云南省普洱市2025-2026学年高二上学期期末数学试题（试卷+解析）

这是一份云南省普洱市2025-2026学年高二上学期期末数学试题（试卷+解析），共19页。试卷主要包含了考查范围，考生必须保持答题卡的整洁， 已知数列的前项和为，，，则， 已知曲线， 已知直线等内容，欢迎下载使用。
试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.考查范围：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列复数为纯虚数的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知数列的前项和为，，，则
A 511B. 512C. 1023D. 1024
6 已知抛物线与直线相切，则（ ）
A. B. C. D.
7. 过点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ）
A. 2B. C. D. 2
8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，下顶点为，过原点作于点，点到直线的距离为，则的方程为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知曲线：，则（ ）
A. 可能是椭圆B. 不可能是双曲线
C. 不可能是圆D. 可能是两条直线
10. 下列函数中，在区间上单调递增，且为偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知数列前项和为（其中、为常数），，，则下列四个结论中，正确的是（ ）
A. 为等差数列B.
C. 恒成立D. 数列的前项和小于1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，，则的取值范围是________.
13. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为______．
14. 如图，已知正方体棱长为2，动点在对角线上，设，当取得最小值时，___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）若，求的值；
（2）计算的值.
16. 已知直线：与轴交于点，原点为.
（1）若直线过点，且与平行，求的一般方程；
（2）若圆过点，两点且与相切，求圆的标准方程.
17. 已知正项数列的前项和满足．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18. 如图，在圆锥中，底面圆心为O，母线，圆锥的高，底面圆O的内接四边形为正方形.
（1）证明：；
（2）求四棱锥的体积；
（3）求直线到平面的距离.
19. 已知椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，上顶点为．
（1）求方程；
（2）延长交于点，求线段长；
（3）若是上的动点（异于），直线与轴交于点，直线与交于点，求点的轨迹方程．
普洱市2025—2026学年高二年级上学期期末教学质量监测
数学试卷
试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.考查范围：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定的直线方程，化为直线的斜截式方程，得出直线的斜率.
【详解】由直线方程，可得
所以直线的斜率.
故选：A.
2. 下列复数为纯虚数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据纯虚数概念及复数运算逐项分析即可.
【详解】选项A，由为实数，故A选项不正确；
选项B，由为纯虚数，故B选项正确；
选项C，由不是纯虚数，故C选项不正确；
选项D，不是纯虚数，故D选项不正确.
故选：B.
3. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简集合，即可根据选项逐一求解.
【详解】，
故，，，不是的子集，C正确，ABD错误.
故选：C
4. 已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.
【详解】根据空间向量的线性运算法则，可得：
．
故选：D
5. 已知数列的前项和为，，，则
A. 511B. 512C. 1023D. 1024
【答案】B
【解析】
【详解】∵，∴，∴是以1为首项，公比为2的等比数列．
，
故选B
6 已知抛物线与直线相切，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】抛物线方程与直线方程联立，令，即可得解.
【详解】联立可得，由相切可得，由可知，即.
故选：D.
7. 过点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ）
A. 2B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】将圆的一般方程化为标准方程后可得该圆圆心坐标与半径，再借助切线性质可得、，最后利用等面积法计算即可得.
【详解】圆化为标准方程为，
则，半径，则，
由切线定义可得，
则四边形的面积可表示为，也可表示为，
即有，故.
故选：B.
8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，下顶点为，过原点作于点，点到直线的距离为，则的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算求得，由得， ，然后由点到直线的距离为列式求得，即可得解.
【详解】由题意，因为，
所以，所以，又，所以，
所以，化简得，所以，
直线方程即，因为点到直线的距离为，
所以，所以，所以，所以椭圆的方程为.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知曲线：，则（ ）
A. 可能是椭圆B. 不可能是双曲线
C. 不可能是圆D. 可能是两条直线
【答案】AD
【解析】
【分析】根据椭圆，双曲线及圆的标准方程，直线方程应用特殊值法判断各个选项.
【详解】当，时，为椭圆，故A正确；
当，时，为双曲线，故B错误；
当时，为圆，故C错误；
当，时，为两条直线，故D正确.
故选：AD.
10. 下列函数中，在区间上单调递增，且为偶函数的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据三角函数的性质及复合函数的性质判断．
【详解】在区间上单调递增，但是奇函数，故A错误；
在上单调递增，且是偶函数，故B正确；
在上单调递减，是偶函数，故C错误；
在上单调递增，是偶函数，故D正确.
故选：BD.
11. 已知数列前项和为（其中、为常数），，，则下列四个结论中，正确的是（ ）
A. 等差数列B.
C. 恒成立D. 数列的前项和小于1
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A项，方法1：运用与的关系求得的通项公式，再运用等差数列的定义判断A项即可，方法2：运用等差数列前n项和是关于n的常数项为0的二次函数或常函数可直接判断A项；对于B项，根据已知条件及是等差数列列方程组求解即可；对于C项，运用函数思想求得取得最小值；对于D项，运用裂项相消法求和即可.
