广东省大湾区教育研究院2025年初中学业水平测试(模拟) 数学 （解析版）-A4

这是一份广东省大湾区教育研究院2025年初中学业水平测试(模拟) 数学 （解析版）-A4，共25页。试卷主要包含了 下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。
本试卷共三大题23小题，共6页，满分120分．考试时间120分钟，不能使用计算器．
注意事项：
1.答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面和第5面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、班级、姓名、试室号和座位号，将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”．
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在问卷上．
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔（除作图外）、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 2的相反数是（ ）
A. 2B. －2C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】2的相反数是-2.
故选：B.
2. 鲁班锁是中国传统的智力玩具．左图是鲁班锁中一个部件的示意图，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握左视图的定义：从左边看得到的平面图形是左视图是解题的关键．根据从左边看得到的平面图形是左视图，注意看不见的轮廓线用虚线，可得答案．
【详解】解：从左面看，是一个正方形，正方形的中间有一条横向的虚线，
如图：．
故选：C．
3. 苏步青来自“数学家之乡”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000公里的行星命名为“苏步青星”．数据218000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：数据218000000用科学记数法表示；
故选B．
【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
4. 一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若，则∠2的度数是（ ）
A. 15°B. 20°C. 25°D. 40°
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线的性质求得∠3的度数，即可求得∠2的度数．
【详解】
∵AD∥BC，
∴∠3=∠1=20，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴∠EDF=45，
∴∠2=45∠3=25，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂乘法和幂的乘方．根据运算法则逐一判断即可．
【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算正确，故此选项符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
6. 社会主义本质是解放生产力，发展生产力，消灭剥削，消除两极分化，最终达到共同富裕．下列有关居民收入的统计量中，最能体现发展生产力，消除两极分化的是（ ）
A. 收入平均数变小，方差变大B. 收入平均数变小，方差变小
C. 收入平均数变大，方差变大D. 收入平均数变大，方差变小
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查方差的意义和平均数的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】解：收入平均数变大，方差变小最能体现发展生产力，消除两极分化，
故选D．
7. 深中通道于2024年6月30日正式通车试运营，该通道全长千米，这一里程碑式的交通项目为粤港澳大湾区带来了前所未有的便捷和机遇．已知甲、乙两车分别从该通道的起点和终点相向而行，已知甲车速度为，乙车速度为，甲车出发千米后乙车才出发，设乙车出发小时后两车相遇，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程应用，设乙车出发小时后两车相遇，根据该通道全长千米，列方程即可得到结论．
【详解】解：设乙车出发小时后两车相遇，根据题意得，，
故选：D．
8. 如图，，分别截两直线于六点．若，，则（ ）．
A. 12B. C. 20D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理可得，据此求出的长即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
9. 如图，内接于，是直径，P是上一点．若，，则的长为（ ）．
A. 2B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆周角定理，余弦函数的应用解答即可．
本题考查了圆周角定理，余弦函数的应用，熟练掌握定理和函数是解题的关键．
【详解】解：∵是的直径，P是上一点．
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
10. 在同一直角坐标系中，反比例函数y＝与一次函数y＝ax+b的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据一次函数图象经过的象限得出a、b的正负，由此即可得出反比例函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【详解】∵一次函数图象应该过第一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴ab＜0，
∴反比例函数的图象经过二、四象限，故A选项错误，
∵一次函数图象应该过第一、三、四象限，
∴a＞0，b＜0，
∴ab＜0，
∴反比例函数的图象经过二、四象限，故B选项错误；
∵一次函数图象应该过第一、二、三象限，
∴a＞0，b＞0，
∴ab＞0，
∴反比例函数的图象经过一、三象限，故C选项错误；
∵一次函数图象经过第二、三、四象限，
∴a＜0，b＜0，
∴ab＞0，
∴反比例函数的图象经经过一、三象限，故D选项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，）
11. 分解因式： _______.
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】解：．
故答案为.
