2026中考数学高频考点一轮复习：二次根式（试题含解析）

这是一份2026中考数学高频考点一轮复习：二次根式（试题含解析），共17页。
A．2B．0.5C．13D．9
2．（2025春•兴化市）下列计算正确的是（ ）
A．2+3=5B．2×3=6
C．4-2=2D．(-2)2=-2
3．（2025春•米东区）下列计算正确的是（ ）
A．32-2=3B．2+3=5C．2÷3=63D．5×2=25
4．（2025春•宿城区）下列运算正确的是（ ）
A．8=42B．27-18=3C．2⋅3=5D．2÷12=2
5．（2025春•浦东新区月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．b3B．0.1a
C．(a+b)(a-b)D．a2b
6．（2025•永嘉县三模）下列运算正确的是（ ）
A．9=±3B．±9=-3
C．(-9)2=-9D．(-9)2=9
7．（2025春•前郭县）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为27和12的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A．63B．6C．43D．4
8．（2024秋•金沙县）下列运算中正确的是（ ）
A．(-5)2=-5B．6÷23×3=3
C．(2+1)(2-1)=3D．(3-2)2=11-62
9．（2025春•渭城区月考）在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加22cm，宽增加32cm，就成了一个面积为162cm2的正方形纸片，则原长方形纸片的面积为（ ）
A．54cm2B．50cm2C．84cm2D．88cm2
10．（2025春•安远县月考）设实数x、y满足（x+x2+2011）（y+y2+2011）＝2011，则x+y＝（ ）
A．1B．﹣1C．0D．2011
二．填空题（共5小题）
11．（2025•榕江县二模）【动手操作】图①是一个八角星形纸板，图中有八个直角，八个相等的钝角，每条边都相等．小明将纸板沿虚线剪开，如图②所示，无缝隙无重叠的拼成图③所示的大正方形，其面积为8+42，则图③中线段AB的长为 ．
12．（2025春•常州）如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是a，b，化简a2+(b)2的结果是 ．
13．（2024秋•莒县）如图，数轴上点A表示的数为a，化简|a-3|-a2-4a+4= ．
14．（2024秋•广饶县）数a在数轴上表示如图，则化简(a-1)2+a2的结果是 ．
15．（2025•烟台模拟）若二次根式在x+12x+1实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春•金平区）如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么三角形的面积为S=p(p-a)(p-b)(p-c)．
【方法应用】：如图，在△ABC中，AC＝12，BC＝13，AB＝5．
（1）请你用“海伦﹣秦九韶公式”求△ABC的面积；
（2）除了利用“海伦﹣秦九韶公式”求△ABC的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法．
17．（2025春•沭阳县）阅读下列化简过程：
化简：23+1．
解法一：23+1=2×(3-1)(3+1)(3-1)=2(3-1)(3)2-1=3-1
解法二：23+1=3-13+1=(3)2-123+1=(3+1)(3-1)3+1=3-1
请用其中一种方法完成下列问题：
（1）化简：
①415-11；
②12+3+12-1；
（2）计算：12+1+13+2+14+3+⋯+1100+99．
18．（2025春•宿城区）阅读下面的文字，解答问题：大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2-1来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的．因为2的整数部分是1，将2减去其整数部分，差就是2的小数部分．请解答：
（1）17的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果13的小数部分为a，37的整数部分为b，求a+b-13的值；
（3）拓展：设a，b是有理数，且满足a+2b=3-22，求ba的值．
小慧的做法是：由题意，得(a-3)+(b+2)2=0．因为a，b都是有理数，所以a﹣3，b+2也是有理数．由于2是无理数，所以a﹣3＝0，b+2＝0，所以a＝3，b＝﹣2，所以ba＝（﹣2）3＝﹣8．
问题：设x，y都是有理数，且满足x2-2y+5y=10+35，求x+y的值．
19．（2025春•兴化市）计算：
（1）32-42+|1-2|；
（2）(1-xx+1)÷x2-1x2+2x+1．
20．（2025春•天山区期中）已知x=3-2，y=3+2，求下列代数式的值：
（1）x2+xy+y2；
（2）xy-yx．
中考数学一轮复习 二次根式
