湖南株洲市渌口区2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题（试卷+解析）

这是一份湖南株洲市渌口区2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题（试卷+解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 一元二次方程的常数项是（ ）
A. 4B. C. D. 3
2. 某城市绿化部门将一种树苗移植成活情况绘制成如下的统计图，种植这种树苗1000棵，估计可以成活的棵数为（ ）
A. 950B. 900C. 850D. 800
3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知点，和都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，体育公园设置了一段爬坡路线，已知这段路线相关数据，，则下列说法错误的是（ ）
A. 路线的坡角是B. 路线的坡度是
C. 的长度为D. 路线的坡比是
7. 关于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A. 函数图象经过点B. 函数图象关于原点成中心对称
C. 函数图象分别位于第一、三象限D. 当时，随的增大而增大
8. 锐角α满足，且，则α的取值范围为（ ）
A. 30°＜α＜45°B. 45°＜α＜60°C. 60°＜α＜90°D. 30°＜α＜60°
9. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（ ）
A. 2023B. 2024C. 2025D. 2027
二、填空题（每小题 3 分，共 18分）
11. 如果，那么的结果是_________．
12. 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则sinA=_____．
13. 如图，已知，那么________．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接．若将绕点B顺时针旋转90°，得到，则点的坐标为________．
15. 一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一个根，则此三角形的周长是__________．
16. 如图，在锐角中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时的运动时间为_____秒．
三、解答题（共8个小题，满分72分，第17 、18 题每小题6 分，第19 、20 题每小题8 分，第21 、22 题每小题10分，第23 、24 题每小题12分）
17. 计算．
18. 解方程：．
19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点B．

（1）求m，a的值，并直接写出点B的坐标；
（2）根据图象可得，不等式的解集为 ．
20. 某市利用各类灵活多样的宣传方式、各种宣传载体，全方位开展“国家反诈中心”宣传推广活动，截至2025年底，注册人数已达万人．某社区工作人员为调查本社区居民对于“国家反诈中心”的了解情况，进行了一次问卷调查，本次问卷调查共设10个问题，每题10分，问卷调查结束后，根据问卷结果分为A：非常了解（分）、B：比较了解（分）、C：基本了解（分）、D：不太了解（分）四个等级并绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上图表回答下面的问题：
（1）求此次问卷调查总人数，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求A等级对应的扇形圆心角；
（3）若该社区共有居民8000人，请你估计对于“国家反诈中心”问卷调查得分不低于60分人数．
21. 如图，梯形中，点F，E分别在线段，上，且，

（1）求证：
（2）若，求证：
22. 2024年9月28日，中国人民解放军南部战区位中国黄岩岛附近海空域组织例行性演训活动，检验任务部队侦察监视、警巡待战、联合打击等能力一切搅局南海、制造热点行动企图，尽在掌握．战区部队时刻高度戒备，坚决挫败破坏地区和平稳定的勾连行径．如图，一艘核潜艇在海面下500米点处测得俯角为正前方的海底点处有一可疑物，继续在同一深度直线航行1500米到点处测得正前方点处的俯角为．求海底点处距离海面的深度（结果精确到个位，参考数据：）．
23. “顺峰”在2021年“十一”长假期间，接待游客达2万人次，预计在2023年“十一”长假期间，接待游客2.88万人次，在顺峰，一家特色小面店希望在“十一”长假期间获得好收益，经测算知，该小面成本价为每碗10元，借鉴以往经验，若每碗卖15元，平均每天将销售120碗，若价格每提高1元，则平均每天少销售8碗，每天店面所需其他各种费用为168元．
（1）求出2021至2023年“十一”长假期间游客人次的年平均增长率；
（2）为了更好地维护东至县形象，物价局规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天净利润600元？（净利润＝总收入﹣总成本﹣其它各种费用）
24. 综合与实践
已知：矩形，M是边上一点．
【基本图形】
（1）如图1，，交于F点，的延长线与的延长线交于点E，连，求证：；
【类比探究】
（2）如图2，，过点D任意作直线与，的延长线分别交于点E，点P，连，求证：；
九年级数学试题（2026.1）
时量：120分钟 满分：120分
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 一元二次方程的常数项是（ ）
