2025—2026学年长沙市长郡集团八年级（上）期末数学试卷及答案

这是一份2025—2026学年长沙市长郡集团八年级（上）期末数学试卷及答案，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知三条线段的长度分别为1cm，5cm，acm，若这三条线段首尾顺次连接能围成一个三角形，那么a的取值可以是（ ）
A.1B.4C.5D.6
2. 下列运算正确的是（ ）
A. x4·x3=x7B. (−2x)3=−6x3
C. x2+x2=2x4D. (x2)3=x5
3. 下列多项式分解因式正确的是（ ）
A. a2−b2=(a−b)2B. a2+b2=(a+b)2
C. a2+2a−4=a(a+2)−4D. 2a−6=2(a−3)
4. 下列图形中，正确画出△ABC中AC边上的高的是（ ）
5. 诺如病毒是一种冬季高发病毒，传染性极强，是急性肠胃炎爆发的常见元凶，该病毒的直径约为0.000000307米，该直径用科学记数法表示为（ ）
A. 3.07×10−8米
B. 3.07×10−7米
C. 3.07×10−6米
D. 0.307×10−6米
6. 如图，已知AB=AD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A.CB=CDB. ∠BAC=∠DAC
C. ∠B=∠D=90°D. ∠BCA=∠DCA
7. 若分式x2−16x−4的值为0，则x的值为（ ）
A.4
B.4或−4C.−4D.0
8. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，根据尺规作图的痕迹作射线AF交边BC于点G，若BG=2，AC=6，则△ACG的面积为（ ）
A.4B.6C.8D.10
9. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB=12，△ABD的周长为31，则BC的长为（ ）
A.9B.12C.19D.29
10. 如图，在等边三角形ABC中，CD是中线，点M，N分别在AC，AB上，且AN=DN=CM=3，动点E在CD上，则NE+ME的最小值为（ ）
A.9B.9.5
C. 33D.6
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．计算(2y−1)(2y+1)的结果为 _________ ．
12．如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD=122°，∠A=73°，则∠B= _________ ．
13．如图，在正六边形ABCDEF中，∠CAE的度数是 _________．
14．若点A（m，3）与点B（2，n）关于x轴对称，则 mn= _________．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB∥CD，E是CD上一点，BE过AC的中点F，若CD=8，BC=4，则图中阴影部分的面积为 _________ ．
16．小强在解分式方程x+Δx−2−4x−2=3时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解．请你帮小强猜测一下Δ处的数应是 _________ ．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）因式分解．
（1）12abc−4bc2；
（2）−x2+10xy−25y2．
18．（8分）计算下列各式．
（1）(12mn3−6m2n)÷2mn；
（2）aa2−b2−1a+b．
19．（8分）解分式方程．
（1）2x−3+3x=0；
（2）xx−2−4x2−4=1．
20.（6分）先化简，再求值：1+2x−1÷x2+2x+1x2−x，其中x=3−1．
21.（8分）如图，CA=CD，∠BCE=∠ACD，BC=EC．
（1）求证：AB=DE； （2）若∠A=25°，∠E=35°，求∠ECD的度数．
22.（8分）如图，在∆ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE=DF．
（1）求证：∆ABC为等腰三角形； （2）若AB=BC=4，求BE的长．
23.（8分）汗水挥洒赛场，激情点燃初冬，“和平杯”2025年长郡教育集团教职工篮球赛如期举行．某校为比赛做准备，在商场购进A，B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球共花费了480元，购买B品牌篮球共花费了1120元，且购买B品牌篮球数量是购买A品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花20元．
（1）购买一个A品牌篮球、一个B品牌的篮球各需多少元？