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025春•两江新区）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．2B．0.5C．13D．9
【考点】最简二次根式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可．
【解答】解：根据最简二次根式的定义逐项分析判断如下：
A． 2是最简二次根式，符合题意；
B． 0.5=12=12=22，不是最简二次根式，不符合题意；
C． 13=33，不是最简二次根式，不符合题意；
D． 9=3，不是最简二次根式，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2．（2025春•兴化市）下列计算正确的是（ ）
A．2+3=5B．2×3=6
C．4-2=2D．(-2)2=-2
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据二次根式的加法、减法和乘法的运算法则，以及二次根式的性质，逐一验证各选项的正确性即可．
【解答】解：根据二次根式的加法、减法和乘法的运算法则，以及二次根式的性质逐项分析判断如下：
A、2和3不是同类二次根式，无法合并，选项错误；
B、2×3=6，计算正确，选项正确；
C、4-2=2-2，计算错误，选项错误；
D、(-2)2=2，计算错误，选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的运算和性质，掌握相关运算法则是解题关键．
3．（2025春•米东区）下列计算正确的是（ ）
A．32-2=3B．2+3=5C．2÷3=63D．5×2=25
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据二次根式的四则运算法则求解即可．
【解答】解：A、32-2=22，原式计算错误，不符合题意；
B、2与3不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
C、2÷3=63，原式计算正确，符合题意；
D、5×2=10，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次根式的加减乘除计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
4．（2025春•宿城区）下列运算正确的是（ ）
A．8=42B．27-18=3C．2⋅3=5D．2÷12=2
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据二次根式性质对A选项进行判断；
根据二次根式的减法对B选项进行判断；
根据二次根式的乘法对C选项进行判断；
根据二次根式的除法对D选项进行判断．
【解答】解：A．因为8=22，所以A选项错误，不符合题意；
B．因为27-18=33-32，所以B选项错误，不符合题意；
C．因为2•3=6，所以C选项错误，不符合题意；
D．因为2÷12=2×2=2，所以D选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质以及二次根式的加减乘除运算法则，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
5．（2025春•浦东新区月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．b3B．0.1a
C．(a+b)(a-b)D．a2b
【考点】最简二次根式．
【答案】C
【分析】满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可．
【解答】解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、被开方数是小数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故此选项符合题意；
D、被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握这个概念是解题的关键．
6．（2025•永嘉县三模）下列运算正确的是（ ）
A．9=±3B．±9=-3
C．(-9)2=-9D．(-9)2=9
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：A.9=3，故此选项不合题意；
B．±9=±3，故此选项不合题意；
C．(-9)2=-9，故此选项不合题意；
D.(-9)2=9，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．
7．（2025春•前郭县）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为27和12的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A．63B．6C．43D．4
