2026中考数学高频考点一轮复习：反比例函数（试题含解析）

这是一份2026中考数学高频考点一轮复习：反比例函数（试题含解析），共32页。试卷主要包含了时，气体体积压缩了40ml，如图，在直线l等内容，欢迎下载使用。
1．（2025春•上城区）P（t，y1），Q（t﹣2，y2）是反比例函数y=kx(k＞0)图象上的两点，下列判断正确的是（ ）
A．当t＞2时，y2＞0＞y1B．当0＜t＜2时，y2＜y1＜0
C．当t＜0时，y2≤y1＜0D．当0＜t＜2时，y2＜0＜y1
2．（2025春•兴化市）已知点A（﹣3，y1）、B（﹣2，y2）、C（1，y3）都在反比例函数y=kx(k＞0)的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A．y2＜y1＜y3B．y1＜y2＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1
3．（2025春•宝应县）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，加压后气体对气缸壁所产生的压强P（kPa）与气缸内气体的体积V（ml）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．当压强（ ）时，气体体积压缩了40ml．
A．100kPa加到125kPaB．75kPa加到100kPa
C．50kPa加到75kPaD．25kPa加到50kPa
4．（2025•越秀区三模）如图，已知点A在函数y=kx（k是常数，k＞0，x＞0）图象上，点C在函数y=-kx（x＞0）图象上，连结AC交x轴于点B，D是x轴上的点，若OA＝AB，BC＝CD，且△BCD的面积为1，则△AOB的面积为（ ）
A．3+5B．3+6C．3+7D．3+22
5．（2025•嵊州市模拟）如图，在平面直角坐标系中，四个点分别表示甲，乙，丙，丁四件商品的数量y与单价x的情况，且乙，丁两件商品所表示的点在同一反比例函数图象上，则四件商品中，总价（总价＝单价×数量）最多的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
6．（2025•金坛区一模）如图，函数y=33x与y=kx(x＞0)的图象交于点A(33，n)，C为x轴上一点，将△AOC沿OA翻折，使点C恰好落在函数y=kx(x＞0)的图象上的点B处，则点C的坐标是（ ）
A．（9，0）B．（6，0）C．(33，0)D．(23，0)
7．（2025•鄞州区模拟）若P（m，a），Q(1m，b)两点均在函y=2x的图象上，且﹣1＜m＜0，则a﹣b的值为（ ）
A．正数B．负数C．非正数D．非负数
8．（2025•衢州四模）反比例函数y=-2x的图象经过P（m，y1），Q（m+2，y2）两点，其中﹣2＜m＜0，则下列选项正确的是（ ）
A．y1＜y2B．y1＞y2
C．y1＝y2D．y1与y2的大小不确定
9．（2025春•沭阳县）反比例函数y=k2+4x的图象位于（ ）
A．第一、三象限B．第二、四象限
C．第一、二象限D．第三、四象限
10．（2025春•宿城区）如图，在直线l：y＝x﹣4上方的双曲线y=2x(x＞0)上有一个动点P，过点P作x轴的垂线，交直线l于点Q，连接OP，OQ，则△POQ面积的最大值是（ ）
A．2B．2C．3D．4
二．填空题（共5小题）
11．（2025春•兴化市）已知反比例函数y=kx的图象经过点P（﹣2，3），则这个函数的图象位于第 象限．
12．（2025春•兴化市）已知双曲线y=6x与直线y＝x+2相交于点P（a，b），则3a-3b= ．
13．（2025春•宿城区）如图，点A，B分别在反比例函数y=k1x(x＜0)和y=k2x(x＞0)的图象上，AB∥x轴，与y轴交于点C，点D是x轴上一点．若BC＝2AC，△ABD的面积为3，则k1k2的值为 ．
14．（2025•青羊区模拟）在﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3这7个数中，随机选取一个数，记为m，使得直线y＝﹣x1+m与双曲线y=2x没有交点的概率为 ．
15．（2025•南京三模）已知函数y1＝x与反比例函数y2=kx.当x＞1时，y1＞y2，则k的取值范围是 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春•洛宁县）已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y=mx的图象交于A（﹣2，1）、B（1，n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求三角形AOB的面积；
（3）结合图象直接写出不等式kx+b＞mx的解集．
17．（2025春•红谷滩区）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系，部分数据如表：
（1）根据表中数据和图1中描出的散点图，从y＝ax+b（a≠0）和y=kx(k≠0)中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）；
