.7cm
8．（2025•上城区三模）为了提高学生体质，2025年新学期国家出台了“中小学课间延长至15分，每天1节体育课”政策，孩子们有了更多时间进行体育锻炼．如图，有一次大课间，A、B两处均有学生在练跳绳，为了减少练跳绳时相互干扰，小红同学就拿着跳绳走到了∠AOB的平分线上的C处，则C处相对观测点O的方向为（ ）
A．南偏东53.5°B．东偏南38°30′
C．南偏东52°30′D．东偏南82.5°
9．（2025春•海淀区月考）如图，l是一条水平线，有一条细线，其中一端系着小球，另一端固定在A点，小球由点B出发向点C摆动，B，C的位置均不高出直线l，在小球从左向右摆动的过程中，系小球的线在水平线l下方部分的线段长度（ ）
A．逐渐变短B．逐渐变长
C．先变短，后变长D．先变长，后变短
10．（2025•松原模拟）在学校可以看到一种现象，有同学不由自主地转动手中的笔．同学的转笔过程可以看成一条直线绕一个点旋转，其示意图如图所示，若∠AOC＝40°，OB恰好平分∠AOC，则∠1＝（ ）
A．15°B．20°C．40°D．160°
二．填空题（共5小题）
11．（2025春•南岗区月考）如图所示，∠A＝100°，作BC的延长线CD，∠ABC与∠ACD的角分线相交于A1，∠A1BC与∠A1CD的角分线相交于A2⋯以此类推，∠A5BC与∠A5CD的角分线相交于A6，则∠A6＝ 度．
12．（2024秋•东莞市）将一张长方形纸片ABCD按如图所示方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠EAF＝41°，则∠B′AD′的度数为 ．
13．（2025•冷水滩区模拟）如图，B、C两点把线段AD分成了三部分，且AB：BC：CD＝2：5：3，M为AD的中点，若AD＝24cm，则CM长为 ．
14．（2025春•闵行区）把一个长30dm的圆柱平均分成6段小圆柱，表面积增加了31.4dm2，原来这个圆柱的体积是 dm3．
15．（2025春•通榆县）A，B，C，D四位同学准备从斑马线上的点P处过马路，四人所走路线如图所示，假设四人速度相等，则最先通过马路的是 ，原因是 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春•长宁区）蒙古包，作为蒙古族传统的居住形式，承载着浓厚的游牧文化和历史底蕴．它的上面近似于圆锥形，下面近似于圆柱形．如图，一个蒙古包圆柱底面的周长是20πm，高是2m，圆锥的高是1.2m．
（1）蒙古包的上面圆锥部分的侧面展开图是 （填图形名称）；下面圆柱部分的侧面展开图是 （填图形名称），圆柱部分的侧面展开图的面积是 m2（结果保留π）．
（2）这个蒙古包的体积是多少立方米？（结果保留π）．
17．（2025•蜀山区三模）【综合与实践】某校在10周年校庆前设计了吉祥物“育育”挂件，并根据挂件尺寸设计了长方体的包装盒．设计组有细心的同学发现，把吉祥物“育育”装进包装盒后，拐角处还空余不少空间，这样比较浪费，所以打算进一步探究节省材料的方案．
任务1探究：对于底面积和高一定的长方体包装盒，什么情况下最省材料（即表面积最小）？
通过探究发现，问题等价于“底面矩形的面积一定时，周长何时最小？”设计组先假定底面积为16，列出下表：
根据表格，可猜测：矩形的面积一定时， 时周长最小．
为了证明上述猜测，小丫同学假设矩形面积为a2，设两邻边长分别为a﹣x和a+y（x，y均为非负数），则（a﹣x）（a+y）＝a2，得y-x=xya．
…（请表示出周长并补全后续的证明过程）．
任务2计算对比，合理优化．
设计组之前设计的长方体包装盒的尺寸为：长7cm、宽4cm、高5cm，小明同学在保持底面积不变小的前提下，建议将包装盒形状改为底面直径为6cm的圆，高保持不变的圆柱体，从节省材料的角度来看，你觉得合理吗？请判断并说明理由．
18．（2025春•西湖区）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多．
素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形．
素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图．
素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到m张小长方形和n张小正方形，做成x个横式叠盖纸盒和y个竖式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完．
【任务1】若m＝158，求n，x，y的值；
【任务2】求x+y的最大值．
19．（2025春•浦东新区）如图，在△ABE中，点C在BE上，∠B＝∠EAC，AD平分∠BAC，交BC于点D，点F是线段AD的中点，联结EF，∠AEF与∠DEF相等吗？请说明理由．
解：结论： ；
∵AD平分∠BAC，
∴ ，
∵∠EDA＝ + （ ），
又∵∠B＝∠EAC，