【考点】二次根式的应用．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】直接根据题意表示出正方形的边长，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得两正方形的边长分别为：27=33，12=23，
故图中空白部分的面积为：23×(33-23)=6．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次根式的应用，正确表示出正方形边长是解题关键．
8．（2024秋•金沙县）下列运算中正确的是（ ）
A．(-5)2=-5B．6÷23×3=3
C．(2+1)(2-1)=3D．(3-2)2=11-62
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式；分母有理化．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质逐项分析判断即可．
【解答】解：根据二次根式的性质逐项分析判断如下：
A、(-5)2=|-5|=5，故A错误；
B、6÷23×3=6×32×3=9，故B错误；
C、(2+1)(2-1)=(2)2-1=1，故C错误；
D、(3-2)2=9-62+2=11-62，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算以及二次根式的性质，掌握相关运算法则是解题关键．
9．（2025春•渭城区月考）在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加22cm，宽增加32cm，就成了一个面积为162cm2的正方形纸片，则原长方形纸片的面积为（ ）
A．54cm2B．50cm2C．84cm2D．88cm2
【考点】二次根式的应用．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】C
【分析】利用算术平方根求出正方形的边长，进而求出原矩形的边长，即可得出答案．
【解答】解：∵一个面积为162cm2的正方形纸片，边长为：162=92cm，
∴原矩形的长为：92-22=72（cm），宽为：92-32=62（cm），
∴原长方形纸片的面积为：72×62=84（cm2）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的应用，根据题意得出原矩形的边长是解题关键．
10．（2025春•安远县月考）设实数x、y满足（x+x2+2011）（y+y2+2011）＝2011，则x+y＝（ ）
A．1B．﹣1C．0D．2011
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】设m＝x+x2+2011，n＝y+y2+2011，则m﹣x=x2+2011，两边平方得到x=m2-20112m，同理可得y=n2-20112n，则x+y=m2n-2011n2mn+mn2-2011m2mn，再把2011＝mn代入，然后进行分式的运算即可．
【解答】解：设m＝x+x2+2011，n＝y+y2+2011，
∴m﹣x=x2+2011，
∴m2﹣2mx+x2＝x2+2011，
∴x=m2-20112m，
同理可得y=n2-20112n，
∴x+y=m2-20112m+n2-20112n=m2n-2011n2mn+mn2-2011m2mn，
∵2011＝mn，
∴x+y=m2n-mn2+mn2-m2n2mn=0．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：熟练运用二次根式的性质是解决此类问题的关键，利用换元法找到突破口．
二．填空题（共5小题）
11．（2025•榕江县二模）【动手操作】图①是一个八角星形纸板，图中有八个直角，八个相等的钝角，每条边都相等．小明将纸板沿虚线剪开，如图②所示，无缝隙无重叠的拼成图③所示的大正方形，其面积为8+42，则图③中线段AB的长为 2+1 ．
【考点】二次根式的应用．
【专题】二次根式；运算能力；应用意识．
【答案】2+1．
【分析】依据题意，由题中信息可得图2、图3面积相等；图2可分割为一个正方形和四个小三角形；设原八角形边长为a，则图2正方形边长为2a+2a、面积为(2a+2a)2，四个小三角形面积和为2a2解得a＝1，进而计算可以得解．
【解答】解：由题意，设原八角形边长为a，
∴图2正方形边长为2a+2a，面积为(2a+2a)2．
∴四个小三角形面积和为2a2，
∴(2a+2a)2+2a2=8+42．
∴a＝±1．
∵a＞0，
∴a＝1，
∴AB=1+2．
故答案为：2+1．
【点评】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
12．（2025春•常州）如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是a，b，化简a2+(b)2的结果是 b﹣a ．
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】b﹣a．
【分析】由数轴得到a＜0，b＞0，再根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：由数轴得，a＜0，b＞0，