（2）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8cm，请根据（1）中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
18．（2025春•苏州）如图1，在平面直角坐标系中，矩形ABCO中，AB＝8，BC＝6，动点P从点B出发沿BA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PD∥BC，交AC于点D，动点P的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒（x＞0），当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．
（1）求PD、AD的长（用x的代数式表示）；
（2）如图2，当Q在D的左侧时，若动点Q的运动速度是每秒a个单位长度，无论x为何值时反比例函数y=kx(k≠0)的图象始终同时经过点Q和点D，求a的值；
（3）若动点Q的运动速度是每秒1个单位长度，在P、Q运动过程中，平面内是否存在这样一点E，使P、Q、E、D为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出所有满足要求的E的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2025春•建邺区期中）如图，一次函数y=43x与反比例函数y=mx的图象交于A，B两点．
（1）已知点A的横坐标为3．
①求反比例函数的表达式；
②不等式43x-mx＞0的解集是 ；
A．x＞3
B．x＞﹣3
C．x＞3或x＜﹣3
D．x＞3或﹣3＜x＜0
（2）若AB＞10，则m的取值范围是 ．
20．（2025•肥城市三模）如图，正方形ABCO和正方形DCEF，点A在y轴正半轴上，点C、E在x轴正半轴上，点D在CB边上，点B、F落在反比例函数y=kx(k≠0)第一象限的图象上，其中点A（0，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求线段OF的长；
（3）点G在反比例函数图象上，它的纵坐标是4，H是坐标平面内一点，O、B、G、H四个点组成一个平行四边形，请直接写出H点坐标．
中考数学一轮复习 反比例函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025春•上城区）P（t，y1），Q（t﹣2，y2）是反比例函数y=kx(k＞0)图象上的两点，下列判断正确的是（ ）
A．当t＞2时，y2＞0＞y1B．当0＜t＜2时，y2＜y1＜0
C．当t＜0时，y2≤y1＜0D．当0＜t＜2时，y2＜0＜y1
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征逐项分析判断即可．
【解答】解：∵反比例函数常量k＞0，
∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
A、当t＞2时，P（t，y1），Q（t﹣2，y2）两点都在第一象限，0＜y1＜y2，原说法错误，不符合题意；
B、当0＜t＜2时，P（t，y1）在第一象限，Q（t﹣2，y2）在第三象限，y2＜0＜y1，原说法错误，不符合题意；
C、当t＜0时，P（t，y1），Q（t﹣2，y2）两点都在第三象限，y1＜y2＜0，原说法错误，不符合题意；
D、当0＜t＜2时，P（t，y1）在第一象限，Q（t﹣2，y2）在第三象限，y2＜0＜y1，原说法正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
2．（2025春•兴化市）已知点A（﹣3，y1）、B（﹣2，y2）、C（1，y3）都在反比例函数y=kx(k＞0)的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A．y2＜y1＜y3B．y1＜y2＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】由反比例函数的可得反比例函数图象经过第一、三象限，且y随x的增大而减小，再比较对应函数值大小即可．
【解答】解：由条件可知反比例函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵点A（﹣3，y1）、B（﹣2，y2）、C（1，y3）都在反比例函数y=kx(k＞0)的图象上，且﹣3＜﹣2，
∴y2＜y1＜0，y3＞0，
∴y2＜y1＜y3，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性是解题关键．
3．（2025春•宝应县）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，加压后气体对气缸壁所产生的压强P（kPa）与气缸内气体的体积V（ml）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．当压强（ ）时，气体体积压缩了40ml．
A．100kPa加到125kPaB．75kPa加到100kPa
C．50kPa加到75kPaD．25kPa加到50kPa