A. 4B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程各部分的名称定义，解决此题的关键是正确的识记相关概念，根据常项的定义即可解决。
【详解】解：是一般形式的一元二次方程，
∴常数项为，
故选：C
2. 某城市绿化部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如下的统计图，种植这种树苗1000棵，估计可以成活的棵数为（ ）
A. 950B. 900C. 850D. 800
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了折线统计图，用频率估计概率，已知概率求数量，根据统计图可得随着实验次数的增加，种植这种树苗的成活率逐渐稳定在附近，则可估计种植这种树苗成活的概率约为，据此求解即可．
【详解】解：由统计图可知，随着实验次数的增加，种植这种树苗的成活率逐渐稳定在附近，
∴种植这种树苗成活的概率约为，
∴种植这种树苗1000棵，估计可以成活的棵数为棵，
故选：B．
3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．
根据配方法解题即可．
【详解】解：，
，
．
故选：D．
4. 已知点，和都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数，图象在每个象限内，随的增大而增大，双曲线在第二、四象限，据此分析即可，熟练地应用反比例函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴函数的图像位于第二、四象限，在每个象限内，的值随的增大而增大，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
故选：．
5. 下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式逐项分析即可得解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解此题的关键．
【详解】解：选项A：，，，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
选项B：，，，，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
选项C：将整理为，，，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
选项D：，，，，
∵，
∴方程有两个相等的实数根，故本选项符合题意；
故选：D．
6. 如图，体育公园设置了一段爬坡路线，已知这段路线相关数据，，则下列说法错误的是（ ）
A. 路线的坡角是B. 路线的坡度是
C. 的长度为D. 路线的坡比是
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形——坡度、坡比问题，熟练掌握坡比等于垂直距离与水平距离的比是解题关键．根据正弦的定义得出，，解直角三角形得出，根据坡比的定义逐一判断即可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，即路线的坡角是，故A选项正确，不符合题意，
∴，故C选项正确，不符合题意，
∴路线的坡度是，故B选项错误，符合题意，D选项正确，不符合题意．
故选：B．
7. 关于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A 函数图象经过点B. 函数图象关于原点成中心对称
C. 函数图象分别位于第一、三象限D. 当时，随的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质，逐一判断各个选项，即可．
【详解】解：A选项，，故函数图象经过点，故A选项不符合题意；
B选项，反比例函数的图象关于原点成中心对称，故B选项不符合题意；
C选项，，反比例函数图象分别位于第二、四象限，故C选项符合题意；
D选项，，当时，随的增大而增大，故D选项不符合题意．
故先：C．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握这些知识点是解题关键．
8. 锐角α满足，且，则α的取值范围为（ ）
A. 30°＜α＜45°B. 45°＜α＜60°C. 60°＜α＜90°D. 30°＜α＜60°
【答案】B
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值和正弦函数随锐角的增大而增大、正切函数随锐角的增大而增大即可解答．
【详解】解：∵，且，
∴45°﹤α﹤90°
∵，且
∴0°＜α＜60°
∴45°＜α＜60°．
故选：B．
【点睛】本题考查特殊角三角函数值、锐角三角函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值，掌握锐角三角函数的增减性是解答的关键．
9. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到为的角平分，利用平行线证明，从而得到，再利用平行四边形的性质得到，再证明，分别求出，，则各选项可以判定．
【详解】解：由作图可知，为的角平分，
∴，故A正确；
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，故D错误；
∵，
∴，故C正确，
故选：D．
10. 若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（ ）
A. 2023B. 2024C. 2025D. 2027
