2024-2025学年云南省普洱市高二（下）期中数学试卷（含解析）

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1．下列导数运算错误的是
A．B．
C．D．
2．已知函数，则的图象在处的切线方程为
A．B．C．D．
3．现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有
A．120B．60C．30D．20
4．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能是
A．B．
C．D．
5．在的展开式中，的系数是
A．3B．4C．5D．6
6．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则点的坐标为
A．B．
C．或D．
7．如图，将标号为A、B、C、D、E的五块区域染上红，黄，蓝三种颜色，要求相邻区域不同色，共有不同的染色方法有（ ）
A．30种B．36种C．27种D．18种
8．定义在上的函数满足，且（1），则
A．有极大值无极小值B．有极小值无极大值
C．既有极大值又有极小值D．既无极大值又无极小值
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，下列说法正确的是
A．从中取3个球，则不同的取法种数是
B．从中取2个球，则颜色不同的取法种数是10
C．从中取3个球，则颜色不同的取法种数是
D．从中取3个球，则颜色相同的种数是
（多选）10．已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中，存在“巧值点”的是
A．B．C．D．
（多选）11．已知函数，，下列说法正确的是
A．函数有两个极值点，则
B．当时，函数在上有最小值
C．当时，函数有两个零点
D．当时，函数在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数，则 ．
13．若，则 ．
14．已知函数在上单调递增，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（1）解不等式：．
（2）求证：．
16．从包含甲、乙2人的7人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答，否则无分）
（1）甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒；
（2）甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒；
（3）甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒．
17．某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌” 系列进行市场销售量调研，随机选择了一个商场进行调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研得知，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元千克）近似满足关系式，其中，为常数．已知销售价格为6元千克时，每日可售出系列15千克．
（1）求函数的解析式．
（2）若系列的成本为4元千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大．
18．（17分）已知函数．
（Ⅰ）过点作曲线的切线，求此切线的方程．
（Ⅱ）求的单调区间．
（Ⅲ）求在上的最大值和最小值．
19．（17分）若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线．
（1）当时，求函数与在公共点处的切线方程；
（2）求的最小值；
（3）求证：当时，．
参考答案
一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分。
1．下列导数运算错误的是
A．B．
C．D．
解：对于选项：，正确；
对于选项：，正确；
对于选项：，正确；
对于选项：，故不正确．
故选：．
2．已知函数，则的图象在处的切线方程为
A．B．C．D．
【答案】
解：由题意，，
则，又，
所以的图象在处的切线方程为，即．
故选：．
3．现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有
A．120B．60C．30D．20
【答案】
解：不妨记五名志愿者为，，，，，假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法，
同理：，，，连续参加了两天公益活动，也各有12种方法，
恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种．
故选：．
4．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能是
A．B．
C．D．
【答案】
解：根据的图象可得，原函数的单调性是：当时，增；
当时，单调性变化依次为减、增、减，
故当时，；
当时，的符号变化依次为、、，
结合所给的选项，
故选：．
5．在的展开式中，的系数是
A．3B．4C．5D．6
【答案】
解：二项式展开式的通项公式为，，1，2，3，4，
令，解得，
则的系数是．
故选：．
6．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则点的坐标为
A．B．
C．或D．
【答案】
解：由曲线，可得，
直线的斜率为，
可得，则，即，
故点的坐标为或．
故选：．
7．如图，将标号为A、B、C、D、E的五块区域染上红，黄，蓝三种颜色，要求相邻区域不同色，共有不同的染色方法有（ ）
A．30种B．36种C．27种D．18种
【答案】A
解：由题意将标号为A、B、C、D、E的五块区域染上红，黄，蓝三种颜色，要求相邻区域不同色，
可从A开始涂色，A有3种方法，B有2种方法，
①若E与B涂色相同，则C、D共有种涂色方法；
②若E与B涂色不相同，则E有1种涂色方法，
当C、E涂色相同时，D有2种涂色方法；当C、E涂色不相同时，C有1种涂法，D有1种涂色方法．
共有种涂色方法．
故选：A．
8．定义在上的函数满足，且（1），则
A．有极大值无极小值B．有极小值无极大值
C．既有极大值又有极小值D．既无极大值又无极小值
【答案】
解：由，得，
设函数，则，则，为常数，
所以，又（1），
则，，．
设，，
当时，，当时，，
则在单调递减，在单调递增，
所以，即．
所以在上单调递增，既无极大值又无极小值．
故选：．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，下列说法正确的是
A．从中取3个球，则不同的取法种数是