12. 小明从四大名著《红楼梦》，《西游记》，《水浒传》，《三国演义》四本书中随机挑选一本，其中拿到《西游记》这本书的概率为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据简单概率公式计算概率即可．
本题考查了简单概率公式计算概率，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】解：一共有4种等可能性，其中拿到《西游记》这本书可能性有1种，
故拿到《西游记》这本书的概率为．
故答案为：．
13. 如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为U，则，当，，，时，U的值为_______．
【答案】220
【解析】
【分析】根据代数式的值的计算方法解答即可．
本题考查了跨学科综合，逆用分配律，求代数式的值，熟练掌握学科综合是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得当，，，时，
．
故答案为：220．
14. 如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CAD=_______．
【答案】35°
【解析】
【分析】连接OD，构造直角三角形，利用OA=OD，可求得∠ODA=35°，从而得出∠CAD的度数．
【详解】连接OD，
则∠ODC=90°，∠COD=70°；
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠CAD=∠COD=35°，
故答案为35
【点睛】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解．
15. 如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则__________．

【答案】
【解析】
【分析】方法一：根据的面积为，得出，，在中，，得出，根据勾股定理求得，根据的几何意义，即可求解．
方法二：根据已知得出则，即可求解．
【详解】解：方法一：∵，
∴
设，则，
∴
∵矩形的面积是6，是对角线，
∴面积为，即
∴
在中，
即
即
解得：
在中，
∵对角线轴，则，
∴,
∵反比例函数图象在第二象限，
∴，
方法二：∵，
∴
设，则，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数的几何意义，余弦的定义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】根据零指数幂公式，算术平方根，负整数指数幂公式，特殊角的正弦函数，解答即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了零指数幂公式，算术平方根，负整数指数幂公式，特殊角的正弦函数，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键．
17. 如图，在中，，点D在的延长线上．
（1）作的平分线（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据角的平分线的基本作图，规范求作即可．
（2）利用角的平分线定义，等边对等角，三角形外角性质，平行线的判定，证明即可．
【小问1详解】
解：根据角的平分线的基本作图，画图如下：
则即为所求．
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∵的平分线，
∴
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角的平分线的基本作图，平行线的判定，等腰三角形的性质，三角形外角性质，熟练掌握性质和作图是解题的关键．
18. 某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲、乙两位同学得分的折线图：
b．丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10
c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数和中位数：
根据以上信息；回答下列问题：
（1）表中m的值为_______，n的值为_______．
（2）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是_______（填“甲”、“乙”或“丙”）．
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生歌唱比赛，用列表或树状图法求甲和乙同学同时被选中的概率是多少？
【答案】（1），9
（2）丙 （3）
【解析】
【分析】（1）根据加权平均数的定义，中位数的定义计算解答即可．
（2）按照规则计算三人的平均分，得分最高的就是最优秀的．
（3）利用画树状图法计算即可．
【小问1详解】
解：根据题意，得，
故答案为：；
由，
故中位数，
故答案为：9．
【小问2详解】
解：根据题意，得，
由，得，
由，得，
由最大，
故丙最优秀，
故答案为：丙．
【小问3详解】
解：根据题意，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选中甲、乙的可能性有2种，
所以甲和乙同学同时被选中的概率是．
答：甲和乙同学同时被选中的概率是．
【点睛】本题考查了平均数，中位数，画树状图法求概率，平均数的决策应用，熟练掌握公式是解题的关键．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元?
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元?
【答案】（1）A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元
（2）购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元
【解析】
【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元，根据：用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解；
（2）设购买A型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，根据题意可求出m的范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值
【小问1详解】
解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元．
根据题意，得
解这个方程，得
经检验，是原方程的根．
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元．
【小问2详解】
设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，
由题意得：，解得．
∴
即，
∵，
∴随的增大而增大．
∴当时，取得最小值11200，此时；
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键．
