新高考物理二轮复习——带电粒子在组合场中的运动学案

这是一份新高考物理二轮复习——带电粒子在组合场中的运动学案，共12页。

热点突破
命题点1 电场与磁场组合
考题示例1
（2024·陕西·历年真题）一质量为m、电荷量为q(q＞0)的带电粒子始终在同一水平面内运动，其速度可用图示的直角坐标系内一个点P(vx，vy)表示，vx、vy分别为粒子速度在水平面内两个坐标轴上的分量。粒子出发时P位于图中a(0，v0)点，粒子在水平方向的匀强电场作用下运动，P点沿线段ab移动到b(v0，v0)点；随后粒子离开电场，进入方向竖直、磁感应强度大小为B的匀强磁场，P点沿以O为圆心的圆弧移动至c(－v0，v0)点；然后粒子离开磁场返回电场，P点沿线段ca回到a点。已知任何相等的时间内P点沿图中闭合曲线通过的曲线长度都相等。不计重力。求
（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期；
（2）电场强度的大小；
（3）P点沿图中闭合曲线移动1周回到a点时，粒子位移的大小。
答案：（1）粒子在磁场中做圆周运动时的速度为v＝＝
根据洛伦兹力提供向心力Bqv＝＝
解得做圆周运动的半径为r＝
周期为T＝
（2）根据题意，已知任何相等的时间内P点沿图中闭合曲线通过的曲线长度都相等，由于曲线表示的是速度相应的曲线，
根据a＝可知任意点的加速度大小相等，故可得
解得E＝
（3）根据题意分析可知从b点到c点粒子在磁场中转过的角度为270°，如图为粒子的运动轨迹，粒子返回a点时根据对称性可知与初始位置等高，从a到b过程中粒子做类平抛运动，得
故可得该段时间内沿y方向位移为L＝v0t
根据几何知识可得xbc＝
由粒子在两次电场中运动的对称性可知移动一周时粒子位移的大小为xaa′＝xbc－2L
联立解得xaa′＝
跟踪训练1
（2025·河南·历年真题）如图，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区域有竖直向上的匀强电场。质量为m、带电量为q（q＞0）的粒子从磁场中的a点以速度v0向右水平发射，当粒子进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为60°，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b点，通过b点时其速度方向水平向右。a、b距水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为s＝。不计重力。
（1）求磁感应强度的大小；
（2）求电场强度的大小；
（3）若粒子从a点以v0竖直向下发射，长时间来看，粒子将向左或向右漂移，求漂移速度大小。（一个周期内粒子的位移与周期的比值为漂移速度）
答案：（1）根据题意可知，粒子的轨迹如图所示
其中θ＝60°，设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，
根据几何关系可知r＝rcs θ＋h，解得r＝2h，
在磁场中，洛伦兹力提供向心力：qv0B＝，B＝
（2）粒子出电场时，速度大小为v0，，方向与水平虚线的夹角仍为60°，
粒子在电场中运动的水平位移AB＝s－2rsin θ＝＝
粒子在电场中运动的时间t＝＝
在竖直方向有：qE＝ma，
匀变速直线运动中，由速度与时间的关系可得：－v0sin θ＝v0sin θ－at
联立解得：E＝
（3）若粒子从a点以v0竖直向下发射，画出粒子的运动轨迹，
由于粒子在磁场中运动的速度大小仍为v0，粒子在磁场中运动的半径仍为2h，由几何关系可知，粒子进入电场时速度与虚线的夹角为α＝60°，
由（2）问可知，粒子在电场中运动的时间t1＝
AB间的距离为AB＝，BC＝2rsin α＝，则AC＝BC－AB＝
粒子在磁场中运动时间为t2＝＝
t＝t1＋t2＝
所以有粒子每隔时间t向右移动，漂移速度大小v′＝
反思提升
（1）找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度（包括大小和方向）是解决该类问题的关键。
（2）画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观地解决问题。
（3）粒子先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。（如图1、2所示）
在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。
（4）粒子先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。（如图3、4所示）