∴a2+(b)2
＝|a|+b
＝﹣a+b
＝b﹣a，
故答案为：b﹣a．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，数轴．熟练掌握以上知识点是关键．
13．（2024秋•莒县）如图，数轴上点A表示的数为a，化简|a-3|-a2-4a+4= 1 ．
【考点】二次根式的性质与化简；绝对值；实数与数轴．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】1．
【分析】利用数轴表示数的方法得到a＜2，再利用完全平方公式和二次根式的性质化简原式，然后去绝对值后合并即可．
【解答】解：由条件可得：
|a-3|-a2-4a+4
＝|a﹣3|﹣|a﹣2|
＝﹣（a﹣3）+（a﹣2）
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简和化简绝对值，熟练掌握以上知识点是关键．
14．（2024秋•广饶县）数a在数轴上表示如图，则化简(a-1)2+a2的结果是 1 ．
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】1．
【分析】由数轴可得0＜a＜1，判断a﹣1＜0，再化简二次根式与绝对值，然后合并即可．
【解答】解：由数轴可知a﹣1＜0，
∴原式＝|a﹣1|+a
＝1﹣a+a
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查的是利用数轴比较数的大小，化简绝对值，二次根式的化简．熟练掌握以上知识点是关键．
15．（2025•烟台模拟）若二次根式在x+12x+1实数范围内有意义，则x的取值范围为 x≥﹣1且x≠-12 ．
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】x≥﹣1且x≠-12．
【分析】根据被开方数为非负数以及分母不为0，列出不等式，求解即可．
【解答】解：由题意，得x+1≥0且2x+1≠0，
解得：x≥﹣1且x≠-12，
故答案为：x≥﹣1且x≠-12．
【点评】本题考查了二次根式以及分式有意义的条件，掌握被开方数非负数以及分母不为0是解答本题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春•金平区）【追本溯源】：人教版八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦﹣秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么三角形的面积为S=p(p-a)(p-b)(p-c)．
【方法应用】：如图，在△ABC中，AC＝12，BC＝13，AB＝5．
（1）请你用“海伦﹣秦九韶公式”求△ABC的面积；
（2）除了利用“海伦﹣秦九韶公式”求△ABC的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法．
【考点】二次根式的应用．
【专题】二次根式；运算能力；应用意识．
【答案】（1）30；（2）有其他解法，解法见解析．
【分析】（1）依据题意，直接代入海伦一秦九韶公式求解；
（2）依据题意，先利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，再用两直角边的积除以2求出面积即可
【解答】解：（1）由题意，∵AC＝12，BC＝13，AB＝5，
∴p=12+13+52=15，
∴S△ABC=15(15-12)(15-13)(15-5)
=15×3×2×10
＝30．
∴△ABC 的面积为30．
（2）由题意，∵AC＝12，BC＝13，AB＝5，
∴AC2＝144，BC2＝169，AB2＝25．
∴AB2+AC2＝169＝AC2，
∴∠A＝90°．
∴S△ABC=12AB×AC=12×5×12＝30．
【点评】本题主要考查了二次根式的应用，代数式求值，勾股定理的逆定理，准确计算是解题关键．
17．（2025春•沭阳县）阅读下列化简过程：
化简：23+1．
解法一：23+1=2×(3-1)(3+1)(3-1)=2(3-1)(3)2-1=3-1
解法二：23+1=3-13+1=(3)2-123+1=(3+1)(3-1)3+1=3-1
请用其中一种方法完成下列问题：
（1）化简：
①415-11；
②12+3+12-1；
（2）计算：12+1+13+2+14+3+⋯+1100+99．
【考点】二次根式的混合运算；分母有理化．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）①15+11；②3-3+2；
（2）9．
【分析】（1）根据阅读材料中的解法计算即可求解；
（2）直接利用分母有理化化简二次根式，再合并得出答案．
【解答】解：（1）①415-11=4(15+11)(15-11)(15+11)=15+11；
②12+3+12-1=2-3(2+3)(2-3)+2+1(2-1)(2+1)
=2-3+2+1=3-3+2；
或①415-11=(15)2-(11)215-11=(15+11)(15-11)15-11=15+11；