∴∠EDA＝ + ，
∴∠EDA＝ ．
请完成后面的说理过程．
20．（2025春•宝山区）据国家粮食和物资储备局发布，截至2024年9月30日，主产区各类粮食企业累计收购2024年度夏粮7503万吨，同比增加642万吨，收购市场总体平稳．图1是某“粮仓”的示意图．
（1）该粮仓的示意图可以由图2中的图 旋转一周后得到；
（2）求该“粮仓”的体积．（结果保留π）
中考数学一轮复习 图形认识初步
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025春•洛阳）如图，从校门看教室的位置，下列描述正确的是（ ）
A．南偏西50°的100m处B．南偏东50°的100m处
C．北偏西50°的100m处D．北偏东50°的100m处
【考点】方向角．
【专题】平面直角坐标系；应用意识．
【答案】C
【分析】根据图示，运用方位角及距离表示地理位置即可．
【解答】解：根据题意是北偏西50°的100m处，
故选：C．
【点评】本题考查了方位角、距离表示地理位置，掌握方位角的表示方法是关键．
2．（2025春•抚州）如图，A，O，B三点在同一直线上，且OC平分∠BOD，OE平分∠AOD，下列结论：①∠BOC与∠AOE互余；②∠BOE与∠EOD互补；③∠AOD+∠BOE﹣∠DOE＝180°；④∠AOC﹣∠BOC＝2∠DOE．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】余角和补角；角平分线的定义．
【专题】推理能力．
【答案】D
【分析】由题意得∠BOD+∠AOD＝∠AOB＝180°，∠BOC=∠COD=12∠BOD，∠AOE=∠EOD=12∠AOD，据此逐项判断即可求解．
【解答】解：∵A、O、B三点在同一直线上，
∴∠BOD+∠AOD＝180°，
∵OC平分∠BOD，
∴∠BOC=∠COD=12∠BOD，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE=∠EOD=12∠AOD，
∴∠BOC+∠AOE=12∠BOD+12∠AOD=12(∠BOD+∠AOD)=12×180°=90°，
∴∠BOC与∠AOE互余，故①正确；
∵∠BOE+∠EOD＝∠BOE+∠AOE＝∠AOB＝180°，
∴∠BOE与∠EOD互补，故②正确；
∵∠AOD+∠BOE﹣∠DOE＝∠AOD+∠BOD+∠DOE﹣∠DOE＝∠AOD+∠BOD＝∠AOB＝180°，
∴③正确；
∵∠AOC﹣∠BOC＝∠AOD+∠COD﹣∠BOC＝∠AOD＝2∠DOE，
∴④正确；
综上，正确的有4个，
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的定义，掌握余角、补角的定义，角的和差是解题的关键．
3．（2024秋•西陵区）如图1，现将正方体相对的两个面涂上阴影，再将正方体沿某些棱剪开，得到如图2所示的展开图，则没有被剪开的棱有（ ）
A．BFB．FGC．CDD．GH
【考点】几何体的展开图．
【专题】展开与折叠；空间观念．
【答案】D
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行解答即可．
【解答】解：如图2，由展开图的形状可知，棱GH没有被剪开，
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的展开图，熟记正方体的展开图的11结构种形式是解题的关键．
4．（2024秋•西陵区）如图，点C，D在线段AB上，若AC＝BD，则（ ）
A．AB＝2ACB．CD＝DBC．AD＝2CDD．AD＝BC
【考点】两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】D
【分析】根据AC+CD＝BD+CD可得答案．
【解答】解：由条件可知AC+CD＝BD+CD，
即AD＝BC．
故选：D．
【点评】本题主要考查了线段的和差．熟练掌握该知识点是关键．
5．（2024秋•丹东）已知∠AOB＝75°，∠BOC＝35°，则∠AOC的度数为（ ）
A．40°B．110°C．40°或110°D．无法确定
【考点】角的计算．
【专题】推理能力．
【答案】C
【分析】分两种情况讨论，一是OC在∠AOB内部，二是OC在∠AOB外部，利用角的和差关系计算即可．
【解答】解：分两种情况讨论，
①当OC在∠AOB内部时，如图1，
∵∠AOB＝75°，∠BOC＝35°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝40°；
②当OC在∠AOB外部时，如图2，
∵∠AOB＝75°，∠BOC＝35°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝110°，
综上可知，∠AOC为40°或110°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平面内角的运算，根据射线OC的位置不同，分类讨论是解题的关键．