【详解】对于A项，方法1：∵
∴①当时，，
②当时，，
③将代入得：，
∴，
∴与n无关，
∴是等差数列，公差为，
方法2：∵是关于n的二次函数且常数项为0，
∴是等差数列，公差为，故A项正确；
对于B项，由A项知，是等差数列，公差为，
又∵，解得：，故B项不成立；
对于C项，由B项知，，开口向上，对称轴为，
∴当时，取得最小值，
∴，故C项正确；
对于D项，由B项知，，
∴
设的前n项和为，
，故D项正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】由不等式的性质求解即可.
【详解】由得，
又，所以的取值范围是.
故答案为：.
13. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用离心率和双曲线的关系可构造方程求得的值，由此可得渐近线方程.
【详解】双曲线的离心率，，解得：，
双曲线的渐近线方程为：.
故答案为：.
14. 如图，已知正方体的棱长为2，动点在对角线上，设，当取得最小值时，___________．
【答案】
【解析】
【分析】将展开成平面图形，由此求得的最小值以及此时对应的的值.
【详解】连接，根据正方体的性质可知，是全等的直角三角形，
将展开成平面图形，连接，交于，则，
则此时最小.，
，则的最小值为，
此时，.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）若，求的值；
（2）计算的值.
【答案】（1）10；（2）2
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，进而运算求解即可；
（2）解法一：利用换底公式运算求解即可；解法二：根据结论运算求解.
【详解】（1）因为，则，
整理可得，解得；
（2）解法一：；
解法二：.
16. 已知直线：与轴交于点，原点为.
（1）若直线过点，且与平行，求的一般方程；
（2）若圆过点，两点且与相切，求圆的标准方程.
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）先求出的值再确定直线的斜率再由点斜式写出直线的方程；
（2）法一：先设出圆的标准方程利用待定系数法求出圆的标准方程，法二：根据圆的性质先确定圆心所在的位置求出圆心的横坐标，再设出圆的方程根据条件即可求出圆的标准方程.
【小问1详解】
把代入，得，
所以直线的斜率，直线.
因为，所以的斜率，
所以的方程为，即.
【小问2详解】
法一：设圆的标准方程为（），
由题意可得，解得或，
所以圆的方程为或.

法二：因为圆过原点，
所以点在线段的垂直平分线上，
设圆的方程为（），
由圆过点，得，
由圆与相切，得，即，
整理得，解得或，
当时，，当时，，
所以圆的方程为或.
17. 已知正项数列的前项和满足．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据关系式利用的关系式可证明是常数列，可求得的通项公式；
（2）利用错位相减法计算可得结果.
【小问1详解】
对于正项数列，令得，解得，
即可得，，
两式相减得到，
即，
故，于是是常数列，
可得，
故．
【小问2详解】
由（1）可得，
故，
，
两式相减得到
18. 如图，在圆锥中，底面圆心为O，母线，圆锥的高，底面圆O的内接四边形为正方形.
（1）证明：；
（2）求四棱锥的体积；
（3）求直线到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；
（2）192； （3）.
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的判定及性质，结合圆锥的结构特征推理得证.
（2）利用锥体的体积公式求解即可.
（3）证明平面，再利用等体积法求出距离.
【小问1详解】
圆锥中，正方形内接于圆O，则，，
而平面，平面，则，又平面，
因此平面，而平面，所以.
【小问2详解】
由（1）得，由，得，
正方形面积，而平面，
所以四棱锥的体积为.
【小问3详解】
由正方形，得，而平面，平面，
则平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离，
在中，，则边上的高，
的面积，由（2）得，
又，因此，
所以直线到平面的距离为.
19. 已知椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，上顶点为．
（1）求的方程；
（2）延长交于点，求线段的长；
（3）若是上的动点（异于），直线与轴交于点，直线与交于点，求点的轨迹方程．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）通过椭圆顶点、焦点的坐标关系，结合已知线段长度求出，得到椭圆方程；
（2）求出直线的方程，联立椭圆方程得到交点，再用距离公式计算的长；
（3）设动点的坐标，推导直线与轴的交点，进而得到直线的方程，联立后结合在椭圆上的条件，化简得到的轨迹方程.
【小问1详解】
椭圆上顶点，右焦点，右顶点.
由，，
代入得，得. ，
椭圆的方程为.
【小问2详解】
，，直线的方程为.
联立，得，整理为，
解得或. 对应，对应.
线段的长为.
【小问3详解】
设，满足（）.
，直线的方程为，令得.
，直线的方程为，令得.
直线（）的方程为，
直线（）的方程为.
联立两直线方程，约去得，交叉相乘化简得，
代入直线的方程得.
由，，得，代入椭圆方程得，
即.