B．从中取2个球，则颜色不同的取法种数是10
C．从中取3个球，则颜色不同的取法种数是
D．从中取3个球，则颜色相同的种数是
【答案】
解：从中取3个球，则有种取法，选项正确；
从中取2个球，则颜色不同的取法种数是，选项正确；
从中取3个球，则颜色不同的取法种数是，选项错误；
从中取3个球，则颜色相同的种数是，选项正确．
故选：．
（多选）10．已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中，存在“巧值点”的是
A．B．C．D．
【答案】
解：对于选项：易知，
令，
解得，
所以函数有“巧值点”；
对于选项：易知，
令，
作出函数，的图象：
可知方程有解，有“巧值点”，故选项正确；
对于选项：易知，
令，
即，
解得，无解，不存在“巧值点”，故选项错误；
对于选项：易知，
令，
整理得，
不妨设，函数定义域为，
得，
所以函数在上为增函数，
又，，
所以函数在上有唯一零点，
即方程在上有解，
则有“巧值点”，故选项正确．
故选：．
（多选）11．已知函数，，下列说法正确的是
A．函数有两个极值点，则
B．当时，函数在上有最小值
C．当时，函数有两个零点
D．当时，函数在上单调递增
【答案】
解：因为，则．
对于选项，函数有两个极值点，即方程有两个不等的实根，
此时，△，则，故错误；
对于选项，当时，设的两个不等的实根分别为，，且，
由韦达定理可得，必有，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
故函数在上有最小值，故正确；
对于选项，当时，，，
令，可得或，
当时，，此时函数在区间上单调递增，
当时，，此时函数在区间上单调递减，
当时，，此时函数在区间上单调递增．
所以，函数的极大值为，极小值为（2），
作出函数的图象如下图所示：
由图可知，函数有两个零点，故正确．
对于选项，当且时，，
故函数在上单调递增，故正确．
故选：．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数，则 1 ．
【答案】1．
解：，
所以，
所以．
故答案为：1．
13．若，则 5 ．
【答案】5．
解：若，
则，
化简得，
解得．
故答案为：5．
14．已知函数在上单调递增，则的取值范围是 ．
解：函数，．，
函数在上单调递增，在上恒成立．
，，．
令，则在单调增函数．
（1）．
．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（1）解不等式：．
（2）求证：．
【答案】（1），；
（2）证明见解析．
解：（1）由题意可得，，所以，，
由，得，
化简得：，解得，
又因为，所以或，
所以的解集为，．
（2）证明：根据组合数性质有：，
所以左边右边，等式得证．
16．从包含甲、乙2人的7人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答，否则无分）
（1）甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒；
（2）甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒；
（3）甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒．
【答案】（1）120；
（2）120；
（3）140．
解：（1）要求甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒，
第一步：甲乙捆绑看作一个整体，从3个位置安排一个位置有，
第二步：从剩下5人中，需两人排在两个位置，有，
所有共有：；
（2）要求甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒，
第一步，先从剩下5人中选2人排序，有，
第二步，甲乙两人从3个空中选2个空排序，有，
所以共有：；
（3）要求甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，
从5人中选2人加上甲乙4人的全排列有：，
其中甲跑第一棒的有：，乙跑第四棒的有：，
甲跑第一棒，乙跑第四棒有：，
所以共有：．
17．某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌” 系列进行市场销售量调研，随机选择了一个商场进行调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研得知，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元千克）近似满足关系式，其中，为常数．已知销售价格为6元千克时，每日可售出系列15千克．
（1）求函数的解析式．
（2）若系列的成本为4元千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大．
解：（1）由题意可知，当时，，即，
解得，
，
（2）商场每日销售系列所获得的利润为，
则，，
即，
令，解得或（舍去），
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，函数在区间内取的极大值点，也是最大值点，
（5），
当售价格5元千克时，该商场每日销售系列所获得的利润最大．
18．（17分）已知函数．
（Ⅰ）过点作曲线的切线，求此切线的方程．
（Ⅱ）求的单调区间．
（Ⅲ）求在上的最大值和最小值．
【答案】（Ⅰ）切线方程为或；
（Ⅱ）函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（Ⅲ），．
解：（Ⅰ）由题，设所求切线的切点为，
则切线斜率：或，
当时，切点为时，切线斜率为，则切线方程为；
当时，切点为时，切线斜率为24，则切线方程为即；
综上，所求切线方程为或；
（Ⅱ）函数定义域为，，
所以，或，，
所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（Ⅲ）由（2）知函数在，上单调递增，在上单调递减，
又，
所以，．
19．（17分）若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线．
（1）当时，求函数与在公共点处的切线方程；
（2）求的最小值；
（3）求证：当时，．
【答案】（1）；
（2）1；
（3）证明见解析．
解：（1）当时，，设，为与的一个公共点，
，，，
切点，
与在公共点处的切线方程为．
（2）设，为与的一个公共点，，，
，由②，
，代入①，，，，，
令，，
当时，，在区间单调递增；当时，，在单调递减，
（1），，，
当且仅当，时取“”， ．
（3）证明：由（2）知，，
证：时，，
即证：对恒成立，
令，，
当时，，在上单调递减；当时，，在，单调递增，
故函数在处取最小值，
，证毕