6．（2025•鹤壁一模）某正方体的每个面上都有一个汉字，它的一个平面展开图如图所示，在原正方体中，与“你”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．祝B．你C．成D．功
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．
【专题】展开与折叠；空间观念．
【答案】D
【分析】正方体的平面展开图中，相对面之间一定相隔一个正方形，据此解答即可求解．
【解答】解：根据正方体平面展开图特征可知：“你”字所在面相对的面上的汉字是“功”，
故选：D．
【点评】本题考查了正方体的展开图，掌握正方体的展开图特征是关键．
7．（2025•冷水滩区模拟）六线谱是世界上通用的一种专为吉他设计的记谱方法，它是由六根间隔相等的粗线组成的．如图是一个六线谱，A，B，C三点在同一直线上．若AC＝3.6cm，则BC长为（ ）
A．3.2cmB．3cmC．2.8cmD．2.7cm
【考点】两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】过C作CD⊥点A所在的平行横线于E，交点B所在的平行横线于D，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案．
【解答】解：如图，过C作CD⊥点A所在的平行横线于E，交点B所在的平行横线于D，
由条件可知BCAC=CDCE，
即BC3.6=34，
解得：BC＝2.7，
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟练掌握该知识点是关键．
8．（2025•上城区三模）为了提高学生体质，2025年新学期国家出台了“中小学课间延长至15分，每天1节体育课”政策，孩子们有了更多时间进行体育锻炼．如图，有一次大课间，A、B两处均有学生在练跳绳，为了减少练跳绳时相互干扰，小红同学就拿着跳绳走到了∠AOB的平分线上的C处，则C处相对观测点O的方向为（ ）
A．南偏东53.5°B．东偏南38°30′
C．南偏东52°30′D．东偏南82.5°
【考点】方向角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】根据A、B两点的方位可知∠AOB＝45°+90°+30°＝165°，根据点C在∠AOB的平分线上，可知∠AOC=∠BOC=165°2=82.5°，因为82.5°﹣30°＝52.5°＝52°30′．所以C处相对观测点O的方向为南偏东52°30′．
【解答】解：如图：∠AOD＝45°，∠BOE＝30°，
∴∠AOB＝45°+90°+30°＝165°，
由条件可知∠AOC=∠BOC=165°2=82.5°，
∴∠EOC＝∠BOC﹣BOE＝∠82.5°﹣30°＝52.5°＝52°30′，
∴C处相对观测点O的方向为南偏东52°30′．
故选：C．
【点评】本题考查了方位角与角的和与差，熟练掌握该知识点是关键．
9．（2025春•海淀区月考）如图，l是一条水平线，有一条细线，其中一端系着小球，另一端固定在A点，小球由点B出发向点C摆动，B，C的位置均不高出直线l，在小球从左向右摆动的过程中，系小球的线在水平线l下方部分的线段长度（ ）
A．逐渐变短B．逐渐变长
C．先变短，后变长D．先变长，后变短
【考点】线段的和差；垂线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】根据线段的和差和垂线段最短即可判断．
【解答】解：如图，AD⊥l，
由图可知，小球从B到C从左向右摆动的过程中，小球到点A的距离不变，点A到直线的距离越来越小，
∴系小球的线在水平线下方部分的线段长度越来越大；
小球从D到C从左向右摆动的过程中，小球到点A的距离不变，点A到直线的距离越来越大，
∴系小球的线在水平线下方部分的线段长度越来越小；
综上所述，小球从B到C从左向右摆动，在这一变化过程中，系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是先变长，后变短，
故选：D．
【点评】本题考查了线段的和差，垂线段最短，掌握垂线段最短是解题的关键．
10．（2025•松原模拟）在学校可以看到一种现象，有同学不由自主地转动手中的笔．同学的转笔过程可以看成一条直线绕一个点旋转，其示意图如图所示，若∠AOC＝40°，OB恰好平分∠AOC，则∠1＝（ ）
A．15°B．20°C．40°D．160°
【考点】角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】直接根据角平分线的定义即可得到答案．
