2026年中考数学高频考点突破-反比例函数与一次函数综合训练（学生版+名师详解版）

这是一份2026年中考数学高频考点突破-反比例函数与一次函数综合训练（学生版+名师详解版），共22页。试卷主要包含了综合题，四象限内的A等内容，欢迎下载使用。
一、综合题
1．如图，一次函数y＝ax+1（a≠0）的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝kx的图象在第一象限交于点B（1，3），过点B作BC⊥x轴于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）求△ABC的面积．
2．如图，直线y=kx＋b的图象与双曲线y=mx的图象交于A(1，3)，B(-3，n)两点.
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积.
3．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y= mx 的图象交于点A（1，6），B（3，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）点M是一次函数y=kx+b图象位于第一象限内的一点，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若△MON的面积小于△BOD的面积，直接写出点M的横坐标x的取值范围．
4．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= mx 的图象交于A（－2，1），B（1，n）两点.
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.
5．如图，已知 y=k1x 与一次函数 y=k2x+b 的图像相交于点 A(1,8) ， B(−4，m) .
（1）求 m 和一次函数解析式；
（2）求 ΔAOB 的面积.
6．如图所示，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝ mx 的图象交于M、N两点.
（1）根据图中条件求出反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连结OM、ON，求△MON的面积；
（3）根据图象，直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.
7．如图，反比例函数 y=kx 与y＝mx交于A，B两点，设点A、B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），S＝|x1y1|，且 3s−1=4s ，
（1）求k的值；
（2）当m变化时，代数式 (m2−1)x1y2(m+1)2+2x2y1m+1 是否为一个固定的值？若是，求出其值，若不是，请说理由；
（3）点C在y轴上，点D的坐标是（﹣1， 32 ），若将菱形ACOD沿x轴负方向平移m个单位，在平移过程中，若双曲线与菱形的边AD始终有交点，请直接写出m的取值范围．
8．如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于点A和点B（﹣2，n），与x轴交于点C（﹣1，0），连接OA．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若点P在坐标轴上，且满足PA=OA，求点P的坐标．
9．如图，点A（2，n）和点D是反比例函数y=mx（m＞0，x＞0）图象上的两点，一次函数y＝kx+3（k≠0）的图象经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，连接OA，OD.已知△OAB与△ODE的面积满足S△OAB：S△ODE＝3：4.
（1）S△OAB＝ ，m＝ ；
（2）已知点P（6，0）在线段OE上，当∠PDE＝∠CBO时，求点D的坐标.
10．如图，直线 y=2 x−6 与反比例函数 y=kx(x>0) 的图象交于点 A(4,2) ，与x轴交于点B.
（1）求k的值及点B的坐标；
（2）过点B作 BD⊥x 轴交反比例函数的图象于点D，求点D的坐标和 △ABD 的面积；
（3）观察图象，写出当x＞0时不等式 kx>2x−6 的解集.
11．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数 y1=k1x+b(k1≠0) 的图象与反比例函数 y2=k2x 的图象交于 A(1，4) ， B(3，m) 两点.
（1）求上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求 △AOB 的面积；
（3）观察图象，写出不等式 k1x+b≥k2x 的解集 .
12．已知一次函数与反比例函数的图象交于点P（-2，1）和Q（1，m）。
（1）求反比例函数的关系式；
（2）求Q点的坐标和一次函数的解析式；
（3）观察图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
13．已知直线y=x与反比例函数y=kx的图象在第一象限交于点M(2，a).
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，将直线y=x向上平移b个单位后与y=kx的图象交于点A(1，m)和点B(n，−1)，求b的值；
（3）在（2）的条件下，设直线AB与x轴、y轴分别交于点C，D，求证：△AOD≌△BOC.
14．如图，一次函数y1＝kx+2的图象与反比例函数y2＝﹣ 8x 的图象相交于A（a，﹣2a）、B（4，﹣2）．
（1）求a、k的值；
（2）结合图象，直接写出不等式kx+2+ 8x ＜0的解集：
（3）连接OA、OB，求△AOB的面积．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数 y=mx （m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，n）.线段OA=5，E为x轴上一点，且sin∠AOE= 45 .
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOC的面积.
