2026年高考数学二轮复习题型归纳与变式演练专题13 立体几何中外接球内切球问题（2份，原卷版+解析版）

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【例题1-1】长方体的三个相邻面的面积分别是8，8，16，则该长方体外接球的体积为（ ）
A．24π B．32π C．36π D．48π
【答案】C
【详解】设长方体的长、宽、高分别为、、，则，，，解得，，所以长方体外接球的半径为，所以外接球的体积为.故选：C.
【例题1-2】一个棱长为2的正方体，其外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：因为正方体的棱长为，所以其体对角线为，所以外接球的直径即为，即外接球的半径，所以外接球的体积；故选：D
【例题1-3】若体积为12的长方体的每个顶点都在球的球面上，且此长方体的高为2，则球的表面积的最小值为___________.
【答案】
【详解】设长方体长和宽分别为，球的半径为，所以所以，故
所以表面积，当时，等号成立.即球的表面积的最小值为，故答案为：
【提分秘籍】
①长方体外接球：在长方体中，设一个顶点出发的三条边长分别为：，，，则长方体外接球半径
②正方体外接球：在正方体中，设边长为，则正方体外接球半径
【变式1-1】长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2，4，4，则该长方体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】长方体外接球直径，所以该长方体外接球的表面积故选：C.
【变式1-2】已知长方体的外接球的表面积为，若，，则直线与直线所成角的余弦值为__________．
【答案】
【详解】设长方体的外接球半径为，则，可得，
则，，连接、，如下图所示：
因为且，故四边形为平行四边形，则，故直线与直线所成角为或其补角，由勾股定理可得，，，由余弦定理可得，因此，直线与直线所成角的余弦值为.
故答案为：.
【变式1-3】已知长方体的三条棱长分别为1，，，则该长方体外接球的表面积为___．（结果用含的式子表示）
【答案】
【详解】由题意得，长方体的体对角线即为外接球直径，设外接球半径为，则，则外接球的表面积为.故答案为：.
题型二：外接球补型法
【例题2-1】在四面体中，已知点，分别为棱，中点，且，，若，，则该四面体外接球半径为__________．
【答案】
【详解】解：根据长方体的面对角线特点，由对棱，且对棱中点E，F分别满足，，则可构造长方体使得四面体的顶点与长方体的顶点重合，由长方体的外接球即为四面体的外接球，如下图所示：
设长方体的长、宽、高分别为则，，所以外接球的半径，即四面体的外接球半径为.故答案为：.
【例题2-2】在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】三棱锥中，，，，构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径，如图，
设长方体的棱长分别为，，，则，，，则，因此三棱锥外接球的直径为，所以三棱锥外接球的表面积为．故选：A
【例题2-3】已知三棱锥中，为等边三角形，，，，，则三棱锥的外接球的半径为___________；若､分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最大值为___________.
【答案】3
【详解】由已知可证明，，两两垂直且长度均为，
所以可将三棱锥补成正方体，如图所示三棱锥的外接球就是正方体的外接球，
设外接球的半径为，则.设三棱锥外接球球心为，内切球球心为，内切球与平面的切点为，易知：，，三点均在上，且平面，设内切球的半径为，由等体积法：，得，将几何体沿截面切开，得到如下截面图：
两圆分别为外接球与内切球的大圆，注意到，，∴，∴，两点间距离的最大值为.故答案为：3；
【提分秘籍】
①墙角型：由一个顶点出发的三条棱两两互相垂直，可补形为长方体或正方体，再利用公式法求解外接球问题；
②对棱相等型：如果一个多面体的对棱都相等，可以补形为长方体，或正方体，再利用公式法求解外接球问题；
【变式2-1】已知正方形的边长为2，点为边的中点，点为边的中点，将，分别沿折起，使三点重合于点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意知：三棱锥的外接球即为长方体的外接球，如图所示：
又因为，所以长方体的体对角线长为，所以外接球的半径为：，所以外接球的表面积为，故选：A
【变式2-2】三棱锥中，平面，为直角三角形，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由于三棱锥中，平面ABC，，，故将该三棱锥置于一个长方体中，如下图所示：
则体对角线即为外接球的直径， 所以，故三棱锥的外接球表面积为．故选：D
【变式2-3】已知三棱锥中， 面， 则三棱锥的外接球的体积为___________.