【解答】解：由条件可知∠1=12∠AOC=20°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义，熟练掌握该知识点是关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025春•南岗区月考）如图所示，∠A＝100°，作BC的延长线CD，∠ABC与∠ACD的角分线相交于A1，∠A1BC与∠A1CD的角分线相交于A2⋯以此类推，∠A5BC与∠A5CD的角分线相交于A6，则∠A6＝ 2516 度．
【考点】角平分线的定义．
【专题】推理能力．
【答案】2516．
【分析】由∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠ABC+∠A，而A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，于是有∠BAC＝2∠A1，同理可得∠A1＝2∠A2，即∠A＝22∠A2，因此找出规律．
【解答】解：∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，
而∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠ABC+∠BAC，
∴∠BAC＝2∠A1＝100°，
∴∠A1＝50°，
同理可得∠A1＝2∠A2，
即∠BAC＝22∠A2＝100°，
∴∠A2＝25°，
∴∠A＝2n∠An，
即∠An=∠A2n=100°2n．
∴∠A6=∠A26=100°64=(2516)°，
故答案为：2516．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形的外角性质以及角平分线性质，难度适中．
12．（2024秋•东莞市）将一张长方形纸片ABCD按如图所示方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠EAF＝41°，则∠B′AD′的度数为 8° ．
【考点】角的计算．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】8°．
【分析】由于折叠，∠BAE＝∠B′AE，∠DAF＝∠D′AF，根据题意可得∠BAD＝90°，因∠BAE+∠EAF+∠DAF＝∠BAD，∠EAF＝41°，∠EAB′+∠D′AF＝∠EAF+∠B′AD′，可得∠B′AD′的度数．
【解答】解：由于折叠，∠BAE＝∠B′AE，∠DAF＝∠D′AF，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠BAE+∠EAF+∠DAF＝∠BAD，∠EAF＝41°，
∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝49°，
∵∠EAB′+∠D′AF＝∠EAF+∠B′AD′，
∴∠B′AD′＝∠EAB′+∠D′AF﹣∠EAF＝8°，
故答案为：8°．
【点评】本题考查了角的计算，先求∠BAE+∠DAF的度数，再依据∠B′AD′＝∠EAB′+∠D′AF﹣∠EAF，求∠B′AD′的度数是关键．
13．（2025•冷水滩区模拟）如图，B、C两点把线段AD分成了三部分，且AB：BC：CD＝2：5：3，M为AD的中点，若AD＝24cm，则CM长为 4.8cm ．
【考点】两点间的距离；线段的和差．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】4.8cm．
【分析】根据AB：BC：CD＝2：5：3求出各线段的长，再利用中点求解即可．
【解答】解：由条件可知AB=210AD=4.8cm，CB=510AD=12cm，CD=310AD=7.2cm，
∵M为AD的中点，
∴DM=12AD=12cm，
∴CM＝DM﹣CD＝4.8cm，
故答案为：4.8cm．
【点评】本题考查了线段的和差，解题关键是根据AB：BC：CD＝2：5：3求出各线段的长．
14．（2025春•闵行区）把一个长30dm的圆柱平均分成6段小圆柱，表面积增加了31.4dm2，原来这个圆柱的体积是 94.2 dm3．
【考点】几何体的表面积；认识立体图形．
【专题】计算题；数学建模思想；运算能力；模型思想．
【答案】94.2．
【分析】把圆柱平均分成6段小圆柱后表面积增加了底面圆面积的10倍，根据题意求出原来圆柱的体积．
【解答】解：31.4÷10＝3.14（dm2），
原来这个圆柱的体积是：3.14×30＝94.2（dm3）．
故答案为：94.2．
【点评】本题考查了几何体的表面积，认识立体图形，解题的关键是掌握几何体的表面积的计算，立体图形的体积计算．
15．（2025春•通榆县）A，B，C，D四位同学准备从斑马线上的点P处过马路，四人所走路线如图所示，假设四人速度相等，则最先通过马路的是 B同学 ，原因是 垂线段最短 ．
【考点】线段的性质：两点之间线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B同学，垂线段最短．