②12+3+12-1=22-(3)22+3+(2)2-122-1
=(2+3)(2-3)2+3+(2+1)(2-1)2-1
=2-3+2+1
=3-3+2；
（2）12+1+13+2+14+3+⋯+1100+99
=2-1+3-2+4-3+⋯+100-99
=100-1
＝10﹣1
＝9．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简，正确读懂题意是解题的关键．
18．（2025春•宿城区）阅读下面的文字，解答问题：大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2-1来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的．因为2的整数部分是1，将2减去其整数部分，差就是2的小数部分．请解答：
（1）17的整数部分是 4 ，小数部分是 17-4 ；
（2）如果13的小数部分为a，37的整数部分为b，求a+b-13的值；
（3）拓展：设a，b是有理数，且满足a+2b=3-22，求ba的值．
小慧的做法是：由题意，得(a-3)+(b+2)2=0．因为a，b都是有理数，所以a﹣3，b+2也是有理数．由于2是无理数，所以a﹣3＝0，b+2＝0，所以a＝3，b＝﹣2，所以ba＝（﹣2）3＝﹣8．
问题：设x，y都是有理数，且满足x2-2y+5y=10+35，求x+y的值．
【考点】二次根式的化简求值；估算无理数的大小．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）4，17-4；
（2）3；
（3）7或﹣1．
【分析】（1）利用16＜17＜25，所以4＜17＜5，则可确定17的整数部分，然后把17减去它的整数部分得到17的小数部分；
（2）先与（1）的方法一样得到3＜13＜4，则13的整数部分为3，小数部分为13-3，即a=13-3；利用6＜37＜7得到b＝6，然后把a、b的值代入计算即可；
（3）先把已知条件变形得到（x2﹣2y﹣10）+（y﹣3）5=0，则根据无理数的性质得到x2﹣2y﹣10＝0且y﹣3＝0，接着分别求出x、y的值，然后计算它们的和即可．
【解答】解：（1）∵16＜17＜25，
∴4＜17＜5，
∴17的整数部分为4，小数部分为17-4；
故答案为：4，17-4；
（2）∵9＜13＜16，
∴3＜13＜4，
∴13的整数部分为3，小数部分为13-3，即a=13-3；
∵36＜37＜49，
∴6＜37＜7，
∴37的整数部分为6，即b＝6，
∴a+b-13=13-3+6-13=3；
（3）∵x2-2y+5y=10+35，
∴（x2﹣2y﹣10）+（y﹣3）5=0，
∵a，b是有理数，5为无理数，
∴x2﹣2y﹣10＝0且y﹣3＝0，
解得y＝3，x＝±4，
当x＝4时，x+y＝4+3＝7；
当x＝﹣4时，x+y＝﹣4+3＝﹣1，
综上所述，x+y的值为7或﹣1．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了估算无理数的大小．
19．（2025春•兴化市）计算：
（1）32-42+|1-2|；
（2）(1-xx+1)÷x2-1x2+2x+1．
【考点】二次根式的混合运算；分式的混合运算；分母有理化．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）32-1；
（2）1x-1．
【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）根据分式的混合运算法则计算即可．
【解答】解：（1）原式=42-22+2-1
=32-1；
（2）原式=(x+1x+1-xx+1)÷x2-1x2+2x+1
=1x+1×(x+1)2(x+1)(x-1)
=1x-1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
20．（2025春•天山区期中）已知x=3-2，y=3+2，求下列代数式的值：
（1）x2+xy+y2；
（2）xy-yx．
【考点】二次根式的化简求值；分式的加减法．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）13；（2）83．
【分析】因为x=3-2，y=3+2，所以x+y=23，xy=(3-2)(3+2)=-1，
（1）x2+xy+y2＝（x+y）2﹣xy，代入数据计算即可．
（2）x2+xy+y2＝x2+2xy+y2﹣xy＝（x+y）2﹣xy，代入数据计算即可．
【解答】解：因为x=3-2，y=3+2，
所以x+y=3-2+3+2=23，
x﹣y=(3-2)-(3+2)=-4，
xy=(3-2)(3+2)=-1，
（1）x2+xy+y2
＝x2+2xy+y2﹣xy
＝（x+y）2﹣xy
=(23)2-(-1)
＝13；
（2）xy-yx
=x2-y2xy
=(x+y)(x-y)xy
=23×(-4)-1
=83．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值、分式的加减法，按照计算法则、运用平方差公式和完全平方公式是解决本题的关键．