【答案】
【详解】
由题可知,该三棱锥在长方体中，且三棱锥的四个顶点为长方体的四个顶点，所以三棱锥的外接球即为长方体的外接球，由图可知长方体的长宽高分别为，所以体对角线长，
所以外接球的体积等于.故答案为:.
题型三：外接球单面定球心法
【例题3-1】在正三棱锥中，为的中心，已知，，则该正三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设侧棱长为x，且易知
则，因为，则,所以，解得，所以，设球心为M，则MP=MA=R，，因为，所，解得，所以表面积，故选：A.
【例题3-2】在三棱锥中，，平面，则三棱锥的外接球的体积为______．
【答案】
【详解】解：如图所示，设底面的中心为, 连接,取的中点，连接.由正弦定理得.因为因为AC⊥平面PAB，平面PAB，所以,所以四边形是矩形，所以.所以球的半径为.所以外接球O的体积为.故答案为：
【例题3-3】在四面体中，，，，设，则该几何体的外接球的体积为_________
【答案】
【详解】如图,该四面体的外接球的球心O必经过△ABC外接圆的圆心且垂直于平面ABC的直线上,且到A,P的距离相等.
在△ABC中,由余弦定理得：.由正弦定理得：,解得：而，所以.即该几何体的外接球的半径.所以外接球的体积为.故答案为：.
【提分秘籍】
①第一步：选定一个底面（如图底面三角形），求出三角形外接圆圆心
如图：若为直角三角形，则外接圆圆心在斜边的中点上；
若为正三角形，则外接圆圆心在重心位置；
若为普通三角形，则利用正弦定理,确定出的位置
②第二步：过点作出平面的垂线，如图为，则球心在直线上；
③计算：在中，利用勾股定理求出外接球半径
【变式3-1】设三棱锥满足，且，当三棱锥体积最大时，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】中，，则在以为弦，所对圆周角为的圆上的一段优弧上，如图，易知当即为等边三角形时，到的距离最大为，当不变时，假设于，当平面平面，从而平面时，点到平面的距离最大为，也即三棱锥的高最大，从而体积最大，此时是中点，连接，，，设是外心，则，，，过作平面的垂线，则三棱锥的外接球球心在此垂线上，设是三棱锥的外接球球心，如图，连接，，易得，设外接球半径为，即，在直角梯形和直角三角形中，，
，解得，球表面积为．故选：B．
【变式3-2】已知空间四边形的各边长及对角线的长度均为6，平面平面，点M在上，且，那么外接球的半径为______；过点M作四边形外接球的截面.则截面面积最大值与最小值之比为______.
【答案】
【详解】空1：由题意知和为等边三角形，取中点E，连，，则，平面平面，平面平面，平面，∴平面，同理可证：平面，
设外接球的球心为O，半径为R，分别取、的中心、，连接，则平面，平面，∴，，则为平行四边形，由题意可得：，又∵平面，平面，∴，故，
空2：连，∵，，，则H，O，M三点共线，∴，
设过M作四边形外接球的截面圆的半径为r，O到该截面的距离为d，则，即，
∵，则有：当时，此时截面过球心，取到最大值，截面的面积最大为；
当时，取到最小值，截面的面积最小为；故截面面积最大值和最小值之比为.
故答案为：；.
【变式3-3】已知正四棱锥的底面是边长为2的正方形，其内切球的体积为，则该正四棱锥的高为___________，外接球的表面积为___________.
【答案】
【详解】已知正四棱锥内切球的体积为，设球体的半径为，，解得，设正四面体的高为，如图所示，
因为球与四棱锥相内切，所以由等体积法得：， 在中，，，即，化简得：，解得，，设正四棱锥外接球的半径为，外接球的球心为，在中，，解得，所以正四棱锥外接球的表面积为.故答案为：①；②
题型四：外接球双面定球心法
【例题4-1】在三棱锥中，平面平面，与都是边长为6的正三角形，则该三棱锥的外接球的体积为________.
【答案】
【详解】
取的中点为分别是正三角形和正三角形的重心，是该三棱锥外接球的球心，连接,则分别在上，平面，平面，，，因为平面平面，，平面平面，平面
所以平面，所以，同理可得，所以四边形是平行四边形，因为，，，平面，所以平面，又平面，所以，因为平面，平面，所以，∵，
∴，∴四边形为正方形，∴，在直角三角形中，球半径∴外接球体积为，故答案为：
【提分秘籍】
①第一步：选定一个底面（如图底面三角形），求出三角形外接圆圆心
如图：若为直角三角形，则外接圆圆心在斜边的中点上；
若为正三角形，则外接圆圆心在重心位置；
若为普通三角形，则利用正弦定理,确定出的位置
②第二步：过点作出平面的垂线；
③第三步：重复上述两步，再做一条垂线；
④第四步：两条垂线的交点为球心
【变式4-1】已知四边形是边长为3的菱形且一个内角为，把等边沿折起，使得点到达点，则三棱锥体积最大时，其外接球半径为______．
【答案】
【详解】如图，取中点G，连接
当三棱锥体积最大时，平面平面，此时平面，从而．又四边形是边长为3且一个内角为的菱形，为等边三角形，所以与是边长为3等边三角形，所以，设分别为与的外接圆圆心，圆的半径为 ，过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，则两垂线的交点O就是三棱锥的外接球球心，设球的半径为，且此时分别为等边与等边的中心，所以
由此得到四边形为正方形，所以所以，所以外接球半径，所以三棱锥的体积最大时，其外接球半径.
故答案为：.
题型五：内切球问题
【例题5-1】已知正三棱锥中，侧面与底面所成角的正切值为，，这个三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为三棱锥为正三棱锥，底面边长为6，且侧面与底面所成角的正切值为，所以可得正三棱锥的高，侧面的高；设正三棱锥底面中心为，其外接球的半径为，内切球半径为，
则有，也即，解得：，正三棱锥的体积，
也即，解得：，所以，故选：B.
【例题5-2】已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面､底面均相切）的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设圆锥的内切球半径为，则，解得，设圆锥顶点为，底面圆周上一点为，底面圆心为，内切球球心为，内切球切母线于，底面半径，，则，又，故，又，故，故该圆锥的表面积为，令，则，当且仅当，即时取等号.故选：A.
【提分秘籍】
①等体积法：将空间几何体拆分为以内切球球心为顶点的多个几何体，再利用等体积法求出内切球半径，主要用于多面体内切球问题；
例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下：
即：，可求出.
②独立截面法：主要用于旋转体中，通过独立截面（过球心的截面），在截面中求出内切球的半径.
【变式5-1】在四棱锥中，平面平面，为边长为1的等边三角形，底面为矩形.若四棱锥存在一个内切球（内切球定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球），则内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由于平面平面，为边长为1的等边三角形，底面为矩形，所以四棱锥的内切球在等边三角形的“正投影”是等边三角形的内切圆，设等边三角形的内切圆半径为，则，解得，所以内切球的半径为，其表面积为.故选：D
【变式5-2】如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为，则模型中九个球的体积和为__________.
【答案】
【详解】如图所示正四面体，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心，延长交底面于，是等边三角形的中心，过作交于，连接，
则为正四面体内切球的半径，因为，，，
所以，所以，解得，
所以正四面体内切球的体积，由图可知最大球内切于高的正四面体中，最大球半径，故最大球体积为；
中等球内切于高的正四面体中，中等球半径，故中等球的体积为；
最小求内切于高的正四面体中，最小球半径，故最小求的体积为；
所以九个球的体积和，故答案为：.
【变式5-3】如图所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且分别与正方体内切，则两球半径之和为 .
【答案】
【详解】作正方体的对角面，得如图所示的截面图:其中AB,CD为正方体的棱，AD,BC为正方体的面对角线，AC为体对角线，
球心和在上，过分别作的垂线交于E，F两点.设小球半径为r，大球半径为R,则由题意知，得，∴，
∴，即两球半径之和为.
专题13 立体几何中外接球内切球问题 课后巩固练习
一、单选题
1．在三棱锥，若平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积是（ ）
A．100π B．50π C．144π D．72π
【答案】A
【详解】如图，将三棱锥放于一个长方体内：
则三棱锥的外接球就是长方体的外接球，∴PB为三棱锥P－ABC外接球的直径，
∵，∴外接球的表面积为：．故选：A.
2．金刚石的成分为纯碳，是自然界中存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体. 若某金刚石的棱长为2，则它外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设，正八面体的棱长为，根据正八面体的性质可知：，
所以是外接球的球心，且半径，所以外接球的体积为.故选：A
3．古希腊数学家阿基米德的墓碑，上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，即：圆柱的内切球体积与圆柱体积比为定值，则该定值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，所以 .故选：B
4．如图，已知球是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】平面截球的截面为的内切圆，
正方体棱长为1，.内切圆半径.截面面积为：.故选：C.
5．已知一圆台高为7，下底面半径长4，此圆台外接球的表面积为，则此圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
如图为圆台及其外接球的轴截面，为外接球球心，，为等腰梯形的下底和上底的中点，所以，，因为外接球的表面积为，所以外接球的半径为，圆台下底面半径为4，所以，，则，，即圆台上底面半径为3，所以圆台的体积为.故选：C.
6．1822年，比利时数学家 Dandelin利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得与小球相切．若，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】在中，设，
，，，，， ∴长轴长，，则离心率.故选：A
7．已知圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，该圆锥的内切球也是棱长为a的正四面体的外接球，则此正四面体的棱长a为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【详解】由题意可知，该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为，球的半径为，圆锥的底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图所示，
由已知可得， 所以△SAB为等边三角形，故点P是△SA B的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO= 30°，故，解得，故正四面体的外接球的半径.
又正四面体可以从正方体中截得，如图所示，
从图中可以得到，当正四面体的棱长为时，截得它的正方体的棱长为，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以，解得,故选：A
二、填空题
8．在四边形中， ， 为等边三角形，将沿边 折起，使得，则三棱锥外接球的体积为______.
【答案】
【详解】取中点M，连接，
因为，所以 ,为等边三角形，则，而，故，,
由题意知为等边三角形，，M为中点，故,,
而平面,故平面,又平面 ,故平面平面,
过D作平面的垂线，垂足为N，因为平面平面,所以N点一定落在直线上，则,,又，故，即M为的中点，且M为外接圆圆心，设三棱锥外接球的球心为O，则点O一定在过点M垂直于平面的直线上，设外接球半径为R，则,①,
作为垂足，则为矩形，故 ,
所以,②,②联立解得，
故答案为：
9．在正三棱锥S－ABC中，，△ABC的边长为2，则该正三棱锥外接球的表面积为______．
【答案】
【详解】，正三棱锥中，所以，侧面是正三角形，则正三棱锥为正四面体．将正四面体补成正方体（正四面体的四个顶点S，A，B，C均为正方体的顶点），则正四面体的外接球即为正方体的外接球，可得补成的正方体棱长为，则其外接球的半径，所以该正三棱锥外接球的表面积为．故答案为：．
10．连接正方体的每个面的中心构成一个正八面体（如图所示），该正八面体内切球与原正方体内切球的表面积之比为__________.
【答案】
【详解】解：不妨设正方体边长为2，则正方体内切球半径，正八面体边长为，它的内切球球心为正方体中心，记正八面体内切球半径为，将正八面体分为8个以为顶点的三棱锥，
故，解得，所以该正八面体内切球与原正方体内切球的表面积之比为.故答案为：
11．在高为2的直三棱柱中，AB⊥AC，若该直三棱柱存在内切球，则底面△ABC周长的最小值为___________.
【答案】
【详解】因为直三棱柱的高为2，设内切球的半径为，所以，所以，又因为AB⊥AC，所以设，所以，因为，所以 △ABC周长的最小值即为面积的最小值，而，当且仅当 “”时取等.
当时，底面△ABC周长最小，所以，所以
，所以此时
△ABC周长的最小值：.故答案为：.
12．已知对棱相等的四面体被称为“等腰四面体”，它的四个面是全等的锐角三角形.设等腰四面体的三组对棱长分别为a、b、c，则该四面体的体积计算公式为，，其中．在等腰四面体A－BCD中，，，，则该四面体的内切球表面积为_________．
【答案】
【详解】在中，设，由余弦定理得，
，∴，四面体的体积，
∵△ABC为锐角三角形，∴，，，
，设四面体内切球半径为r，∵四面体的四个面全等，则，解得，∴内切球表面积为.故答案为：.