16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=k1x+b 的图像与反比例函数 y=k2x 的图像交于 A(4,−2),B(−2,n) 两点，与 x 轴交于点 C .
（1）求 k2,n 的值;
（2）请直接写出不等式 k1x+b0) 的图象上，
∴2＝k4 ，解得 k＝8
将 y＝0 代入 y＝2x−6 ，得 2x−6＝0 ，解得 x＝3 .
∴ 点 B 的坐标是（3，0）
（2）解： ∵ 反比例函数解析式为： y＝8x(x>0)
将 x＝3 代入得 y＝83 ， ∴ 点 D 的坐标是 （3，83）
∴BD＝ 83 ，点A到BD的距离为4－3＝1，
△ABD 的面积为 S＝12×83×1＝43
（3）解：观察两函数图象可发现：当0＜x＜4时，反比例函数图象在一次例函数图象的上方，
∴x＞0时不等式 kx>2x−6 的解集为0＜x＜4.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式中即可求出k值，再令直线y＝2x－6中y＝0求出x的值，即可得出点B的坐标；（2）根据BD⊥x轴可知B与D的横坐标相同，将B点的横坐标代入反比例函数解析式即可得出D点的坐标；求出BD的长和点A到BD的距离，根据三角形的面积公式即可得出答案；（3）根据图象求出双曲线在直线上方时自变量的取值范围即可.
11．【答案】（1）解：将点A代入 y2=k2x ，得 k2=1×4=4 ，
∴反比例函数解析式为 y2=4x ，
将点B坐标代入 y2=4x ，得3m=4，解得m= 43 ，
∴B（3， 43 ），
将点A、B的坐标代入 y1=k1x+b(k1≠0) ，
得 k+b=43k+b=43 ，解得 k=−43b=163 ，
∴一次函数的解析式为 y=−43x+163 ；
（2）解：
令 y=−43x+163 中x=0，得y= 163 ，
∴C（0， 163 ），
∴S△AOB=S△BOC−S△AOC
= 12×163×3−12×163×1
= 163
（3）1≤x≤3
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（3）根据图象得到，不等式 k1x+b≥k2x 的解集 1≤x≤3 ，
故答案为： 1≤x≤3.
【分析】（1）将A（1，4）代入y2=k2x中求出k2的值，可得反比例函数的解析式，将B（3，m）代入反比例函数解析式求出m的值，得到点B的坐标，将A、B的坐标代入y1=k1x+b中求出k1、b的值，据此可得一次函数的表达式；
（2）设直线交y轴于点C，易得C（0，163），然后根据S△AOB=S△BOC-S△AOC结合三角形的面积公式进行计算；
（3）根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方部分与重叠部分所对应的x的范围即可.
12．【答案】（1）设反比例函数的解析式为y=kx.把P（-2，1）代入上式，得k−2=1解得 k=-2∴ 反比例函数的解析式为y=−2x.
（2）把Q（1，m）代入y=−2x，得 m=−21=−2
∴点Q的坐标是（1，-2）；
设一次函数的解析式为y=ax+b，把P（-2，1）和Q（1，-2）分别代入，得
−2a+b=1a+b=−2解得a=−1b=−1
∴一次函数的解析式为y=-x-1
（3）x＜-2或0＜x＜1.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】(1)设出反比例函数的解析式，用待定系数法求解即可；
(2)把Q（1，m）代入（1）中的反比例函数解析式，并解方程求出m，即可得出点Q的坐标；然后利用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
(3)结合图象，直接写出结论即可。
13．【答案】（1）解：∵直线y=x过点M(2，a)，
∴a=2
∴将M(2，2)代入y=kx中，得k=4，
∴反比例函数的表达式为y=4x
（2）解：∵点A(1，m)在y=4x的图象上，
∴m=4，
∴A(1，4)
设平移后直线AB的解析式为y=x+b，
将A(1，4)代入y=x+b中，得4=1+b，
解得b=3.
（3）证明：如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过B点作BF⊥x轴于点F.
∵B(n，−1)在反比例函数y=4x的图象上，
∴n=-4，
∴B（-4，-1）
又∵A(1，4)，
∴AE=BF，OE=OF，
∴∠AEO=∠BFO
∴△AOE≌△BOF(SAS)，
∴∠AOE=∠BOF，OA=OB
又∵直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点C，D，
∴C(−3，0)，D(0，3)，
∴OC=OD
在△AOD和△BOC中，
OA=OB∠AOE=∠BOFOD=OC∴△AOD≌△BOC(SAS).