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】利用待定系数法求出P关于V的函数关系式，将V表示为P的函数，设当P＝P1时，V＝V1，当P＝P2时，V＝V2，将它们分别代入V关于P的函数关系式，当V1﹣V2＝40时得到关于P1和P2的数量关系式，将各个选项中的值作为P1和P2分别代入这个等式，能使等式成立的就为正确答案．
【解答】解：设P关于V的函数关系式为P=kV（k为常数，且k≠0），
将坐标（100，60）代入P=kV，
得k100=60，
解得k＝6000，
∴P关于V的函数关系式为P=6000V，
∴V=6000P，
设当P＝P1时，V＝V1，当P＝P2时，V＝V2，
则V1=6000P1，V2=6000P2，
V1﹣V2＝6000（1P1-1P2）＝40，
∴1P1-1P2=1150，
当P1＝100，P2＝125时，1P1-1P2=1100-1125=1500≠1150，
∴A不符合题意；
当P1＝75，P2＝100时，1P1-1P2=175-1100=1300≠1150，
∴B不符合题意；
当P1＝50，P2＝75时，1P1-1P2=150-175=1150，
∴C符合题意；
当P1＝25，P2＝50时，1P1-1P2=125-150=150≠1150，
∴D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键．
4．（2025•越秀区三模）如图，已知点A在函数y=kx（k是常数，k＞0，x＞0）图象上，点C在函数y=-kx（x＞0）图象上，连结AC交x轴于点B，D是x轴上的点，若OA＝AB，BC＝CD，且△BCD的面积为1，则△AOB的面积为（ ）
A．3+5B．3+6C．3+7D．3+22
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，则AE∥CF，由题意设点A（m，km），点C（n，-kn），则BE＝OE＝m，AE=km，DF＝BF＝n﹣2m，CF=kn，通过证得△ABE∽△CBF，得到n＝（2+1）m，然后根据△BCD的面积为1，即可求得k的值．
【解答】解：作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，则AE∥CF，
∵OA＝AB，BC＝CD，
∴OE＝BE，BF＝DF，
由题意设点A（m，km），点C（n，-kn），则BE＝OE＝m，AE=km，DF＝BF＝n﹣2m，CF=kn，
∴BD＝2（n﹣2m），
∵AE∥CF，
∴△ABE∽△CBF，
∴BEBF=AECF，即mn-2m=kmkn，
∴m2＝n2﹣2mn，
∴2m2＝（n﹣m）2，
∴n＝（2+1）m或n＝（1-2）m（舍去），
∴BD＝2（2-1）m，CF=k(2+1)m，
∵△BCD的面积为1，
∴12BD⋅CF=12×2(2-1)m⋅k(2+1)m=1，
∴k＝3+22，
∵S△AOE=12k，
∴S△AOB＝2S△AOE＝k＝3+22．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键．
5．（2025•嵊州市模拟）如图，在平面直角坐标系中，四个点分别表示甲，乙，丙，丁四件商品的数量y与单价x的情况，且乙，丁两件商品所表示的点在同一反比例函数图象上，则四件商品中，总价（总价＝单价×数量）最多的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】过点甲作平行于x轴的直线，交反比例函数图象于点A，过点丙作平行于x轴的直线，交反比例函数图象于点B，设A（a，b），B（c，d），甲（x甲，b），丙（x丙，d），设反比例函数图象对应的函数关系式为y=kx（k为常数，且k≠0），位于反比例函数图象上的点总价均为k，根据坐标，比较甲的总价与A的总价、丙的总价与B的总价，从而将四件商品的总价排序即可得出结论．
【解答】解：如图，过点甲作平行于x轴的直线，交反比例函数图象于点A，过点丙作平行于x轴的直线，交反比例函数图象于点B．
设A（a，b），B（c，d），甲（x甲，b），丙（x丙，d），
设反比例函数图象对应的函数关系式为y=kx（k为常数，且k≠0），
∴乙，丁的总价均为k，
∵ab＝k，x甲＜a，
∴x甲b＜ab＝k，
∴甲的总价小于k，
∵cd＝k，x丙＞c，
∴x丙d＞cd＝k，
∴丙的总价大于k，
∴四件商品中，总价的大小关系为丙＞乙＝丁＞甲，
∴总价最多的是丙．
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数的应用，掌握反比例函图象的特点是解题的关键．
6．（2025•金坛区一模）如图，函数y=33x与y=kx(x＞0)的图象交于点A(33，n)，C为x轴上一点，将△AOC沿OA翻折，使点C恰好落在函数y=kx(x＞0)的图象上的点B处，则点C的坐标是（ ）
A．（9，0）B．（6，0）C．(33，0)D．(23，0)
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】设OC＝a（a＞0），先根据点A是函数y=33x与y=kx(x＞0)的图象交点，求出n和k的值，再过点A，B分别作x轴，y轴的垂线，垂足为D，E，根据点A（33，3）求出∠AOD＝30°，再根据翻折变换得出∠AOB＝∠AOC＝30°，OB＝OC，从而得出∠BOE＝30°，然后求出点B坐标，再代入反比例解析式求出a的值即可．