20. 广州地铁经过多年的发展，地铁出入口更加人性化和便民化．如图1是某地铁出入口，有步梯和电梯两种由地下层通往地面层的出入方式．其截面如图2所示，是由地下直通地面的电梯，，，，，是步梯，，，的倾角相同，，与地面平行．已知电梯全长30米，倾角为，米．
（1）求地面层与地下层的垂直高度；
（2）求步梯的倾角的正切值和步梯通道的全长．参考数据：，，．
【答案】（1）18米 （2）1，米
【解析】
【分析】（1）根据，代入解答即可；
（2）延长交于点M，延长交于点N，利用平行四边形的判定和性质，解直角三角形，解答即可．
【小问1详解】
解：根据题意，得（米），
答：地面层与地下层的垂直高度约为18米．
【小问2详解】
解：延长交于点M，延长交于点N，
∵，，的倾角相同，，与地面平行．
∴，
∴，
∵，
∴四边形，四边形都是平行四边形，
∴，
∵电梯全长30米，倾角为，米．
∴（米），
（米），
（米），
∴（米），
∴，
∴，
∴，
∴（米），
∴步梯通道的全长为（米）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，解直角三角形，特殊角的三角函数值，倾角相同的意义，熟练掌握判定和性质，解直角三角形是解题的关键．
21. 一张正方形纸片，我们通过折纸，可以将它的边、角进行平分(如图1)．
那如何通过折纸，将正方形纸片的边、角进行三等分呢？小明进行了如下的尝试：
【活动1】
如图2，先对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，然后再对折，得到折痕、，展开后折出对角线，对角线与、、分别交于点、、，最后沿折叠，得到折痕，则点将边三等分．
（1）请说出点将边三等分的理由．
【活动2】
如图3，先对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，然后把纸片展平，再次折叠纸片，使点落在上的点处，得到折痕和线段．
（2）请说出被、三等分的理由；
（3）如图4，在折叠过程中，不小心将点往右去了一点，点的对应点落到了下方，延长交于点．若正方形纸片的边长为，此时，则 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由，得到，求得，易证，再根据相似三角形的性质可推出，即可得到结论；
（2）由折叠的性质得到，，，，求得，，利用三角函数可知，于是得到和三等分；
（3）由折叠的性质得到，，，，易证，根据全等三角形的性质得到，设，，，最后根据勾股定理即可得到结论．
【小问1详解】
解：根据题意，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点将边三等分；
【小问2详解】
解：由折叠的性质可知，，，，，
，，
，
，
，
，，
，
和三等分；
【小问3详解】
解：由折叠的性质得，，，，，
，
，
，，
，
，，
设，，
，
，
解得，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形与折叠，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用这些性质是解题的关键．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22. 实践与探究
【问题情境】
（1）①如图1，，，，分别为边上的点，，且，则______；
②如图2，将①中的绕点顺时针旋转，则所在直线较小夹角的度数为______．
【探究实践】
（2）如图3，矩形，，，为边上的动点，为边上的动点，，连接，作于点，连接．当的长度最小时，求的长．
【拓展应用】
（3）如图4，，，，，为中点，连接，分别为线段上的动点，且，请直接写出的最小值．
【答案】（1）①；②；（2）2；（3）
【解析】
【分析】（1）①由得出，再由相似三角形的性质即可得解；②延长交于，令交于，由旋转的性质结合三角形内角和定理计算即可得出答案；
（2）延长，相交于点，连接．由矩形的性质可得，，证明，由相似三角形的性质得出点为中点，由直角三角形的性质得出，当，三点共线时取得最小值，证明出为等边三角形，即可得解；
（3）分别过点和作垂线，两线相交于点，连接、、，则，证明，得出，再证明出四点共圆，得出，，解直角三角形得出，即可得出，最后由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：（1）①，
，
，
故答案为：；
②如图，延长交于，令交于，
由①可得，
由旋转的性质可得：，
，
，
，
所在直线较小夹角的度数为，
故答案为：；
（2）延长，相交于点，连接．
四边形是矩形，
，，
∴，
，
∴，
∴，
∴点为中点，
，
∵于点，
∴在中，，
∵在中，，且为定值，
∴当，三点共线时取得最小值，
∵，
∴，此时为等边三角形，
．
（3）如图，分别过点和作垂线，两线相交于点，连接、、，则，
，，，，为中点，
，，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四点共圆，
，，
在中，，
，
，
在中，，
的最小值为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、圆的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、矩形的性质、旋转的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
23. 已知直线过点，且与抛物线交于A，B两点，与x负半轴交于点M，其中点A在第二象限，点O为坐标原点．
（1）当A是中点时，求直线l的解析式；
（2）若点M的横坐标为m，，中点C的纵坐标为y，求y与m的函数关系式；
（3）以为直径的圆C交直线于D，是否为定值？若是定值，请求出此值，若不是定值，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）是定值，且为2，见解析
【解析】
【分析】（1）根据，设直线的解析式为，则，根据点A是中点，得到，结合点A在抛物线上，且点A在第二象限解答即可；
（2）根据，设直线的解析式为，结合，得到，于是，得到直线的解析式为，设，，根据题意，得是方程的两个根，利用中点坐标公式解答即可；
（3）设，，根据题意，得是方程的两个根，则，，，，设，过点O作圆的切线，切点为Q，连接，延长到点N，利用中点坐标公式，根与系数关系定理，勾股定理，切线性质定理，三角形相似的判定和性质，解答即可．
【小问1详解】
解：∵，设直线的解析式为，
则，
∵点A是的中点，
∴，
∵点A在抛物线上，且点A在第二象限，
∴，
解得，（舍去），
故直线的解析式为．
【小问2详解】
解：∵，设直线的解析式为，
∵，得到，
解得，
故直线的解析式为，
设，，
根据题意，得是方程的两个根，
∴，
∴，
∵中点C的纵坐标为y，
∴．
【小问3详解】
解：∵，设直线的解析式为，
∵，得到，
解得，
故直线的解析式为，
设，，
根据题意，得是方程的两个根，
∴，，
∴，，
设，
∵为直径的圆C交直线于D，，，
∴，，
∴，
∴
，
∴圆C的半径为，
过点O作圆的切线，切点为Q，连接，延长到点N，
则，，，
，
∴，
∵是圆的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故是定值，且为2．
同学
甲
乙
丙
平均数
m
中位数
9
n
9