【分析】直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短．据此进行解答即可．
【解答】解：根据直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短可知：
最先通过马路的是B同学，原因是垂线段最短，
故答案为：B同学，垂线段最短．
【点评】此题考查了垂线段的性质．熟练掌握该知识点是关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春•长宁区）蒙古包，作为蒙古族传统的居住形式，承载着浓厚的游牧文化和历史底蕴．它的上面近似于圆锥形，下面近似于圆柱形．如图，一个蒙古包圆柱底面的周长是20πm，高是2m，圆锥的高是1.2m．
（1）蒙古包的上面圆锥部分的侧面展开图是 扇形 （填图形名称）；下面圆柱部分的侧面展开图是 矩形 （填图形名称），圆柱部分的侧面展开图的面积是 40π m2（结果保留π）．
（2）这个蒙古包的体积是多少立方米？（结果保留π）．
【考点】几何体的展开图；圆柱的体积；圆锥的体积．
【专题】几何图形；运算能力．
【答案】（1）扇形，矩形，40π；
（2）蒙古包的体积为240πm3．
【分析】（1）根据圆柱和圆锥的侧面展开图得出结论，再根据圆柱的侧面积公式计算圆柱的侧面积；
（2）先根据圆柱的底面周长求出圆柱的底面半径，再根据圆柱和圆锥的体积公式计算即可．
【解答】解：（1）圆锥的侧面展开图是扇形，圆柱的侧面展开图是矩形；
圆柱部分的侧面展开图的面积是20π×2＝40π（m2），
故答案为：扇形，矩形，40π；
（2）∵圆柱底面的周长是20πm，
∴圆柱底面半径为：r=20π2π=10（m），
∴圆柱的体积：πr2×2＝π×100×2＝200π（m3），
圆锥的体积：13πr2×1.2=13π×120＝40π（m3），
∴蒙古包的体积为200π+40π＝240π（m3）．
【点评】本题考查几何体的展开图，圆柱的体积和圆锥的体积，关键是掌握几何体的展开图．
17．（2025•蜀山区三模）【综合与实践】某校在10周年校庆前设计了吉祥物“育育”挂件，并根据挂件尺寸设计了长方体的包装盒．设计组有细心的同学发现，把吉祥物“育育”装进包装盒后，拐角处还空余不少空间，这样比较浪费，所以打算进一步探究节省材料的方案．
任务1探究：对于底面积和高一定的长方体包装盒，什么情况下最省材料（即表面积最小）？
通过探究发现，问题等价于“底面矩形的面积一定时，周长何时最小？”设计组先假定底面积为16，列出下表：
根据表格，可猜测：矩形的面积一定时， x＝y＝0 时周长最小．
为了证明上述猜测，小丫同学假设矩形面积为a2，设两邻边长分别为a﹣x和a+y（x，y均为非负数），则（a﹣x）（a+y）＝a2，得y-x=xya．
…（请表示出周长并补全后续的证明过程）．
任务2计算对比，合理优化．
设计组之前设计的长方体包装盒的尺寸为：长7cm、宽4cm、高5cm，小明同学在保持底面积不变小的前提下，建议将包装盒形状改为底面直径为6cm的圆，高保持不变的圆柱体，从节省材料的角度来看，你觉得合理吗？请判断并说明理由．
【考点】几何体的表面积；圆柱的计算．
【专题】展开与折叠；推理能力．
【答案】任务1：x＝y＝0；
任务2：合理，理由见解析．
【分析】任务1：观察表格可得结论：矩形的面积一定时，长和宽相等时周长最小，根据过程由y-x=xya≥0，即可得出结论．
任务2：分别计算长方体和圆柱体的表面积即可得出结论．
【解答】解：任务1：长和宽相等设两邻边长分别为a﹣x和a+y（x，y均为非负数），则（a﹣x）（a+y）＝a2，得y-x=xya，
矩形周长为2（a﹣x）+2（a+y）＝4a+2（y﹣x）＝4a+2xya≥4a，
所以x＝y＝0，即矩形为正方形时，周长最小，
故答案为：x＝y＝0；
任务2：合理，理由如下：
长方体的体积7×4×5＝140cm3，圆柱体的体积≈3.14×(62)2×5=141.3cm3，
长方体的表面积为：（7×4+4×5+7×5）×2＝166cm2．
圆柱体的表面积为：π×32×2+6π×5＝48π，48π＜48×3.2＝153.6cm2．
因为153.6＜166，
所以改为圆柱体更节省材料．
【点评】本题考查了整式乘法的应用、圆柱体和长方体体积与表面积计算，掌握乘法公式是解题的关键．
18．（2025春•西湖区）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多．
素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形．
素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图．
素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到m张小长方形和n张小正方形，做成x个横式叠盖纸盒和y个竖式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完．