【解答】解：设OC＝a（a＞0），
把A（33，n）代入y=33x得：n=33×33=3，
∴A（33，3），
把A（33，3）代入y=kx得：k＝33×3＝93，
∴反比例函数解析式为y=93x；
过点A，B分别作x轴，y轴的垂线，垂足为D，E，如图：
∵A（33，3），
∴OD＝33，AD＝3，
∴tan∠AOD=ADOD=333=33，
∴∠AOD＝30°，
∵△AOB是△AOC沿OA翻折得到的，
∴∠AOB＝∠AOC＝30°，OB＝OC，
∴∠BOE＝30°，
∴OE=32OB=32a，BE=12OB=12a，
∴B（12a，32a），
∴12a•32a＝93，
解得a＝6或a＝﹣6（舍去），
∴点C的坐标是（6，0），
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点和翻折变换，关键是求出反比例函数解析式．
7．（2025•鄞州区模拟）若P（m，a），Q(1m，b)两点均在函y=2x的图象上，且﹣1＜m＜0，则a﹣b的值为（ ）
A．正数B．负数C．非正数D．非负数
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：∵P（m，a），Q(1m，b)两点均在函y=2x的图象上，
∴a=2m，b＝2m，
∴a﹣b=2m-2m=2（1m-m）＝2•1-m2m
∵﹣1＜m＜0，
∴1﹣m2＞0，
∴a﹣b＜0，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
8．（2025•衢州四模）反比例函数y=-2x的图象经过P（m，y1），Q（m+2，y2）两点，其中﹣2＜m＜0，则下列选项正确的是（ ）
A．y1＜y2B．y1＞y2
C．y1＝y2D．y1与y2的大小不确定
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：∵反比例函数y=-2x的k＝﹣2，且﹣2＜m＜0，
∴P（m，y1）在第二象限，Q（m+2，y2）在第四象限，y随x的增大而增大，
∴y1＞y2．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
9．（2025春•沭阳县）反比例函数y=k2+4x的图象位于（ ）
A．第一、三象限B．第二、四象限
C．第一、二象限D．第三、四象限
【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据反比例函数性质解答即可．
【解答】解：∵k2+4＞0，
∴反比例函数y=k2+4x的图象位于第一、三象限，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数性质是关键．
10．（2025春•宿城区）如图，在直线l：y＝x﹣4上方的双曲线y=2x(x＞0)上有一个动点P，过点P作x轴的垂线，交直线l于点Q，连接OP，OQ，则△POQ面积的最大值是（ ）
A．2B．2C．3D．4
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】C
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征及一次函数、二次函数性质解答即可．
【解答】解：设点P坐标为（m，2m），则Q（m，m﹣4），
∴PQ=2m-m+4，
由三角形面积公式可得：2S△POQ＝m（2m-m+4），
整理得S△POQ=-12（m﹣2）2+3，
根据二次函数性质可知，当x＝2时，三角形面积有最大值，最大值为3．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数和二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025春•兴化市）已知反比例函数y=kx的图象经过点P（﹣2，3），则这个函数的图象位于第 二、四 象限．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】二、四．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点P的坐标代入反比例函数的解析式，求得k的值，利用k的符号来判定该函数图象所在的象限．
【解答】解：由条件可知3=k-2，
解得：k＝﹣6；
∵﹣6＜0，即k＜0，
∴反比例函数y=kx的图象位于第二、四象限；
故答案为：二、四．
【点评】本题主要考查了运用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的性质等知识点，根据反比例函数的性质确定函数图象所在的象限是解答本题的关键．
12．（2025春•兴化市）已知双曲线y=6x与直线y＝x+2相交于点P（a，b），则3a-3b= 1 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】1．
【分析】将P（a，b）分别代入反比例函数与一次函数，得到b=6a，b=a+2，继而可得ab＝6，b﹣a＝2，即可解答．
【解答】解：由条件可知b=6a，b=a+2，
∴ab＝6，b﹣a＝2，