【知识点】一次函数图象与几何变换；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）将M（2，a）代入y=x中可得a=2，则M（2，2），代入y=kx中求出k的值，据此可得反比例函数的解析式；
（2）将A（1，m）代入反比例函数解析式中可得m=4，则A（1，4），设平移后直线AB的解析式为y=x+b，将A（1，4）代入就可求出b的值；
（3）过点A作AE⊥y轴于点E，过B点作BF⊥x轴于点F，将y=-1代入反比例函数解析式中得n的值，则B（-4，-1），结合点A的坐标得AE=BF，OE=OF，由垂直得∠AEO=∠BFO，证明△AOE≌△BOF，得到∠AOE=∠BOF，OA=OB，易得C（-3，0）、D（0，3），则OC=OD，然后利用全等三角形的判定定理进行证明.
14．【答案】（1）解：∵一次函数y1＝kx+2的图象与反比例函数y2＝-8x的图象相交于A（a，-2a）、B（4，-2） ，
∴-2=4k+2，
∴k=-1，
∴y1＝-x+2，
∴-2a=-a+2，
∴a=-2.
（2）解：由（1）可知：A（-2，4）、B（4，-2） ，
∵kx+2+8x＜0，
∴kx+2＜-8x，即y1＜y2时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
∴ -2＜x＜0或x＞4.
（3）解：如图所示，AB与x轴交于点C，
由（1）可知：y1＝-x+2，
∴点C（2，0），
∴OC=2，
∴S△AOB=12OC（yA-yB）=12×2×（4+2）=6.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据点A（a，-2a）、B（4，-2） 在一次函数y1＝kx+2的图象与反比例函数y2＝-8x的图象上，先把B点坐标代入一次函数解析式求出k，从而得出y1＝-x+2，在把A点坐标代入一次函数解析式求出a值即可；
（2）由（1）可知：A（-2，4）、B（4，-2） ，由kx+2+8x＜0得kx+2＜-8x，即y1＜y2，结合图象，只需要写出一次函数图象在反比例函数图象的下方时x的取值范围即可；
（3）如图所示，AB与x轴交于点C，由（1）可知：y1＝-x+2，进而求出OC的长，再根据S△AOB=12OC（yA-yB），代入数据计算求解即可.
15．【答案】（1）解：过点A作AD⊥x轴于D点，如图
∵sin∠AOE= 45 ，OA=5，
∴sin∠AO E= ADOA = AD5 = 45 ，
∴AD=4，
∴DO= 52−42 =3，
而点A在第二象限，
∴点A的坐标为（﹣3，4），
将A（﹣3，4）代入y= mx ，得m=﹣12，
∴反比例函数的解析式为y=﹣ 12x ；
将B（6，n）代入y=﹣ 12x ，得n=﹣2；
将A（﹣3，4）和B（6，﹣2）分别代入y=kx+b（k≠0），得
−3k+b=46k+b=−2 ，
解得 k=−23b=2 ，
∴所求的一次函数的解析式为y=﹣ 23 x+2；
（2）解：在y=﹣ 23 x+2中，令y=0，
即﹣ 23 x+2=0，
解得x=3，
∴C点坐标为（0，3），即OC=3，
∴S△AOC= 12 •AD•OC= 12 •4•3=6.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；锐角三角函数的定义；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）过点A作AD⊥x轴于D点，根据正弦求出AD=4，根据勾股定理求出DO=3，再求出点A的坐标为（﹣3，4），再求反比例函数的解析式，从而求出B的坐标，再用待定系数法求一次函数的解析式；（2）令y=0，即- 23 x+2=0，解得x=3，得C点坐标为（0，3），即OC=3，S△AOC= 12 •AD•OC.
16．【答案】（1）解：将A(4,−2)代入 y=k2x ,得k 2 =−8.
∴y=− 8x ，
将(−2,n)代入y=− 8x ，
n=4.
∴k 2 =−8，n=4；
（2）解：根据函数图象可知：−2