【任务1】若m＝158，求n，x，y的值；
【任务2】求x+y的最大值．
【考点】几何体的展开图；列代数式；代数式求值．
【专题】运算能力．
【答案】[任务1]n＝80，x＝22，y＝12；
[任务2]35．
【分析】任务1：33张标准卡纸通过剪裁得到158张小长方形，而一张可以剪裁6个小长方形，先算出总的小长方形，减去158，即为剩余的小长方形，一个小长方形可剪裁两个小正方形，再乘以2即可求解n，根据1个竖式叠盖纸盒可以需要4个小长方形和3个正方形，1个横式叠盖纸盒5个小长方形和2个小正方形，即可建立二元一次方程组求解；
任务2：由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形，则6x+5.5y＝33×6，求其整数解，判断x+y的最大值即可．
【解答】解：任务1：由题意得，n＝（33×6﹣158）×2＝80，
根据题意得：5x+4y=1582x+3y=80，
解得：x=22y=12，
∴n的值为80，x的值为22，y的值为12；
任务2：由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形，
∴6x+5.5y＝33×6，
∴整数解为：x=22y=12或x=11y=24，
∵11+24＝35，22+12＝34，
∴35＞34，
∴x+y的最大值为35．
【点评】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
19．（2025春•浦东新区）如图，在△ABE中，点C在BE上，∠B＝∠EAC，AD平分∠BAC，交BC于点D，点F是线段AD的中点，联结EF，∠AEF与∠DEF相等吗？请说明理由．
解：结论： ∠AEF＝∠DEF ；
∵AD平分∠BAC，
∴ ∠1＝∠2 ，
∵∠EDA＝ ∠1 + ∠B （ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和 ），
又∵∠B＝∠EAC，
∴∠EDA＝ ∠2 + ∠EAC ，
∴∠EDA＝ ∠EAD ．
请完成后面的说理过程．
【考点】角平分线的定义．
【专题】推理能力．
【答案】∠AEF＝∠DEF，∠1＝∠2，∠1+∠B，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，∠2，∠EAC，∠EAD．
【分析】直接利用角的平分线的意义，结合三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质分析得出答案．
【解答】解：结论：∠AEF＝∠DEF．∵AD平分∠BAC（已知），
∴∠1＝∠2（角的平分线的意义），
∵∠B＝∠EAC，（已知），
∴∠1+∠B＝∠2+∠EAC．（等式性质）
而∠EDA＝∠1+∠B（ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和），
∠EAD＝∠2+∠EAC，
∴∠EDA＝∠EAD（等量代换），
∴EA＝ED（ 等角对等边），
∵AF＝DF（线段中点的意义），
∴∠AEF＝∠DEF（ 等腰三角形的三线合一）．
故答案为：∠AEF＝∠DEF，∠1＝∠2，∠1+∠B，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，∠2，∠EAC，∠EAD．
【点评】此题考查了角平分线的定义及等腰三角形的判定与性质以及三角形的外角，正确得出EA＝ED是解题关键．
20．（2025春•宝山区）据国家粮食和物资储备局发布，截至2024年9月30日，主产区各类粮食企业累计收购2024年度夏粮7503万吨，同比增加642万吨，收购市场总体平稳．图1是某“粮仓”的示意图．
（1）该粮仓的示意图可以由图2中的图 ① 旋转一周后得到；
（2）求该“粮仓”的体积．（结果保留π）
【考点】点、线、面、体．
【专题】几何图形；几何直观；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据图形可知该几何体是由圆锥和圆柱所构成，然后问题可求解；
（2）根据圆柱及圆锥的体积公式及图中所给数据可进行求解．
【解答】解：（1）该粮仓的示意图可以由图2中的图①旋转一周后得到；
故答案为：①；
（2）π(12÷2)2×4+13×π×(12÷2)2×(6-4)=168π(m3)，
答：该“粮仓”的体积为168πm3．
【点评】本题主要考查立体图形的体积，点、线、面、体之间的关系，熟练掌握几何体的特征是解题的关键．
长
16
14
12
10
8
6
4
宽
1
117
113
1.6
2
223
4
周长
34
3027
2623
23.2
20
1713
16
长
16
14
12
10
8
6
4
宽
1
117
113
1.6
2
223
4
周长
34
3027
2623
23.2
20
1713
16