则3a-3b=3(b-a)ab=3×26=1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握知识点是解本题的关键．
13．（2025春•宿城区）如图，点A，B分别在反比例函数y=k1x(x＜0)和y=k2x(x＞0)的图象上，AB∥x轴，与y轴交于点C，点D是x轴上一点．若BC＝2AC，△ABD的面积为3，则k1k2的值为 ﹣8 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】﹣8．
【分析】根据反比例函数k值的几何意义解答即可．
【解答】解：如图，连接OA、CD、OB，
∵AB∥x轴，与y轴交于点C，点D是x轴上一点．BC＝2AC，△ABD的面积为3，
∴S△ACD＝S△ACO＝1，S△BCD＝S△BCO＝2，
∴k1＝﹣2，k2＝4，
∴k1k2＝﹣8．
故答案为：﹣8．
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键．
14．（2025•青羊区模拟）在﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3这7个数中，随机选取一个数，记为m，使得直线y＝﹣x1+m与双曲线y=2x没有交点的概率为 57 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】57．
【分析】本题涉及一次函数与反比例函数的交点问题以及概率的计算，首先需要根据直线y＝﹣x+m与双曲线y=2x的交点情况，求出满足条件的m的值，然后根据概率公式计算概率，对于直线y＝﹣x+m和双曲线y=2x，若它们没有交点，可通过联立方程，根据判别式来判断．
【解答】解：联立方程y=-x+my=2x，得到﹣x+m=2x，
整理得：x2﹣mx+2＝0，
∵直线y＝﹣x+m与双曲线y=2x没有交点，
∴x2﹣mx+2＝0无实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4×1×2＜0，
∴﹣22＜m＜22，
∵在﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3这7个数中满足﹣22＜m＜22的有5个，﹣2，﹣1，0，1，2．
∴概率为P=57，
故答案为：57．
【点评】本题考查了一次函数、反比例函数的交点问题与概率计算相结合的问题，通过联立函数方程，转化为一元二次方程判别式的问题，体现了函数与方程思想的融合，让学生体会到不同数学知识板块之间的联系．
15．（2025•南京三模）已知函数y1＝x与反比例函数y2=kx.当x＞1时，y1＞y2，则k的取值范围是 k≤1且k≠0 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】k≤1且k≠0．
【分析】根据当x＞1时，y1＞y2的条件，结合函数y1＝x的单调性，分情况讨论反比例函数y2=kx中k的取值范围．
【解答】解：∵函数y1＝x中，y随x的增大而增大，
∴当x＞1时，y1＞1，
当k＜0，反比例函数y2=kx图象在第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大；
当x＞1时，y2＜0，
∴y1＞y2，
当k＞0，反比例函数y2=kx图象在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小；
当x＝1时，y1＝1，y2＝k，
∵y1＞y2，
∴0＜k≤1，
综上，当x＞1时，y1＞y2，则k的取值范围是k≤1．
故答案为：k≤1且k≠0．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数的性质，反比例函数的性质，分类讨论是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春•洛宁县）已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y=mx的图象交于A（﹣2，1）、B（1，n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求三角形AOB的面积；
（3）结合图象直接写出不等式kx+b＞mx的解集．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】（1）y＝﹣x﹣1；y=-2x；
（2）32；
（3）x＜﹣2或0＜x＜1．
【分析】（1）将点A（﹣2，1）代入y=mx，得m＝﹣2，由此得反比例函数的表达式为y=-2x，将点B（1，n）代入y=-2x，得n＝﹣2，则点B（1，﹣2），再将点A（﹣2，1），点B（1，﹣2）代入y＝kx+b求出k＝﹣1，b＝﹣1即可得出一次函数的表达式；
（2）过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥y轴于点F，设AB于y轴交于点C，依题意得AE＝2，BF＝1，再求出点C（0，﹣1）得OC＝1，然后根据三角形的面积公式得S△OAC＝1，S△OBC=12，据此即可得出△AOB的面积；
（3）根据点A（﹣2，1），点B（1，﹣2），结合函数的图象即可得出不等式kx+b＞mx的解集．
【解答】解：（1）将点A（﹣2，1）代入y=mx，得：m＝﹣2×1＝﹣2，
∴反比例函数的表达式为：y=-2x，
将点B（1，n）代入y=-2x，得：n＝﹣2，
∴点B（1，﹣2），
将点A（﹣2，1），点B（1，﹣2）代入y＝kx+b，
得：--2k+b=1k+b=-2，
解得：k=-1b=-1，
∴一次函数的表达式为：y＝﹣x﹣1；
（2）过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥y轴于点F，设AB于y轴交于点C，如图所示：

∵点A（﹣2，1），点B（1，﹣2），
∴AE＝2，BF＝1，
对于一次函数y＝﹣x﹣1，当x＝0时，y＝﹣1，
∴点C的坐标为（0，﹣1），
∴OC＝1，
∴S△OAC=12OC•AE=12×1×2＝1，S△OBC=12OC•BF=12×1×1=12，
∴S△AOB＝S△OAC+S△OBC＝1+12=32；
（3）∵点A（﹣2，1），点B（1，﹣2），
∴结合函数的图象得不等式kx+b＞mx的解集为：x＜﹣2或0＜x＜1．
【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数与反比例函数的表达式，三角形的面积，熟练掌握待定系数法求一次函数与反比例函数的表达式，三角形的面积公式是解决问题的关键．
17．（2025春•红谷滩区）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系，部分数据如表：
（1）根据表中数据和图1中描出的散点图，从y＝ax+b（a≠0）和y=kx(k≠0)中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）；
（2）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8cm，请根据（1）中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
【考点】反比例函数的应用．
【专题】函数的综合应用；应用意识．
【答案】（1）一次函数解析式为y＝7x﹣5．
（2）脚长约为25.8cm，估计这个人的身高为175.6cm．
【分析】（1）根据表格数据在直角坐标系中描点即可；先排除反比例函数，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）将x＝25.8代入一次函数解析式求出y值即可．
【解答】解：（1）描点如图示：
∵y=kx（k≠0）转化为k＝xy＝23×156≠24×163≠25×170≠•••，
∴y与x的函数不可能是y=kx，
故选一次函数y＝ax+b（a≠0），将点（23，156）、（24，163）代入解析式得：
23a+b=15624a+b=163，
解得a=7b=-5，
∴一次函数解析式为y＝7x﹣5．
（2）当x＝25.8时，y＝7×25.8﹣5＝175.6（cm）．
答：脚长约为25.8cm，估计这个人的身高为175.6cm．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是关键．
18．（2025春•苏州）如图1，在平面直角坐标系中，矩形ABCO中，AB＝8，BC＝6，动点P从点B出发沿BA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PD∥BC，交AC于点D，动点P的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒（x＞0），当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．
（1）求PD、AD的长（用x的代数式表示）；
（2）如图2，当Q在D的左侧时，若动点Q的运动速度是每秒a个单位长度，无论x为何值时反比例函数y=kx(k≠0)的图象始终同时经过点Q和点D，求a的值；
（3）若动点Q的运动速度是每秒1个单位长度，在P、Q运动过程中，平面内是否存在这样一点E，使P、Q、E、D为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出所有满足要求的E的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）PD＝6-34x，AD＝10-54x；
（2）a=54；
（3）存在，点E的坐标为（224135，1445）或（3215，285）或（9613，5413）或（6415，245）．
【分析】（1）连接BD，利用矩形的性质和面积法即可求得答案；
（2）过点B作BH⊥AC于H，过点Q作QK⊥AB于K，利用面积法和勾股定理即可求得答案；
（3）设E（m，n），过点B作BH⊥AC于H，过点Q作QK⊥AB于K，连接BQ，CP，当0＜x＜409时，若QD为菱形PDEQ对角线时，若PQ为菱形PDQE对角线时，若PD为菱形PQDE对角线时，当409＜x＜8时，四边形PDQE为菱形，分别利用菱形性质即可求得答案．
【解答】解：（1）由题意得：PB＝x，则AP＝8﹣x，
∵矩形ABCO中，AB＝8，BC＝6，
∴∠B＝90°，
∵PD∥BC，
∴∠APD＝∠B＝90°，
如图，连接BD，
∵S△ABD+S△CBD＝S△ABC，
∴12•AB•PD+12•BC•BP=12•AB•BC，
即12×8×PD+12×6×x=12×8×6，
∴PD＝6-34x，
在Rt△ADP中，AD=AP2+PD2=(8-x)2+(6-34x)2=10-54x；
（2）由题意得：AQ＝ax，
如图，过点B作BH⊥AC于H，过点Q作QK⊥AB于K，
在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=82+62=10，
∵AC•BH＝AB•BC，
∴BH=AB⋅BCAC=8×610=245，
∵S△ABQ=12•AB•QK=12•BH•AQ，
∴12×8×QK=12×245×ax，
∴QK=35ax，
在Rt△AQK中，AK=AQ2-QK2=(ax)2-(35ax)2=45ax，
∴Q（45ax，6-35ax），
又∵D（8﹣x，34x），且反比例函数y=kx（k≠0）的图象始终同时经过点Q和点D，
∴45ax（6-35ax）=34x（8﹣x），
整理得：（48a2﹣75）x+（600﹣480a）＝0，
∵无论x为何值时反比例函数y=kx（k≠0）的图象始终同时经过点Q和点D，
∴48a2﹣75＝0，
解得：a＝±54，
∵a＞0，
∴a=54；
（3）存在，
如图，设E（m，n），过点B作BH⊥AC于H，过点Q作QK⊥AB于K，连接BQ，CP，
∵动点P、Q的运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为x秒，
∴BP＝AQ＝x，
则P（8﹣x，6），又D（8﹣x，34x），
∵AB•QK＝BH•AQ，
∴8QK=245x，即QK=35x，
在Rt△AQK中，AK=AQ2-QK2=x2-(35x)2=45x，
∴Q（45x，6-35x），
当AQ＜AD时，x＜10-54x，
解得：x＜409，
当0＜x＜409时，
若QD为菱形PDEQ对角线时，则PE⊥QD于L，PE与QD的中点重合，QE∥PD∥y轴，过点L作LJ⊥AB于J，
∵AC•PL＝BC•AP，
∴PL=BC⋅APAC=6(8-x)10=35（8﹣x），
∴AL=AP2-PL2=(8-x)2-[35(8-x)]2=45（8﹣x），
∵JL•AP＝AL•PL，即JL•（8﹣x）=45（8﹣x）•35（8﹣x），
∴JL=1225（8﹣x），
∴AJ=AL2-JL2=[45(8-x)]2-[1225(8-x)]2=1625（8﹣x），
同理可得：L（1625（8﹣x），6-1225（8﹣x）），
∴m=45xn+6=6-35x+34x45x+8-x=2×1625(8-x)，
解得：x=5627m=224135n=1445，
∴E（224135，1445）；
若PQ为菱形PDQE对角线时，PD＝DQ＝QE，QE∥PD，
∵AD=AP2+PD2=(8-x)2+(6-34x)2=54（8﹣x），
∴DQ＝AD﹣AQ=54（8﹣x）﹣x＝10-94x，
∴10-94x=34（8﹣x），
解得：x=83，
∴P（163，6），D（163，2），Q（3215，85），
∴E（3215，285）；
若PD为菱形PQDE对角线时，PD⊥QE，点Q与PD的中点纵坐标相等，
∴n=6-35xm+45x=2(8-x)6-35x=12(6+34x)，
解得：x=4013m=9613n=5413，
∴E（9613，5413）；
当409＜x＜8时，如图，
则P（8﹣x，6），D（8﹣x，34x），Q（45x，6-35x），
∵四边形PDQE为菱形，
∴PD＝DQ＝EQ，PD∥EQ，
即6-34x＝x-54（8﹣x），
解得：x=163，
∴P（83，6），D（83，4），Q（6415，145），
∴E（6415，245）；
综上所述，存在，点E的坐标为（224135，1445）或（3215，285）或（9613，5413）或（6415，245）．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，反比例函数的图象和性质，面积法的应用，矩形和菱形的性质以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题．
19．（2025春•建邺区期中）如图，一次函数y=43x与反比例函数y=mx的图象交于A，B两点．
（1）已知点A的横坐标为3．
①求反比例函数的表达式；
②不等式43x-mx＞0的解集是 D ；
A．x＞3
B．x＞﹣3
C．x＞3或x＜﹣3
D．x＞3或﹣3＜x＜0
（2）若AB＞10，则m的取值范围是 m＞12 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）①反比例函数的解析式为y=12x；②D；（2）m＞12．
【分析】（1）①先利用一次函数y=43x求出点A的坐标，再代入y=mx，即可求得反比例函数的解析式；
②根据反比例函数的对称性求得B的坐标，然后根据图象即可求得不等式43x-mx＞0的解集；
（2）由（1）可知当A（3，4），B（﹣3，﹣4）时，AB＝10，此时m＝12，若AB＞10，则m＞12．
【解答】解：（1）①把x＝3代入y=43x，得：y＝4，
∴A（3，4），
∵反比例函数y=mx的图象过点A，
∴m＝3×4＝12，
∴反比例函数的解析式为y=12x；
②∵一次函数y=43x与反比例函数y=mx的图象均关于原点对称，且交于A，B两点，A（3，4），
∴点A，B关于原点对称，
∴B（﹣3，﹣4），
∴由图象可知，不等式43x-mx＞0的解集是﹣3＜x＜0或x＞3，
故选：D；
（2）由（1）可知：当A（3，4），B（﹣3，﹣4）时，
AB=(-3-3)2+(-4-4)2=10，
此时m＝12，若AB＞10，则反比例函数的图象离原点越远，
∴m＞12，
故答案为：m＞12．
【点评】本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，函数与不等式的关系，勾股定理的应用等知识点，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
20．（2025•肥城市三模）如图，正方形ABCO和正方形DCEF，点A在y轴正半轴上，点C、E在x轴正半轴上，点D在CB边上，点B、F落在反比例函数y=kx(k≠0)第一象限的图象上，其中点A（0，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求线段OF的长；
（3）点G在反比例函数图象上，它的纵坐标是4，H是坐标平面内一点，O、B、G、H四个点组成一个平行四边形，请直接写出H点坐标．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】分类讨论；反比例函数及其应用；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y=4x；
（2）23；
（3）（﹣1，2）或（3，6）．
【分析】（1）根据点A（0，2）得正方形ABCO的面积为4，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得k＝4，由此即可得出该反比例函数的解析式；
（2）设CE＝a，则OE＝a+2，EF＝a，根据反比例函数比例系数k的几何意义得12(a+2)×a=2，整理得a2+2a＝4，再由勾股定理即可得出OF的长；
（3）先求出点B（2，2），点G（1，4），再分两种情况讨论如下：①当OG是平行四边形OBGH的对角线时，连接BH交OG于点Q，根据点O（0，0），点G（1，4）得点Q(12，2)，设点H（m，n），则m+22=12，n+22=2，由此可得点H的坐标；②当OG是平行四边形OBHG的一边时，连接OH交BG于点P，根据点B（2，2），点G（1，4）得点P(32，3)，由此可得点H的坐标，综上所述即可得出答案．
【解答】解：（1）∵点A（0，2），
∴OA＝2，
∴正方形ABCO的面积为4，
∵点B在反比例函数y=kx（k≠0）第一象限的图象上，
∴根据反比例函数比例系数k的几何意义得：k＝4，
∴该反比例函数的解析式为：y=4x；
（2）设CE＝a，
∵四边形DCEF是正方形，
∴EF＝CE＝a，
∵四边形ABCO是正方形，OA＝2，
∴OC＝OA＝2，
∴OE＝OC+CE＝a+2，
∴S△OEF=12OE•EF=12(a+2)×a，
根据反比例函数比例系数k的几何意义得：S△OEF=k2=2，
∴12(a+2)×a=2，
整理得：a2+2a＝4，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：OF=OE2+EF2=(a+2)2+a2=2(a2+2a)+4=23；
（3）依题意得：点B（2，2），
∵点G在该反比例函数图象上，它的纵坐标是4，
∴点G的坐标为（1，4），
∵H是坐标平面内一点，O、B、G、H四个点组成一个平行四边形，
∴有以下两种情况：
①当OG是平行四边形OBGH的对角线时，连接BH交OG于点Q，如图1所示：
∴点Q是OG，BH的中点，
∵点O（0，0），点G（1，4），
∴点Q的坐标为(12，2)，
设点H的坐标为（m，n），
∵点Q是BH的中点，
∴m+22=12，n+22=2，
∴m＝﹣1，n＝2，
∴点H的坐标为（﹣1，2）；
②当OG是平行四边形OBHG的一边时，
连接OH交BG于点P，如图2所示：
∴点P是BG和OH的中点，
∵点B（2，2），点G（1，4），
∴点P(32，3)，
∴点H的坐标为（3，6），
综上所述：H点坐标是（﹣1，2）或（3，6）．
【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标，平行四边形的性质，正方形的性质，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式，平行四边形和正方形的性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点．
脚长x（cm）
…
23
24
25
26
27
28
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身高y（cm）
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156
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170
177
184
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脚长x（cm）
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