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为，
∴关于的一元二次方程即有一个根为，
即，
解得：，
故选：A．
二、填空题（每小题 3 分，共 18分）
11. 如果，那么的结果是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
由已知比例 ，可设参数表示 和 ，再代入所求分式化简．
【详解】解：由题意，设 ，（），
则 ．
故答案为：．
12. 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则sinA=_____．
【答案】
【解析】
【分析】由勾股定理可求得斜边AC，由正弦函数的定义即可解决．
【详解】由勾股定理知，
∴
故答案为:
【点睛】本题考查了求锐角的正弦函数值，勾股定理，掌握正弦函数的定义是关键．
13. 如图，已知，那么________．
【答案】15
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据平行线分线段成比例解题即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得，
∴．
故答案为：15 ．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接．若将绕点B顺时针旋转90°，得到，则点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，由旋转的性质可知，，，，进而可得，易得四边形是矩形，所以可求出和的长度，即可得到的坐标．
【详解】解：过点作于点，
∴
由旋转的性质可知：，，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴
∴
∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平面直角坐标系点的坐标等知识点，解决此题的关键是要作辅助线．
15. 一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一个根，则此三角形的周长是__________．
【答案】14
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、一元二次方程、三角形的三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
先解一元二次方程得到可能的腰长，再根据三角形三边关系判断是否构成三角形，最后计算周长．
【详解】解：，
，
解得 或 ，
当腰长为3时，三边为3、3、6，
∵ ，不构成三角形；
当腰长为4时，三边为4、4、6，满足三角形三边关系，
∴周长为 ．
故答案为：14．
16. 如图，在锐角中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时的运动时间为_____秒．
【答案】3或4.8
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题关键是应用分类讨论的思想方法．本题先设运动t秒，再分两种情况，与，利用其性质列出方程即可求解．
【详解】解：设运动t秒时，以点A、D、E为顶点三角形与相似，
则．
①当点D与点B对应时，有．
∴，
∴，
∴；
②当点D与点C对应时，有．
∴，
∴，
∴．
所以当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是3秒或秒．
故答案为：3或．
三、解答题（共8个小题，满分72分，第17 、18 题每小题6 分，第19 、20 题每小题8 分，第21 、22 题每小题10分，第23 、24 题每小题12分）
17. 计算．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算和二次根式的加减法．代入特殊角的三角函数值，进行二次根式的混合运算即可．
【详解】解：

．
18. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活选取解方程的方法是解题的关键；利用因式分解即可求解．
【详解】解：分解因式得：，
即，
∴，．
19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点B．

（1）求m，a的值，并直接写出点B的坐标；
（2）根据图象可得，不等式的解集为 ．
【答案】（1），，
（2）或
【解析】
【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，根据交点确定不等式的解集，理解题意，熟练掌握一次函数与反比例函数的基本性质是解题关键．
（1）将点A代入一次函数即可得出，再将点A代入反比例函数即可确定函数解析式，进而即可得出交点；
（2）结合图象，找出一次函数图象位于反比例函数图象下方的取值范围即可．
【小问1详解】
解：∵点在一次函数的图象上，
∴将代入中，得，
∴．
∵点在反比例函数的图象上，
∴将代入中，得，
解得．
联立，
解得：或
∴点的坐标为．
【小问2详解】
由图象得：当一次函数的图象位于反比例函数图象下方，即时，或，
故答案为：或．
20. 某市利用各类灵活多样的宣传方式、各种宣传载体，全方位开展“国家反诈中心”宣传推广活动，截至2025年底，注册人数已达万人．某社区工作人员为调查本社区居民对于“国家反诈中心”的了解情况，进行了一次问卷调查，本次问卷调查共设10个问题，每题10分，问卷调查结束后，根据问卷结果分为A：非常了解（分）、B：比较了解（分）、C：基本了解（分）、D：不太了解（分）四个等级并绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上图表回答下面的问题：