（2）为将这一运动拼搏精神传递给学生，该校继续组织学生篮球赛，学校决定再次购进A，B两种品牌篮球共40个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了6%，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A，B两种品牌篮球的总费用不超过5076元，那么该校此次最多可购买多少个A品牌篮球？
24.（10分）我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值（此时x满足A，B均有意义），有A+B或A−B为定值，则称代数式A，B互为关于x的“关联代数式”。例如：A=−2x−1，B=2x−1，因为A+B=−2，所以A，B互为关于x的“关联代数式”。根据该约定，解答下列问题。
（1）判断下列各式是否互为关于x的“关联代数式”。若是，则在横线中划“√”，若不是，则划“×”。
①x+1与−x+2：______
②2x2+x−1与2x2−2：______
③x−4x−1与−x−2x−1：______
（2）若关于x的代数式A=12x−2(2x+a)，B=x2+b(x−4)+2，A，B互为关于x的“关联代数式”，求a2−4ab+4b2+2026的值；
（3）若关于x的代数式A=mx+1，B=nx−2，A，B互为关于x的“关联代数式”，且满足AA+1+BB+1=1，求此时A2−B2的值。
25.（10分）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为(2,0)，(0,2)，点P是OA的延长线上的一个动点（不与点A重合），以P为直角顶点，BP为直角边在第一象限作等腰直角∆BPE，∠BPE=90°，PB=PE，连接AE。
（1）若点P的坐标为(4,0)，求点E的坐标；
（2）当AE平分∠BEP时，试探究AB与AP的数量关系，并给出证明过程；
（3）如图2，延长BA，EP交于点M，BP，AE交于点N，设点P的坐标为(t,0)，当∆APE的面积与四边形AMPN的面积之比为整数时，求整数t的值。
2025-2026学年湖南省长沙市长郡教育集团八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11． 4y2−1 ．
12． 49° ．
13． 60° ．
14． −18 ．
15． 16 ．
16． 2 ．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）因式分解．
（1）12abc−4bc2；
（2）−x2+10xy−25y2．
【解答】解：（1）原式=4bc(3a−c)；（2）原式=−(x2−10xy+25y2)=−(x−5y)2．
18．（8分）计算下列各式．
（1）(12mn3−6m3n)÷2mn；
（2）aa2−b2−1a+b．
【解答】解：（1）(12mn3−6m3n)÷2mn
=12mn3÷2mn−6m3n÷2mn
=6n2−3m2；
（2）aa2−b2−1a+b
=a(a+b)(a−b)−a−b(a+b)(a−b)
=a−a+b(a+b)(a−b)
=ba2−b2．
19．（8分）解分式方程．
（1）2x−3+3x=0；
（2）xx−2−4x2−4=1．
【解答】解：（1）2x−3+3x=0，
去分母得：2x+3(x−3)=0，
解得：x=95，
检验：当x=95时，x(x−3)≠0，
故原方程的解为x=95。
（2）xx−2−4x2−4=1，
去分母得：x(x+2)−4=x2−4，
解得：x=0，
检验：当x=0时，(x+2)(x−2)≠0，
故原方程的解为x=0。
20.（6分）先化简，再求值：1+2x−1÷x2+2x+1x2−x，其中x=3−1。
【解答】解：原式=x−1+2x−1·x(x−1)(x+1)2
=x+1x−1·x(x−1)(x+1)2
=xx+1；
当x=3−1时，
原式=3−13−1+1=3−13=3−33。
21.（8分）如图，CA=CD，∠BCE=∠ACD，BC=EC。
（1）求证：AB=DE； （2）若∠A=25°，∠E=35°，求∠ECD的度数。
【解答】（1）证明：∵∠BCE=∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，
∴∠ACB=∠DCE，
在∆ACB和∆DCE中，
{CA=CD∠ACB=∠DCEBC=EC
∴∆ACB≅∆DCE(SAS)，
∴AB=DE。
（2）解：由（1）得∆ACB≅∆DCE，
∴∠A=∠D=25°，
∵∠E=35°，
∴∠ECD=180°−∠D−∠E=180°−25°−35°=120°，
∴∠ECD的度数是120°.
22.（8分）如图，在∆ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE=DF.
（1）求证：∆ABC为等腰三角形； （2）若AB=BC=4，求BE的长.
【解答】（1）证明：∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt∆BDE与Rt∆CDF中，
{DB=DCDE=DF，
∴Rt∆BDE≅Rt∆CDF（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴∆ABC是等腰三角形；
（2）解：∵AB=AC，AB=BC=4，
∴AB=BC=AC=4，
∴∠B=60°，
∵DE⊥BE，
∴∠BDE=30°，
∵BD=DC=12BC=2，
∴BE=12BD=1.
23.（8分）汗水挥洒赛场，激情点燃初冬，“和平杯”2025年长郡教育集团教职工篮球赛如期举行．某校
为比赛做准备，在商场购进A，B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球共花费了480元，购买B品牌篮球
共花费了1120元，且购买B品牌篮球数量是购买A品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比
购买一个A品牌篮球多花20元．
（1）购买一个A品牌篮球、一个B品牌的篮球各需多少元？
（2）为将这一运动拼搏精神传递给学生，该校决定再次购进A，B两种品
牌篮球共40个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了6%，
B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A，B两种品牌篮球的总费用不超过5076
元，那么该校此次最多可购买多少个A品牌篮球？
【解答】解：（1）设购买一个A品牌篮球需x元，则购买一个B品牌篮球需(x+20)元，
根据题意得：1120x+20=480x×2，
解得：x=120，
经检验，x=120是所列方程的解，且符合题意，
∴x+20=120+20=140（元）．
答：购买一个A品牌篮球需120元，一个B品牌篮球需140元；
（2）设该校此次购买y个A品牌篮球，则购买(40−y)个B品牌篮球，
根据题意得：120×(1+6%)y+140×0.9(40−y)≤5076，
解得：y≤30，
∴y的最大值为30．
答：该校此次最多可购买30个A品牌篮球．
24．（10分）我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值（此时x满足A，B均有意义），有A+B或A−B为定值，则称代数式A，B互为关于x的“关联代数式”．例如：A=−2x−1，B=2x−1，因为A+B=−2，所以A，B互为关于x的“关联代数式”．根据该约定，解答下列问题．
（1）判断下列各式是否互为关于x的“关联代数式”．若是，则在横线中划“√”，若不是，则划“×”．
①x+1与−x+2：√
②2x2+x−1与2x2−2：×
③x−4x−1与x−2x−1：√
（2）若关于x的代数式A=12x−2(2x+a)，B=x2+b(x−4)+2，A，B互为关于x的“关联代数式”，求a2−4ab+4b2+2026的值；
（3）若关于x的代数式A=mx+1，B=nx−2，A，B互为关于x的“关联代数式”，且满足AA+1+BB+1=1，求此时A2−B2的值．
【解答】解：（1）∵x+1+(−x+2)=3，为定值，
故①是关于x的“关联代数式”；
∵2x2+x−1+2x2−2=4x2+x−3不是定值，2x2+x−1−(2x2−2)=x+1也不是定值，
故②不是关于x的“关联代数式”；
∵x−4x−1−x−2x−1=x−4−x−2x−1=−6x−1，不是定值，
但x−4x−1−x−2x−1−2(x−1)x−1=2，
故③是关于x的“关联代数式”；
故答案为：①√；②×；③√；
（2）A=x2+12ax−4x−2a=x2+(12a−4)x−2a，B=x2+bx−4b+2，
（i）A+B=2x2+(12a+b−4)x−2a−4b+2不为定值，不满足题意；
（ii）A−B=(12a−b−4)x−4(12a−b)−2，
∴当12a−b−4=0时，A−B为定值，即a−2b=8，
∴a2−4ab+4b2+2026=(a−2b)2+2026=2090；
（3）∵AA+1+BB+1=1，
∴A(B+1)+B(A+1)=(A+1)(B+1)，
∴AB+A+AB+B=AB+A+B+1，
∴AB=1．
（i）若A+B=(m+n)x−1为定值，则m+n=0，A+B=−1，
∴(A−B)2=(A+B)2−4AB=−30，且t为整数，
∴t=3或4．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
D
B
B.
D
C
B
C
A