新高考数学二轮复习立体几何专题练习专题01 十种求外接球与内切球模型（2份，原卷版+解析版）

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模型一:墙角模型
墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型,用构造法(构造长方体)解决.外接球的直径等于长方体的体对角线长.
使用范围: 3组或3条棱两两垂直;或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合
推导过程:长方体的体对角线就是外接球的直径
公式:找三条两两垂直的线段,直接用公式,即2R,求出.
例1．四面体的每个顶点都在球的球面上，两两垂直，且，，，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
例2．在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为线段AB，BC的中点，连接DE，DF，EF，将 ADE，CDF，BEF分别沿DE，DF，EF折起，使三点重合，得到三棱锥O-DEF，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．3B．C．6D．24
例3．已知P，A，B，C为球O的球面上的四个点，若平面，，，，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
例4．如图，在矩形中，，E为中点，把和分别沿折起，使点B与点C重合于点P，若三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
例5.在正三棱锥中, 点是的中点,且,底面边长,则正三棱锥 的外接球的表面积为( )
A． B． C． D．
例6．将一个边长为的正三角形沿其中线折成一个直二面角，则所得三棱锥的外接球的体积为_________.
例7.在正三棱锥中,,分别是棱,的中点,且, 若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是_________.
例8.在长方体中,底面是边长为的正方形,是线段上一点, 若二面角的正切值为3,则三棱锥 外接球的表面积为_________.
模型二:对棱相等模型
使用范围:对棱相等的三棱锥
推导过程:通过对棱相等,可以将其补全为长方体,补全的长方体
体对角线为外接球直径,设长方体的长宽高为别为
例1．如图，在中，，D，E，F分别为三边中点，将分别沿向上折起，使A，B，C重合为点P，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
例2．在△ABC中，，将△ABC绕BC旋转至△BCD的位置，使得，如图所示，则三棱锥外接球的体积为_____________．
例3．已知三棱锥的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且，，则该三棱锥的外接球的表面积为______．
例4．已知四面体ABCD的棱长满足AB＝AC＝BD＝CD＝2，BC＝AD＝1，现将四面体ABCD放入一个轴截面为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为________．
例5．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积是______．
例6.已知三棱锥,三组对棱两两相等,且,若三棱雉 的外接球表面积为.则______．
模型三:汉堡模型
适用范围:有一条侧棱垂直于底面的柱体
推导过程:如图,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形).
第一步:确定球心的位置,是的外心,则平面.
第二步:算出小圆的半径也是圆柱的高).
第三步:勾股定理:,求出.
公式:
例1．已知某圆柱的高为，体积为，则该圆柱外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
例2．已知三棱柱的各个侧面均垂直于底面，底面为正三角形，侧棱长与底面边长之比为3：2，顶点都在一个球面上，若三棱柱的侧面积为162，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
例3．已知三棱柱的6个顶点都在球的表面上，，，则球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
例4．直三棱柱所有顶点都在球的表面上，且，，，则球的表面积为________．

例5．在四面体中，，，且，，异面直线，所成角为，则该四面体外接球的表面积为______.
模型四:垂面模型
适用范围:有一条棱垂直于底面的椎体
推导过程:第一步:将画在小圆面上,为小圆直径的
一个端点,作小圆的直径,连接,则 必过球心.
第二步:为的外心,所以平面,算出小
圆的半径(三角形的外接圆直径算法: 利用正弦
定理.
第三步:利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:(1);(2) .
公式:
例1．已知三棱锥，其中平面，，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
例2．已知四面体的每个顶点都在球的球面上，平面，，是正三角形，是等腰三角形，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
例3.在三棱锥 中, 侧棱 底面, 则该三棱锥的外接球的表面积为 ( )
A. B. C. D.
例4．已知四棱锥的五个顶点在球O的球面上，底面，，，，，且四边形的面积为，则球O的表面积为___________.
例5.在三棱锥中,平面,设为中点, 且直线与平面所成角的余弦值为, 则该三棱雉外接球的表面积为___________.
模型五:斗笠模型
使用范围:正棱雉或顶点的投影在底面的外心上
推导过程:取底面的外心, 连接顶点与外心,该线为空间几何体的高,在上取一点作为球心0,根据勾股定理
公式:
例1.已知,,为球的球面上的三个点,为的外接圆.若的面积为, 则球的表面积为
A. B. C. D.
例2.正四棱锥的顶点都在同一球面上, 若该棱锥的高为4 , 底面边长为2 , 则该球的表面积为 ( )
A. B. C. D.
例3.已知一个圆锥的母线长为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
例4.在三棱锥中，侧棱，，，则此三棱锥外接球的表面积为_______．
例5.已知正四面体的棱长为4，则此四面体的外接球的表面积是为________.
例6.在三棱雉中,,且,则该三棱锥外接球的表面积为________.
例7.一个圆锥恰有三条母线两两夹角为, 若该圆雉的侧面积为,则该圆雉外接球的表面积为________.
类型六:切瓜模型

使用范围:有两个平面互相垂直的棱雉
推导过程:分别在两个互相垂直的平面上取外心、过两个外心做两个垂面的垂线, 两条垂线的交点即为球心0 ,取B C的中点为, 连接、、、为矩形
由勾股可得
公式:
例1.已知四棱锥中，底面为边长为的正方形，侧面底面，且为等边三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
例2.已知三棱锥中, 与是边长为2的等边三角形且二面角为直二面角, 则三棱雉的外接球的表面积为 ( )
A. B. C. D.
例3.已知四棱锥的体积是，底面是正方形，是等边三角形，平面平面，则四棱锥的外接球的体积为________.
例4.已知四面体ABCD中，△ABD和△BDC是等边三角形，二面角A﹣BD﹣C为直二面角.若AB＝，则四面体ABCD外接球的表面积为 __________________.
例5.已知在三棱锥中，平面平面和均是边长为的正三角形，则该三棱锥的外接球体积为___________.
模型七:折叠模型
使用范围:两个全等三角形或等腰三角形拼在一起,或菱形折叠.
推导过程:两个全等的三角形或者等腰拼在一起,或者菱形折叠,设折叠的二面角 .如图,作左图的二面角剖面图如右图:和分别为外心,故 .
公式:
例1.已知菱形中,,对角线与的交点为,把菱形沿对角线折起, 使得,则折得的几何体的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
例2.在三棱雉中,,则三棱雉的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
例3.在边长为的菱形中,,沿对角线折成二面角 为的四面体,则此四面体的外接球表面积为________.
模型八:已知球心或球半径模型
例1.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,是球的直径.若平面平面,三棱锥的体积为9 ,则球的表面积为________.
例2.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,为球的直径,若该三棱雉的体积为, , 则球的体积为________.
例3.已知三棱锥 的所有顶点都在球的球面上,是边长为1的正三角形, 为球的直径, 且,则此棱锥的体积为
A. B. C. D.
例4.三棱锥的底面各棱长均为3 , 其外接球半径为2 , 则三棱锥的体积最大时,点到平面的距离为
A. B. C. 3 D. 2
模型九:最值模型
最值问题的解法有两种方法:一种是几何法,即在运动变化过䅣中得到最值,从而转化为定值问题求解.另一种是代数方法,即建立目标函数,从而求目标函数的最值.
例1．在边长为6的菱形中，，现将沿折起，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
例2．在四棱锥中，侧面底面ABCD，且，，底面ABCD是边长为2的正方形，设P为该四棱锥外接球表面上的动点，则三棱锥的最大体积为（ ）
A．B．C．D．
例3．已知，，，，都在同一个球面上，平面平面，是边长为2的正方形，，当四棱锥的体积最大时，该球的半径为______．
例4．，，，四点均在同一球面上，，是边长为的等边三角形，则面积的最大值为__________，四面体体积最大时球的表面积为___________．
模型十:内切球模型
以三棱雉为例, 求其内切球的半径
推导过程:等体积法,三棱雉体积等于内切球
球心与四个面构成的四个三棱雉的体积之和.
第一步:先求出四个表面的面积和整个雉体体积;
第二步:设内切球的半径为,球心为,建立等式:
第三步:解出.
公式:
例1．已知点O到直三棱柱各面的距离都相等，球O是直三棱柱的内切球，若球O的表面积为，的周长为4，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
例2．在《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图在鳖臑中，平面，，，则鳖臑内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例3．《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD为矩形，，则四棱锥和三棱锥的内切球半径比为___________.
【过关检测】
单选题
1．如图，在三棱锥中，，，，且直线AB与DC所成角的余弦值为，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，，则该阳马的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．设三棱柱的侧棱垂直于底面，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
4．如图所示，正方体的棱长为，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，那么该正八面体的内切球表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知三棱锥中，，，D是的中点，平面ABC，点P，A，B，C在球心为O的球面上，若三棱锥的体积是，则球O的半径为（ ）
A．B．1C．D．
6．已知三棱锥的棱底面，若，则其外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．在三棱锥P—ABC中， PA⊥平面ABC，BA=BC，∠PBC=90°，PA=2，若三棱锥P—ABC体积为6，则三棱锥P—ABC外接球的表面积为（ ）
A．18πB．24πC．36πD．40π
8．已知三棱锥所有顶点都在球的球面上，且平面，若，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
9．在三棱锥中，平面ABC，，与的外接圆圆心分别为，，若三棱锥的外接球的表面积为，设，，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
10．已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为，则其外接球的半径为（ ）．
A．1B．2C．3D．
二、填空题
11．四面体ABCD中，平面ABC，，，，∠BAC=90°．若A，B，C，D四点都在同一个球面上，则该球面面积等于______．
12．如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为___________.
13．在等腰直角三角形ABC中，，D为BC的中点，以AD为折痕进行折叠，使折后的，则过A，B，C，D四点的球的表面积为_____________.
14．空间四面体中，，，，直线和所成的角为，则该四面体的外接球的表面积为 __.
15．已知，，，四点在半径为的球面上，且，，，则三棱锥的体积是__________.
16．已知正三棱柱的底面积为，点为的中心，直线和底面所成角为60°，则正三棱柱的外接球的表面积为______．
17．已知三棱锥中，平面BCD，，，，则三棱锥的外接球的表面积为_____.
18.在正四面体中，，D，E，F分别为SA，SB，SC的中点，则该正四面体的外接球被平面所截的圆周长为______．
19.如图，在四棱锥中，平面平面，是边长为4的等边三角形，四边形是等腰梯形，，则四棱锥外接球的表面积是____________.
20．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，则球的表面积的最小值为________.