在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度。
命题点2 磁场与磁场组合
考题示例2
（2025·四川·历年真题）（多选）如图所示，Ⅰ区有垂直于纸面向里的匀强磁场，其边界为正方形；Ⅱ区有垂直于纸面向外的匀强磁场，其外边界为圆形，内边界与Ⅰ区边界重合；正方形与圆形中心同为O点。Ⅰ区和Ⅱ区的磁感应强度大小比值为4∶1。一带正电的粒子从Ⅱ区外边界上a点沿正方形某一条边的中垂线方向进入磁场，一段时间后从a点离开。取sin 37°＝0.6。则带电粒子（ ）
A．在Ⅰ区的轨迹圆心不在O点
B．在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹半径之上比为1∶2
C．在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹长度之比为127∶37
D．在Ⅰ区和Ⅱ区的运动时间之上比为127∶148
答案：AD
解析：A．根据题意可知粒子的运动轨迹如图所示，
由图可知，在Ⅰ区的轨迹圆心不在O点，故A正确；
B．由洛伦兹力提供向心力qvB＝，可得r＝
故在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹半径之上比为，故B错误；
D．设粒子在磁场Ⅱ区偏转的圆心角为α，由几何关系cs α＝，可得α＝37°
故粒子在Ⅰ区运动的时间为t1＝＝
粒子在Ⅱ区运动的时间为t2＝＝
联立可得在Ⅰ区和Ⅱ区的运动时间之上比为，故D正确；
C．粒子在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹长度分别为
l1＝＝
l2＝＝
故在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹长度之比为，故C错误。
故选AD。
跟踪训练2
（2025·湖北·历年真题）如图所示，两平行虚线MN、PQ间无磁场。MN左侧区域和PQ右侧区域内均有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从MN左侧O点以大小为v0的初速度射出，方向平行于MN向上。已知O点到MN的距离为，粒子能回到O点，并在纸面内做周期性运动。不计重力，求：
（1）粒子在MN左侧区域中运动轨迹的半径。
（2）粒子第一次和第二次经过PQ时位置的间距。
（3）粒子的运动周期。
答案：粒子能回到O点，则粒子的运动轨迹对称，其运动轨迹如下图：
（1）粒子在MN左侧区域磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
即qv0B＝，解得r1＝
（2）O点到MN的距离为
粒子在MN左侧磁场中的运动轨迹如上图所示，轨迹对应的圆心为O1，粒子在中间无磁场区域做匀速直线运动，运动到PQ右侧后，粒子以O2为圆心、r2为半径做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，即qv0·2B＝，解得r2＝
由几何关系，粒子在PQ右侧磁场中的运动轨迹所对的圆心角为120°
故粒子第一次和第二次经过PQ时位置的间距为d＝2r2sin 60°＝
（3）由几何关系，粒子在MN左侧磁场中的运动轨迹所对的圆心角为240°，
运动时间t1＝＝，T1＝
粒子在PO右侧磁场中的运动轨迹所对的圆心角为120°，
运动时间t2＝＝，T2＝
粒子在中间无磁场区域做匀速直线运动的时间t3＝
故粒子的运动周期为T＝t1＋t2＋t3＝
反思提升
1．磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同。解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点，进一步寻找边角关系。
2．通常按照“定圆心、定半径、定圆心角”的步骤进行，解题时要将几何关系和物理规律有机地融合在一起。
命题点3 周期性变化的电场与磁场组合
考题示例3
（2024·广东·历年真题）如图甲所示。两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为U0、周期为t0的交变电压。金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直纸面向外的匀强磁场。磁感应强度大小为B。一带电粒子在t＝0时刻从左侧电场某处由静止释放，在t＝t0时刻从下板左端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在t＝2t0时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入磁场，并在t＝3t0时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场。已知金属板的板长是板间距离的倍，粒子质量为m。忽略粒子所受的重力和场的边缘效应。
（1）判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q；
（2）求金属板的板间距离D和带电粒子在t＝t0时刻的速度大小v；
（3）求从t＝0时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，电场力对粒子做的功W。
答案：（1）粒子在板间左侧匀强电场中受到向右的电场力，与电场方向相同，所以粒子带正电；
进入磁场后，qvB＝，周期T＝，根据题意T＝2t0，
联立解得q＝；
（2）板间距为D，则板长为
粒子进入板间的速度为v，在板间水平方向一直是匀速直线运动，则vt0＝，
竖直方向先做匀加速后做匀减速运动，加速度a＝，E＝，y＝2r＝2y0，y0＝，
又结合（1）可知r＝
联立解得r＝，D＝，v＝；
（3）粒子轨迹如下图所示，
电场力做功W＝＝＝。
跟踪训练3 [生产生活类]
（2021·浙江·历年真题）如图甲所示，空间站上某种离子推进器由离子源、间距为d的中间有小孔的两平行金属板M、N和边长为L的立方体构成，其后端面P为喷口以金属板N的中心O为坐标原点，垂直立方体侧面和金属板建立x、y和z坐标轴，M、N板之间存在场强为E、方向沿z轴正方向的匀强电场；立方体内存在磁场，其磁感应强度沿z方向的分量始终为零，沿x和y方向的分量Bx和By随时间周期性变化规律如图乙所示，图中B0可调氙离子（Xe2＋）束从离子源小孔S射出，沿z方向匀速运动到M板，经电场加速进入磁场区域，最后从端面P射出，测得离子经电场加速后在金属板N中心点O处相对推进器的速度为v0．已知单个离子的质量为m、电荷量为2e，忽略离子间的相互作用，且射出的离子总质量远小于推进器的质量。
（1）求离子从小孔S射出时相对推进器的速度大小v。
（2）不考虑在磁场突变时运动的离子，调节B0值，使得从小孔S射出的离子均能从喷口后端面P射出，求B0的取值范围；
（3）设离子在磁场中的运动时间远小于磁场变化周期T，单位时间从端面P射出的离子数为n，且B0＝，求图乙中t0时刻离子束对推进器作用力沿z轴方向的分力。
答案：（1）离子从小孔S射出运动到金属板N中心点O处，
根据动能定理有：2eEd＝，
解得离子从小孔S射出时相对推进器的速度大小：v＝
（2）当磁场仅有沿x方向的分量取最大值时，离子从喷口P的下边缘中点射出，如图
根据几何关系有：(R1－)2＋L2＝，
根据洛伦兹力提供向心力有：2ev0B0＝，联立解得：B0＝
当磁场在x和y方向的分量同取最大值时，离子从喷口P边缘交点射出，
根据几何关系有：(R2－)2＋L2＝，此时B＝；
根据洛伦兹力提供向心力有：2e·v0·＝
联立解得：B0＝，由于＜，故B0的取值范围为0～
（3）离子在立方体中运动轨迹剖面图如图所示：
由题意，根据洛伦兹力提供向心力有：2e·v0·＝，且满足B0＝
所以可得R3＝，解得R3＝，所以可得cs θ＝
离子从端面P射出时，在沿z轴方向根据动量定理有：FΔt＝nmv0cs θΔt－0
根据牛顿第三定律可得离子束对推进器作用力大小为：F′＝F＝，方向沿z轴负方向。
反思提升
1．周期性变化的电场或磁场是指电场、磁场在某一区域内随时间做周期性变化，带电粒子在其中的运动问题涉及的物理过程比较复杂，粒子的运动情况不仅与周期性变化的电场或磁场的变化规律有关，还与粒子进入场的时刻有关。
2．解决带电粒子在交变电磁场中运动问题的基本思路
命题点
考频统计
命题特点
核心素养
电场与磁场组合
2025年：浙江1月T20
湖南T14 湖北T14 河南T15
四川T10 河北T10 山东T12
广东T6
2024年：新课标T13
广东T15 江苏T16
甘肃T15 黑龙江T15
浙江6月T22 湖南T14
海南T19 浙江1月T22
2023年：辽宁T14
浙江1月T22 浙江6月T23
山东T17 海南T13 重庆T15
综合高考试卷来看，本专题难度较高，难度主要体现在抛体运动角度和位移的计算，圆周运动的半径、周期计算，以及多种情况的分类讨论上，对于学生的几何素养有很高的要求，想做对题目，需要有精准的画图能力、缜密的归纳思维以及足够的耐心。
科学思维：
能将复杂的实际运动问题的对象和过程转换成常规的物理模型，比如平抛、斜抛、圆周、往复等模型，能在新的情镜中对综合性的运动问题进行数学分析和推理，获得正确结论并作出解释。
磁场与磁场组合
周期性变化的电场与磁场组合
先读图
看清并且明白场的变化情况
受力分析
分析粒子在不同的变化场区的受力情况
过程分析
分析粒子在不同时间段内的运动情况
找衔接点
找出衔接相邻两过程的物理量
选规律
联立不同阶段的方程求解