（1）求此次问卷调查总人数，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求A等级对应扇形圆心角；
（3）若该社区共有居民8000人，请你估计对于“国家反诈中心”问卷调查得分不低于60分的人数．
【答案】（1）50人，见解析
（2）
（3）5760人
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图、样本估计总体，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据统计图计算即可；
（2）根据统计图计算即可；
（3）根据样本数据估计总体即可．
【小问1详解】
解：由图可知，等级有人，占总人数的，
∴总人数为（人）；
B等级的人数：（人）；
条形统计图补全如下：
【小问2详解】
解：，
∴A等级对应的扇形圆心角是；
【小问3详解】
解：（人）；
答；此次问卷调查得分不低于60分的人数是5760人．
21. 如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，

（1）求证：
（2）若，求证：
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等的三角形的性质即可得证；
（2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得证．
【小问1详解】
证明：，
，
在和中，，
，
．
【小问2详解】
证明：，
，
，即，
在和中，，
，
，
由（1）已证：，
，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
22. 2024年9月28日，中国人民解放军南部战区位中国黄岩岛附近海空域组织例行性演训活动，检验任务部队侦察监视、警巡待战、联合打击等能力一切搅局南海、制造热点行动企图，尽在掌握．战区部队时刻高度戒备，坚决挫败破坏地区和平稳定的勾连行径．如图，一艘核潜艇在海面下500米点处测得俯角为正前方的海底点处有一可疑物，继续在同一深度直线航行1500米到点处测得正前方点处的俯角为．求海底点处距离海面的深度（结果精确到个位，参考数据：）．
【答案】海底点处距离海面的深度约为2191米．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的相关运算，先过点作，垂足为，延长交于，整理得米，把数值代入进行计算，得，则（米），即可作答．
【详解】解：过点作，垂足为，延长交于，
设米，
∵，
∴米，
∴米，
在中，，
∴，
即，
∴，
∵米，
∴（米），
答：海底点处距离海面的深度约为2191米．
23. “顺峰”在2021年“十一”长假期间，接待游客达2万人次，预计在2023年“十一”长假期间，接待游客2.88万人次，在顺峰，一家特色小面店希望在“十一”长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗10元，借鉴以往经验，若每碗卖15元，平均每天将销售120碗，若价格每提高1元，则平均每天少销售8碗，每天店面所需其他各种费用为168元．
（1）求出2021至2023年“十一”长假期间游客人次的年平均增长率；
（2）为了更好地维护东至县形象，物价局规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天净利润600元？（净利润＝总收入﹣总成本﹣其它各种费用）
【答案】（1）
（2）当每碗售价定为18元时，店家才能实现每天净利润600元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设2021至2023年“十一”长假期间游客人次的年平均增长率为x，利用2023年“十一”长假期间游客人次2021年“十一”长假期间游客人次（2021至2023年“十一”长假期间游客人次的年平均增长率），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每碗售价定为y元，则平均每天可销售碗，利用净利润总收入总成本其它各种费用，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【小问1详解】
解：设2021至2023年“十一”长假期间游客人次的年平均增长率为x，
依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：2021至2023年“十一”长假期间游客人次的年平均增长率为．
【小问2详解】
设每碗售价定为y元，则平均每天可销售碗，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：当每碗售价定为18元时，店家才能实现每天净利润600元．
24. 综合与实践
已知：矩形，M是边上一点．
【基本图形】
（1）如图1，，交于F点，的延长线与的延长线交于点E，连，求证：；
【类比探究】
（2）如图2，，过点D任意作直线与，的延长线分别交于点E，点P，连，求证：；
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）由四边形是矩形得，从而得到，进而得到，由就可得到结论；
（2）延长、交于点，由三角形相似可证到，再由可得，再由垂直平分线的性质可得到，结合就可得．
【详解】证明：（1）∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴．
∵，
∴
（2）延长、交于点，如图，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴．