2025-2026学年湖南省长沙市长郡集团八年级上册11月期中数学试卷 [附答案]

这是一份2025-2026学年湖南省长沙市长郡集团八年级上册11月期中数学试卷 [附答案]，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3=a5B．a+a=a2
C．（a2）3=a5D．a2（a+1）=a3+1
2．下面各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．2，3，4B．4，4，8C．5，4，10D．6，7，14
3．下列结论正确的是（ ）
A．形状相同的两个图形是全等形
B．对应角相等的两个三角形是全等三角形
C．全等三角形的面积相等
D．两个等边三角形全等
4．在中，，，（ ）
A．B．C．D．
5．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
6．已知图中的两个三角形全等，则等于（ ）
A．B．C．D．
7．如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（ ）

A．B．C．D．
8．尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是： （ ）
A．SASB．ASAC．SSSD．AAS
9．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，则△ADC的周长等于（ ）
A．4B．6C．10D．16
10．如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．若a+b=2，a－b=3，则a2－b2= ．
12．如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充条件： ．
13．生活中处处有数学，起重机的底座、自行车的支架都是采用三角形结构，从数学角度来说，是因为三角形具有 ．
14．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 块．
15．一个三角形的三边为3，6，，另一个三角形的三边为，3，7，若这两个三角形全等，则 ．
16．如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ．
三、解答题
17．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，已知的三个顶点的坐标分别是．
（1）画出与关于轴对称的，并写出点和点的坐标；
（2）求的面积．
20．若已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
21．如图，在中，，点，分别在边，上，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
22．如图，为等边三角形，，相交于点P，于点Q，，．
（1）求证：；
（2）求的长．
23．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“麓山数”，即：若正整数（，为正整数，且），则称正整数为“麓山数”．例如：，，所以和都是“麓山数”．
（1）根据定义，请写出最小的“麓山数”是______，两位数中最大的“麓山数”是______；
（2）求证：除以外的所有正奇数都是“麓山数”；
（3）将所有麓山数从小到大排列，请求出第个“麓山数”是多少．
24．如图，在平面直角坐标系中，点，，连接，点，是线段上的动点（，两点不重合），且．连接，过点作交于点，交直线于点，连接，交于点．
（1）求证：；
（2）试猜想与的数量关系，并说明理由；
（3）当时，连接，求的面积．
答案
1．【正确答案】A
【详解】A．a2•a3=a5，故此选项正确；B．a+a=2a，故此选项错误；
C．（a2）3=a6，故此选项错误；D．a2（a+1）=a3+a2，故此选项错误；故选A．
2．【正确答案】A
【分析】根据三角形的三边关系即可判断.
【详解】A. 2+3＞4，可构成三角形，符合题意；
B. 4+4=8，不能构成三角形，不符合题意；
C. 5+4＜10，不能构成三角形，不符合题意；
D. 6+7＜14，不能构成三角形，不符合题意；
故选A．
3．【正确答案】C
【分析】根据全等图形的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、应为形状相同，大小相等的两个图形是全等形，故本选项错误；
B、应为对应角相等，对应边相等的两个三角形是全等三角形，故本选项错误；
C、全等三角形的面积相等，正确，故本选项正确；
D、应为两个边长相等的等边三角形全等，故本选项错误．
故选C．
4．【正确答案】B
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，理解并掌握三角形内角和的运算是解题的关键．
根据三角形的内角和为，即可求解．
【详解】解：在中，，，
∵，
∴，
故选．
5．【正确答案】D
【分析】根据关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可求解．
【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是，
故选D．
6．【正确答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等即可求解，找准对应角是解题的关键．
【详解】∵图中的两个三角形全等，是两边的夹角，
∴，
故选．
7．【正确答案】D
【分析】由全等三角形的判定依次判断可求解．
【详解】A、添加，由“”可证，故选项A不符合题意；
B、添加，由“”可证，故选项B不符合题意；
C、添加，由“”可证，故选项C不符合题意；
D、添加，不能证明，故选项D符合题意；
故选D．
8．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定等知识点，明确尺规作图所隐含的条件成为解题的关键．
由尺规作图可知：、，然后根据全等三角形的判定定理即可解答．
【详解】解：由尺规作图可知：、，
∴．
故选C．
9．【正确答案】D
【分析】根据垂直平分线的性质，DC=DB，从而等量代换求解.
【详解】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DC＝DB，
∴△ADC的周长＝AC+AD+DC＝AC+AD+DB＝AC+AB＝16，
故选D．
10．【正确答案】D
【分析】过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAD，根据全等三角形的性质得出∠APM＝∠APD，同理得出∠CPD＝∠CPN，可判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④．
【详解】解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PC平分∠FCA，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PN＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴AP平分∠EAC，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；
③∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC，
∴∠ACF＝∠ABC+∠BAC＝2∠PCN，∠PCN＝∠ABC+∠BPC，
∴
∴∠BAC＝2∠BPC，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确，
故选D
11．【正确答案】6、
【详解】试题分析：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=2×3=6．
故答案是6．
考点：平方差公式．
12．【正确答案】
【分析】由，，即可推出，于是得到答案．本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法．
【详解】证明：在和中，
，
∴．
13．【正确答案】稳定性
【分析】本题主要考查了三角形具有稳定性，三角形具有稳定性，这是初中数学中三角形的基本性质，适用于需要固定结构的应用．
【详解】解：三角形的稳定性是指当三角形的三边长度确定时，其形状和大小唯一确定，不会发生变形．而其他多边形（如四边形）则容易变形．起重机的底座和自行车的支架采用三角形结构，正是利用了三角形的这一性质来确保结构的牢固和稳定．
14．【正确答案】4
【分析】本题主要考查三角形全等的判定，本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证即可得到结论．
【详解】解：1、2、3块玻璃不同时具备包括条一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第4块有完整的两角及夹边，符合，满足三角形全等的条件，是符合题意的.
15．【正确答案】1
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，两个三角形全等，则对应边相等．通过比较两个三角形的各边长度，从而求出x和y的值，则可得到答案．
【详解】解：由全等三角形的性质可得，
∴.
16．【正确答案】
【分析】由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解．本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一，等面积法，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：∵是的平分线，
∴垂直平分，
∴．
过点B作于点Q，交于点P，如图所示．
则此时取最小值，最小值为的长，
∵
∴．
17．【正确答案】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）直接根据单项式与多项式的乘法法则计算即可；
（2）根据多项式与单项式的除法法则计算即可；．
（3）利用完全平方公式计算即可；
（4）利用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
（4）解：原式

．
18．【正确答案】﹣8x＋13，21
【分析】先利用完全平方公式和平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可化简原式，再将x的值代入计算可得．
【详解】原式=4（x2-2x+1）-（4x2-9）
=4x2-8x+4-4x2+9
=﹣8x+13，
当x=-1时，原式=8+13=21．
19．【正确答案】（1）见详解，
（2）
【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—轴对称：
（1）关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此得到A、B、C对应点的坐标，描出并顺次连接即可；
（2）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
∵与关于轴对称，，
∴．
（2）解；由题意得，．
20．【正确答案】（1）8；
（2）．
【分析】本题考查了完全平方公式、熟练掌握运算法则，采用整体代入的思想是解此题的关键．
（1）根据完全平方和公式，结合已知条件恒等变形，代值求解即可得到答案；
（2）将两个已知等式相减求解即可得到答案．
【详解】（1）解：①，②，
①②得：，
则．
（2）①②得：，
即．
21．【正确答案】（1）见详解；
（2）．
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，以及三角形内角和定理，关键是掌握三角形内角和为．
（1）根据，得，即可求证；
（2）由，得到；即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
（）
（2）解：，，
，
，
，
即的度数为．
22．【正确答案】（1）见详解
（2）7
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形，等边三角形的性质．
（1）根据证明与全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得出，求出，进而由直角三角形的性质解答即可．
【详解】（1）∵为等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
23．【正确答案】（1），
（2）见详解
（3）
【分析】本题考查了整数问题的综合运用，新定义运算问题，平方差公式的应用，解题的关键是根据题意找出规律，从而得出答案．
（1）根据“麓山数”的定义和规律即可解答；
（2）设，根据“麓山数”的定义进行解答即可；
（3）由（2）可知除以外的所有正奇数都是“麓山数”，再通过总结偶数中“麓山数”的特点，即可得解．
【详解】（1）解：由平方差公式知，无法分解成整数的平方差形式，，
，均为正整数，
最小的“麓山数”是，
，
两位数中最大的“麓山数”是.
（2）解：设，
，
，符合定义，
又，
，
除以外的所有正奇数都是“麓山数”；
（3）解：由（2）可知除以外的所有正奇数都是“麓山数”，又偶数中也存在“麓山数”，故讨论偶数是“麓山数”的特点．
设，且为偶数，则，
为偶数，故因式与为一奇一偶或两个偶数．
当与为一奇一偶时，奇偶奇数，
，为正整数，
为偶数，这与为奇数矛盾，
故与不可能为一奇一偶；
当与为两个偶数时，不妨设，，
，
，均为正整数，且，
且，
当为偶数时，除之外所有的倍数是“麓山数”．
以内（含）除掉有个奇数为“麓山数”，
以内（含）以外是的倍数的偶数共有个数为“麓山数”，
合计个“麓山数”，
第个“麓山数”是，第个“麓山数”是，
第个“麓山数”是．
24．【正确答案】（1）见详解；
（2），理由见详解；
（3）1．
【分析】（1）根据，，可得，，从而得证；
（2）当在点左边时，过点作于点，交的延长线于点，证明，得到，，再证明，得到，从而得到与的数量关系；当在点右边时，由，，可知，同理可证，有，则，同理可证，从而得到与的数量关系；
（3）当在左侧时，先证明是等边三角形，，设，然后结合角所对的直角边等于斜边的一半，表示出，，，， 然后利用表示出，最后表示出；当在右侧时，此时，则，由（2）知，，故，那么，可推出，此时，与矛盾，故在右侧时不成立．
【详解】（1）证明：由题得，
，
又，
，
．
（2）解：，理由如下：
①如图1，当在点左边时，过点作于点，交的延长线于点，
，
，，
，，
又，
，
，，
又，
，
，
又，
，
又，
，
，
又，
；
②如图2，当在点右边时，由，，可知，
同理可证，
有，则，
同理可证，
，又，
．
（3）解：如图3，当在左侧时，
由（2）可知，
是等腰三角形，
，
又，
是等边三角形，．
设，
，，
，
，，
，
在中，，
，，
，
又，
，
同理在中，，，
，
；
如图4，当在右侧时，此时，则，
由（2）知，，故，
，
当时，，
，
，与矛盾，故在右侧时不成立，
综上，．